在“動(dòng)手做”中實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展
——由“多邊形內(nèi)角和”數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)引發(fā)的思考

浙江杭州市臨平區(qū)塘棲鎮(zhèn)第三小學(xué)（310000） 蔡 華

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》強(qiáng)調(diào)：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”這就要求教師要深入解讀數(shù)學(xué)教材的編寫意圖和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)地組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，拓寬知識(shí)視野，真正理解與掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材每一冊(cè)都安排了一個(gè)以上的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，筆者認(rèn)為其編寫意圖如下：一是激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；二是滲透有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生不僅積累了探究問題的經(jīng)驗(yàn)，而且促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。下面，筆者以“多邊形內(nèi)角和”的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)為例，談一些自己的思考。

一、夯實(shí)活動(dòng)基礎(chǔ)，以復(fù)習(xí)激活思維

打造高效的數(shù)學(xué)課堂，解讀數(shù)學(xué)教材是第一要?jiǎng)?wù)。為此，在教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，教師就要深入鉆研數(shù)學(xué)教材，細(xì)致解讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。數(shù)學(xué)課堂中，教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情科學(xué)引領(lǐng)、靈活施教，激活學(xué)生的思維，讓數(shù)學(xué)課堂充滿活力。

師：觀看投影中的圖形（略），它的內(nèi)角和是多少度？

生1：這是一個(gè)三角形，內(nèi)角和是180°。

師：還記得這180°是怎么得到的嗎？

生2：用量角器測(cè)量3 個(gè)內(nèi)角的度數(shù)后相加得到的，但是這樣有誤差，最好的方法是把3 個(gè)內(nèi)角剪下來，發(fā)現(xiàn)剛好可以拼成一個(gè)平角，所以是180°。

師：也就是說，我們將原本不熟悉的三角形內(nèi)角轉(zhuǎn)化成熟悉的平角。這樣的思考方式，大家還記得在哪里見到過？

生3：學(xué)習(xí)計(jì)算除法時(shí)，就是用熟悉的乘法去思考陌生的除法。

生4：計(jì)算長(zhǎng)方形的面積時(shí)，我們是將熟悉的1平方厘米的小正方形擺成1 排、2 排、3 排……逐步推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的。

……

實(shí)踐證明，要想讓學(xué)生順利地接受新知，教師就要喚醒他們的學(xué)習(xí)記憶和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激活他們的數(shù)學(xué)思維。因此，在本課教學(xué)的初始階段，教師找準(zhǔn)學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，通過復(fù)習(xí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的思考。教師先出示圖形，引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形內(nèi)角和的知識(shí)，并讓學(xué)生復(fù)述三角形內(nèi)角和的由來，再提出“也就是說，我們將原本不熟悉的三角形內(nèi)角轉(zhuǎn)化成熟悉的平角。這樣的思考方式，大家還記得在哪里見到過？”的問題。這樣教學(xué)，有助于學(xué)生思考力的提升，為學(xué)生后續(xù)研究多邊形內(nèi)角和提供經(jīng)驗(yàn)支撐。

二、把握活動(dòng)操作，以體驗(yàn)促進(jìn)思維

經(jīng)驗(yàn)是不斷學(xué)習(xí)的最為寶貴的財(cái)富。當(dāng)然，如果僅憑經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)，那么學(xué)習(xí)就會(huì)故步自封，難有創(chuàng)新。因此，教師要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，給學(xué)生最為真切的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，吸引他們積極參與，讓數(shù)學(xué)課堂洋溢著情趣與智慧。

師：那么，我們將如何研究四邊形的內(nèi)角和呢？

生1：先測(cè)量出四邊形的4 個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再計(jì)算出它的內(nèi)角和。

生2：長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，可以推想出四邊形的內(nèi)角和也是360°。

師：這個(gè)方法可取。那么，作業(yè)紙上的四邊形（如右圖）的內(nèi)角和，如何求出來呢？

生3：我測(cè)量出∠1=65°、∠2=89°、∠3=135°、∠4=72°，所以這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是361°。

生4：我測(cè)量出∠1=63°、∠2=90°、∠3=134°、∠4=73°，所以這個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°。

……

師：現(xiàn)在有361°、358°、360°等不同的結(jié)果，是不是四邊形的內(nèi)角和不像三角形的內(nèi)角和那樣，是固定的呢？

生5：應(yīng)該是固定的。我認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：那么，我們要怎樣來證明自己的猜想呢？

生6：像研究三角形內(nèi)角和的方法一樣，把四邊形的4 個(gè)內(nèi)角都剪下來，發(fā)現(xiàn)可以拼成一個(gè)周角，就說明四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：聽明白了嗎？大家學(xué)著做一做，看看是否也能得出同樣的結(jié)論。

