考慮磁飽和效應(yīng)的永磁同步電機高精度數(shù)學(xué)模型分析

卓 亮，王 波，劉成思，徐永向

(1.貴州航天林泉電機有限公司，貴陽 550000；2.陸裝駐貴陽地區(qū)軍事代表室，貴陽 550000；3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱 150000)

0 引 言

永磁同步電機具有結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、損耗低、運行穩(wěn)定等優(yōu)點，在國防科技、家用電器、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。然而，由于磁飽和引起的電感變化，導(dǎo)致電機的輸出轉(zhuǎn)矩和電流之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系，導(dǎo)致傳統(tǒng)的永磁同步電機線性數(shù)學(xué)模型無法計算出精確的結(jié)果，從而無法實現(xiàn)高精度的電機控制。為了獲得更高的精度，可以采用場路耦合模擬的方法，但是這種方法每一步都需要進(jìn)行一次電磁場有限元計算，導(dǎo)致計算速度極低，效率低下[3]。為了能夠準(zhǔn)確且快速地進(jìn)行電機的性能分析，建立能夠考慮磁飽和影響的數(shù)學(xué)模型是十分必要的。

國內(nèi)外眾多學(xué)者針進(jìn)行了相關(guān)研究，提出了幾種研究方法來描述磁飽和對電機的影響。這些方法主要是使用修正系數(shù)來進(jìn)行電感和磁通的修正[4-6]，然而這些方法都不能很好的滿足精度要求。

本文提出了一種新型永磁同步電機數(shù)學(xué)模型。首先通過若干個工況的有限元計算，獲取電感、電流以及轉(zhuǎn)矩的計算結(jié)果，構(gòu)建電感與電流、轉(zhuǎn)矩與電流之間的對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上使用插值方法，將上述對應(yīng)關(guān)系由特定工況擴展至全工況。通過插值得到的模型其原始數(shù)據(jù)來自于電磁場有限元計算，所以其計算精度可以達(dá)到有限元計算級別。同時，在完成模型的建立后，不再需要進(jìn)行有限元計算，只需根據(jù)工況在模型內(nèi)進(jìn)行插值計算即可，保證了模型的計算速度。

1 傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學(xué)模型

傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學(xué)模型基于交直軸電壓方程以及轉(zhuǎn)矩方程進(jìn)行建立，其表達(dá)式如式1所示：

(1)

式中,Vd為直軸電壓，Ld為直軸電感，id為直軸電流，Vq為交軸電壓，Lq為交軸電感，iq為交軸電流，Tem為電磁轉(zhuǎn)矩，Rs為電阻，ωe為電機轉(zhuǎn)速，ψm為永磁體磁鏈，m為電機相數(shù)。

在傳統(tǒng)的永磁同步電機數(shù)學(xué)模型中，Ld與Lq被視作常數(shù)，因此電磁轉(zhuǎn)矩Tem隨電流id與iq呈現(xiàn)線性變化。傳統(tǒng)的永磁同步電機線性數(shù)學(xué)模型計算簡單且迅速，但是其一方面忽略了磁飽和效應(yīng)所造成的的非線性影響，另一方面沒有考慮到轉(zhuǎn)子位置改變所造成的影響，導(dǎo)致模型的精確度欠佳。因此，建立能夠考慮磁飽和效應(yīng)以及轉(zhuǎn)子位置影響的永磁同步電機數(shù)學(xué)模型是十分必要的。

2 新型計算模型

為了解決傳統(tǒng)的永磁同步電機線性數(shù)學(xué)模型存在的問題，提出了一種新的計算模型。在該計算模型中，Ld與Lq不再是常數(shù)，而是與電流id、iq和轉(zhuǎn)子位置θ相關(guān)的函數(shù)，具體的函數(shù)關(guān)系將在后文中由若干工況的有限元計算結(jié)合插值等數(shù)學(xué)方法獲得。所提出的模型表達(dá)式如式為

(2)