（學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)，剪下四邊形的4 個(gè)內(nèi)角拼一拼）

師：還有沒有其他的研究方法呢？

生7：360°不就是2個(gè)180°嗎？那是不是可以把四邊形分成2個(gè)三角形呢？

師：是?。〈蠹倚〗M合作探究，集思廣益，看看還有什么不同的研究方法。

（學(xué)生小組合作，嘗試用不同的方法思考探究）

生8：簡(jiǎn)單得很。（出示右圖）我們小組將AC連線，這樣就得到2 個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)三角形的6個(gè)角就是四邊形的4 個(gè)內(nèi)角，所以這樣分是可以的。

生9：不對(duì)吧?。ǔ鍪居覉D）我們小組也將BD連線，這樣不就是4個(gè)三角形了嗎？因此，四邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是720°（180×4）。

生10：這顯然不對(duì)。4個(gè)三角形中間的那4個(gè)角不是四邊形的內(nèi)角，所以四邊形的內(nèi)角和不是720°。

生11：有道理。四邊形中間的那4 個(gè)角不是四邊形的內(nèi)角，所以要減去360°，故四邊形的內(nèi)角和是360°。

師：那么，我們到底該如何連線才是最簡(jiǎn)潔、最有效的呢？

生12：只能連接一條對(duì)角線。

生13：只從一個(gè)點(diǎn)去連線，不能每一個(gè)點(diǎn)都連。

師：真不得了！同學(xué)們的觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)家的研究是一樣的——只從一個(gè)頂點(diǎn)連線。下面，再用這個(gè)方法去試一試。

（學(xué)生再次對(duì)四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行探究）

……

課堂教學(xué)中，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去研究、去分析，雖然能獲得不錯(cuò)的教學(xué)效果，但這樣學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)沒有真正理解。為此，教師要對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)予以指導(dǎo)，給學(xué)生指明探究的方向。上述教學(xué)，教師通過問題引發(fā)學(xué)生新的思考，使學(xué)生在小組學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)智慧碰撞，得出不同的連線方法。這樣思路有了，方法也就應(yīng)運(yùn)而生，但結(jié)論是矛盾的，從而形成新的探究契機(jī)。于是，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、辯論，使學(xué)生真正理解所學(xué)的知識(shí)并形成深刻記憶。

三、鼓勵(lì)另辟蹊徑，以創(chuàng)新拓展思維

要實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，數(shù)學(xué)教學(xué)的著力點(diǎn)就必須落實(shí)在“四基”上，并以此發(fā)展學(xué)生的綜合能力。因此，數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)想方設(shè)法激活學(xué)生的思維，鼓勵(lì)學(xué)生另辟蹊徑，促進(jìn)他們積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，助推學(xué)生深入學(xué)習(xí)，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂。

例如，教學(xué)“長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)”時(shí)，教師營(yíng)造自由的學(xué)習(xí)氛圍，搭建合適的展示平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，拓展思考空間，以實(shí)現(xiàn)更為靈動(dòng)的教學(xué)。

師：經(jīng)歷動(dòng)手操作后，大家對(duì)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的由來有了一定的了解。下面，請(qǐng)?jiān)偕钊胨伎?，看看還有沒有其他的方法也能獲得這樣的學(xué)習(xí)感悟呢？

（學(xué)生在問題的刺激下，再次投入到擺一擺、想一想、議一議等學(xué)習(xí)活動(dòng)中，努力從不同的角度探究、分析）

生1：我們小組研究發(fā)現(xiàn)，以前都是用1 平方厘米的小正方形去擺滿長(zhǎng)方形，得出小正方形的個(gè)數(shù)后，就知道長(zhǎng)方形的面積了?？扇绻龅胶艽蟮拈L(zhǎng)方形時(shí)，小正方形就不夠用了。這時(shí)只要用小正方形擺出長(zhǎng)方形的一行、一排，也能知道長(zhǎng)方形的面積。大家看，這個(gè)長(zhǎng)方形一行能擺12 個(gè)小正方形，一排能擺10 個(gè)小正方形。從中可以看出，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12cm，寬是10cm。也就是說，這個(gè)長(zhǎng)方形一共需要120 個(gè)小正方形才能擺滿，即長(zhǎng)方形的面積=12×10=120cm2。這樣的方法，對(duì)于計(jì)算較大的長(zhǎng)方形面積也是有幫助的。

生2：我們小組先用小正方形拼成不同的長(zhǎng)方形，再畫出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形，從中發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積與它的長(zhǎng)和寬有著密切的聯(lián)系。比如，有個(gè)長(zhǎng)方形一行能擺6個(gè)小正方形，一排能擺4個(gè)小正方形，即這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6cm，寬為4cm。也就是說，擺滿這個(gè)長(zhǎng)方形需要24 個(gè)小正方形，24 是由6×4 得來的，所以長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

……

數(shù)學(xué)課堂中，教師完全放手讓學(xué)生自己去探究，學(xué)生對(duì)新知的探究欲望會(huì)更強(qiáng)烈。如上述教學(xué)，教師給學(xué)生提供充足的探究時(shí)間和互動(dòng)學(xué)習(xí)的空間，讓學(xué)生在合作探究中發(fā)揮自己的聰明才智，迸發(fā)出個(gè)性化學(xué)習(xí)的靈感，實(shí)現(xiàn)另辟蹊徑、深化理解的目的。在交流互動(dòng)與思維碰撞中，學(xué)生可以把更大的長(zhǎng)方形面積通過自己的方法計(jì)算出來，真正明晰長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的由來，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)步入一個(gè)更為理想的境地。

四、研磨反思活動(dòng)，以辯論發(fā)展思維

數(shù)學(xué)課堂中，教師要善于利用各種有效的教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)探究性的問題情境，吸引學(xué)生主動(dòng)參與到“動(dòng)手做”的活動(dòng)中去。這樣既有助于學(xué)生經(jīng)歷富有數(shù)學(xué)味的操作過程，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐意識(shí)和動(dòng)手操作能力，又有利于學(xué)生獲得更多深入思考和探索發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷向縱深處漫溯，使學(xué)生的思維能力獲得發(fā)展。

師：你能用這樣的規(guī)律去探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

（學(xué)生小組合作探究，在練習(xí)紙上連線，把五邊形、六邊形分成若干個(gè)小三角形）

生1：五邊形從一點(diǎn)出發(fā)能連2 條線，分成3 個(gè)三角形，所以它的內(nèi)角和=180×3=540°。

生2：不要連2條線，連1條線即可，這樣就把五邊形分成1 個(gè)三角形和1 個(gè)四邊形，得出五邊形的內(nèi)角和等于540°。

生3：這樣不好。四邊形不是也能分成2 個(gè)三角形嗎？所以，還是從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)連2 條線，把五邊形分成3個(gè)三角形為好。

……

師：大家的辯論很有價(jià)值。研究問題要掌握一定的方法，這樣才能快速、有效地解決問題。這里從一點(diǎn)出發(fā)連線，看分成的三角形的個(gè)數(shù)，就是最有效的方法。下面，請(qǐng)大家用這個(gè)方法去研究六邊形的內(nèi)角和吧！

生4：從一點(diǎn)出發(fā)連3 條線，把六邊形分成4 個(gè)三角形，所以六邊形的內(nèi)角和是720°。

……

師：大家的學(xué)習(xí)真不賴！請(qǐng)回頭看看我們的研究，把得到的結(jié)果填入下表，并觀察表中的數(shù)據(jù)，想一想是否隱含著什么奧秘呢？

圖形名稱三角形四邊形五邊形六邊形……邊數(shù) 分成的三角形個(gè)數(shù) 內(nèi)角和（度）

生5：都是把多邊形分成若干個(gè)三角形。

生6：計(jì)算多邊形的內(nèi)角和，要先找它分成的三角形的個(gè)數(shù)。

生7：表格中的“邊數(shù)”總比“分成的三角形個(gè)數(shù)”多2……

師：不錯(cuò)！如果是20邊形呢？30邊形呢？

生8：20 邊形能分成20-2=18（個(gè)）三角形，30 邊形能分成30-2=28（個(gè)）三角形。

生9：我發(fā)現(xiàn)如果是A邊形，那它能分成三角形的個(gè)數(shù)就是A-2個(gè)。

師：你真了不起！在數(shù)學(xué)上，一般是說N邊形。那你知道N邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法嗎？

……

要想獲得學(xué)習(xí)成功，就得經(jīng)歷反復(fù)思考的艱難過程。上述教學(xué)，教師利用四邊形內(nèi)角和學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生去探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和，甚至是多邊形的內(nèi)角和，使學(xué)生產(chǎn)生不同的思考，引發(fā)新的探究、辯論。這樣教學(xué)使學(xué)生懂得如何解決同一類型的問題，積累了相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，“動(dòng)手做”作為一種全新的數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容，需要我們?cè)诮虒W(xué)中不斷探索、不斷優(yōu)化。我們有理由相信，如果在教學(xué)中能夠充分重視并認(rèn)真組織“動(dòng)手做”的活動(dòng)，就能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，讓他們的自主學(xué)習(xí)能力和思維在不斷探究中獲得發(fā)展，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。