此外，由于式(2)中的轉(zhuǎn)矩方程只考慮了電流作用而產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，而沒有考慮齒槽轉(zhuǎn)矩等影響，所以對轉(zhuǎn)矩方程也進(jìn)行修正，也將其表示為與電流id、iq和轉(zhuǎn)子位置θ相關(guān)的函數(shù)，如：

Tem=h(id,iq,θ)

(3)

交直軸磁鏈Ld、Lq以及轉(zhuǎn)矩Tem與電流和位置的具體函數(shù)關(guān)系將在后續(xù)由若干個工況的有限元計算配合插值方法來進(jìn)行求解。使用上述函數(shù)關(guān)系進(jìn)行模型的建立，可以充分考慮磁飽和效應(yīng)以及轉(zhuǎn)子位置所帶來的影響。

所提出的新型計算模型的示意圖如圖1所示。

圖1 新型計算模型的結(jié)構(gòu)

由圖1可知，當(dāng)電機處于特定工況下，即給定電壓Vd和Vq時，首先可以通過模型進(jìn)行電流id和iq的計算。然后一方面可以通過函數(shù)關(guān)系Ld(id,iq,θ)和Lq(id,iq,θ)進(jìn)行交直軸電感Ld和Lq的計算，從而完成下一次的計算步驟，另一方面通過函數(shù)關(guān)系T(id,iq,θ)進(jìn)行轉(zhuǎn)矩的計算。更進(jìn)一步，可以使用轉(zhuǎn)矩Tem結(jié)合電機運動方程進(jìn)行轉(zhuǎn)子位置θ的計算。

由于上述函數(shù)關(guān)系，即Ld(id,iq,θ)、Lq(id,iq,θ)以及T(id,iq,θ)是通過有限元計算結(jié)合插值方法得到的，所以有限元計算所考慮到的磁飽和效應(yīng)的影響以及轉(zhuǎn)子位置的影響在該模型中也得以考慮。所以該模型不同于傳統(tǒng)的線性模型，是一種充分考慮非線性的數(shù)學(xué)模型，能夠提供精確的電機性能計算結(jié)果，從而可以為永磁同步電機的高精度控制策略提供指導(dǎo)。

3 新型計算模型的建立

以一臺10極12槽內(nèi)置式永磁同步電機為研究對象，進(jìn)行新型計算模型的建立，并在此基礎(chǔ)上對其計算速度及計算精度進(jìn)行驗證。所使用的10極12槽內(nèi)置式永磁同步電機結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 10極12槽電機結(jié)構(gòu)示意圖

電機的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 電機參數(shù)

函數(shù)Ld(id，iq，θ)、Lq(id，iq，θ)和T(id，iq，θ)通過有限元計算得到。為了保證計算的精度，id和iq的范圍應(yīng)覆蓋電機正常工作的電流范圍。因此，id和iq的范圍選擇應(yīng)該大于2倍過載電流，電流范圍設(shè)置在-40 A和40 A之間，電流的變化步長為10 A，因此有限元計算中id和iq的樣本數(shù)均為9，即進(jìn)行了81個工況的有限元計算。轉(zhuǎn)子位置θ在電角度0°到360°范圍內(nèi)變化。為了準(zhǔn)確地描述轉(zhuǎn)矩和電感的變化，設(shè)置有限元分析中θ的步長為3°，樣本數(shù)量為121。綜上所述，通過有限元計算可以得到81個工況的計算結(jié)果，每個計算結(jié)果內(nèi)包含121個數(shù)據(jù)點，共計9801個數(shù)據(jù)結(jié)果。

基于這9801個有限元計算的數(shù)據(jù)，采用插值法建立模型。完成插值后，可以獲得直軸電感Ld、交軸電感Lq以及轉(zhuǎn)矩Tem隨直軸電流id、交軸電流iq以及轉(zhuǎn)子位置θ變化的三維矩陣。上述三維矩陣即可進(jìn)行關(guān)系Ld(id，iq，θ)、Lq(id，iq，θ)和T(id，iq，θ)的描述。當(dāng)給定id、iq以及θ時，即可在三維矩陣中通過插值以類似查表的方法進(jìn)行直軸電感Ld、交軸電感Lq以及轉(zhuǎn)矩Tem的計算。

圖3 電角度0°時直軸電感隨電流的變化

為了直觀地進(jìn)行表示，將轉(zhuǎn)子位置固定在特定的角度0°，此時可以將上述三維矩陣簡化為二維矩陣。d軸電感和q軸電感在轉(zhuǎn)子位置為0°時與id和iq的關(guān)系呈現(xiàn)出二維曲面的形式，如圖3和圖4，可見，電感隨著id和iq而變化，這意味著電流導(dǎo)致的磁飽和效應(yīng)會影響電感的數(shù)值，并非如傳統(tǒng)線性模型所認(rèn)為的電感為常數(shù)。新型計算模型將這一特性考慮在內(nèi)，所以能夠獲取更加精確的電機性能計算結(jié)果。

同理，可以獲取轉(zhuǎn)矩在轉(zhuǎn)子位置為0°時與id和iq的關(guān)系，所呈現(xiàn)的二維曲面如圖5所示。

圖5 電角度0°時轉(zhuǎn)矩隨電流的變化

需要注意的是，雖然只進(jìn)行了特定電流和轉(zhuǎn)子位置的81個工況，9801個數(shù)據(jù)點的有限元計算，但是基于上述數(shù)據(jù)構(gòu)建模型后，使用三維插值可以將進(jìn)行任意電流和轉(zhuǎn)子位置角所對應(yīng)的電機性能的相關(guān)計算。

使用傳統(tǒng)線性模型以及本模型分別進(jìn)行電機轉(zhuǎn)矩特性的計算，所得到的結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 不同模型計算的轉(zhuǎn)矩特性

圖7 不同模型計算的轉(zhuǎn)矩波形

由圖6可知，所提出的新型計算模型計算出的轉(zhuǎn)矩隨iq呈現(xiàn)非線性變化，證明本模型考慮了磁飽和效應(yīng)所導(dǎo)致的非線性影響。由圖7可知，所提出的新型計算模型計算出的轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)子位置呈現(xiàn)波動，證明本模型考慮了轉(zhuǎn)子位置的影響。

4 模型的驗證

使用建立完成的計算模型進(jìn)行永磁同步電機額定運行狀態(tài)的性能計算。電機額定狀態(tài)為id=0 A，iq=15 A，輸出轉(zhuǎn)矩24 Nm。根據(jù)該工況給定特定的電壓輸入，則由于轉(zhuǎn)子位置的影響，id與iq呈現(xiàn)六次波動，如圖8和圖9所示。分別使用新型計算模型以及給定電壓輸入的有限元進(jìn)行電機額定狀態(tài)輸出轉(zhuǎn)矩的計算，計算結(jié)果如圖10所示。由圖10可知，由于新型模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)來自于有限元計算的81個工況的計算結(jié)果，所說義新型計算模型的轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果與場路耦合法計算得到的結(jié)果十分吻合，但是其計算速度遠(yuǎn)快于有限元計算，因此新型計算模型的準(zhǔn)確性與快速性均得到了驗證。

圖8 直軸電流波形

圖10 不同方法的轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果

5 結(jié) 論

本文提出一種新型永磁同步電機數(shù)學(xué)模型。通過若干個工況的有限元計算，獲取電感、電流以及轉(zhuǎn)矩的計算結(jié)果，構(gòu)建電感與電流、轉(zhuǎn)矩與電流之間的對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上使用插值方法，將上述對應(yīng)關(guān)系由特定工況擴展至全工況。通過插值得到的模型其原始數(shù)據(jù)來自于電磁場有限元計算，所以其計算精度可以達(dá)到有限元計算級別。在計算時，通過已有數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計算即可獲取當(dāng)前工況的電機性能，不再需要有限元計算，因此計算速度得到了保證。本計算方法能夠?qū)崿F(xiàn)電機性能的快速高精度計算，能夠為高品質(zhì)的電機控制策略提供保證。