環(huán)F2[u]/(ue+1)上一類常循環(huán)LCD碼及其Gray象

黃 山

(安徽警官職業(yè)學(xué)院 信息管理系，合肥 230031)

0 引 言

LCD碼在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和對(duì)稱密碼中有重要應(yīng)用。1964年，Massey引入有限域上的可逆碼，將其應(yīng)用于解決數(shù)據(jù)的有效存儲(chǔ)。[1]1992年，Massey正式提出LCD碼的概念[2]，并在文獻(xiàn)[3]中研究了循環(huán)LCD碼。2015年，Carlet等將LCD碼應(yīng)用于抵抗側(cè)信道攻擊和錯(cuò)誤注入攻擊。[4]此后，有限域上的LCD碼得到廣泛的研究。[5，6]2018年，Carlet等人[7]證明，給定有限域Fq上參數(shù)為[n,k,d]的線性碼，當(dāng)q>3時(shí)，F(xiàn)q上存在一個(gè)與其等價(jià)的LCD碼。自此，有限域F2上的LCD碼成為重點(diǎn)研究對(duì)象。

2017年，Rao等[8]研究了F2上奇數(shù)長(zhǎng)度n≤257的LCD循環(huán)碼，得到了一些參數(shù)好的LCD碼。2018年，Galvez等人[9]研究了F2上維數(shù)k=2的LCD碼的碼長(zhǎng)上界。2019年，Harada等[10]研究了F2上小維數(shù)的LCD碼的碼長(zhǎng)上界。同年，F(xiàn)u等[11]利用矩陣的方法，討論了F2上LCD碼的存在性；Zhou等[12]利用矩陣方法，給出了一種構(gòu)造F2上LCD碼的方法，并構(gòu)造了參數(shù)優(yōu)的LCD碼。2020年，Huang等人[13]引入絕對(duì)陪集首的概念，構(gòu)造了幾類F2上LCD BCH碼；Wu等人[14]通過(guò)單復(fù)形構(gòu)造了F2上參數(shù)優(yōu)的LCD碼。2021年，Araya等人[15]研究了F2上維數(shù)k=5的LCD碼的最大極小重量；Harada[16]通過(guò)調(diào)整已知自對(duì)偶碼的構(gòu)造方法，構(gòu)造了F2上參數(shù)好的LCD碼；最近，Bouyuklieva研究了F2上LCD碼的截?cái)嗪痛蚩状a，對(duì)于給定的碼長(zhǎng)和維數(shù)，給出了LCD碼的最小距離的上界。[17]

2015年，Liu等人[18]給出了有限鏈環(huán)上線性碼是LCD碼的必要條件，在一定條件下，給出了有限鏈環(huán)上線性碼是LCD碼的充分條件。2019年，Shi等人[19]研究了長(zhǎng)度為2n的雙循環(huán)4碼。同年，Liu等人[20]利用有限交換環(huán)上的線性代數(shù)理論，給出了有限交換環(huán)上線性碼是LCD碼的若干判定準(zhǔn)則；Bhowmick等人[21]證明有限交換Frobenius局部環(huán)上不存在非自由LCD碼，并利用MAGMA軟件，得到了環(huán)4上一些新的最優(yōu)循環(huán)LCD碼。最近，廖等人[22]研究了環(huán)4上偶長(zhǎng)度的負(fù)循環(huán)LCD碼，構(gòu)造了一類最小Lee距離至少是6的LCD碼；開曉山等人[23]研究了環(huán)4上奇長(zhǎng)度的循環(huán)LCD碼，構(gòu)造了4上長(zhǎng)度為2m+1的循環(huán)LCD碼，得到了參數(shù)好的二元非線性可逆碼。

本文將研究環(huán)F2[u]/(ue+1)上任意長(zhǎng)度的(1+λu)-常循環(huán)LCD碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其Gray象，其中λ是環(huán)F2[u]/(ue+1)的單位。易知，環(huán)F2[u]/(ue+1)是一個(gè)有限鏈環(huán)。Norton等人[24]給出了有限鏈環(huán)上線性碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并在文獻(xiàn)[25]中證明有限鏈環(huán)上線性碼的Hamming距離等于其最高階撓碼的Hamming距離。Cao在文獻(xiàn)[26]中給出了有限鏈環(huán)R上任意長(zhǎng)度的(1+λγ)-常循環(huán)碼及其對(duì)偶碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中λ是環(huán)R的單位，γ是環(huán)R的極大理想的生成元。下文通過(guò)引入一個(gè)恰當(dāng)?shù)腉ray映射，利用環(huán)F2[u]/(ue+1)上(1+λu)-常循環(huán)LCD碼的Gray象，構(gòu)造F2上的LCD碼。

1 預(yù)備知識(shí)

在Rn上，n-元組a=(a0,a1,…,an-1)和b=(b0,b1,…,bn-1)的內(nèi)積定義為

a·b=a0b0+a1b1+…+an-1bn-1。

環(huán)R上長(zhǎng)度為n的線性碼C的對(duì)偶碼，記作C⊥，定義為{b∈Rn|a·b=0,?a∈C}。由文獻(xiàn)[24]，|C|·|C⊥|=|R|n。如果C∩C⊥={0}，則稱C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的LCD碼。文獻(xiàn)[21]證明，環(huán)R上的LCD碼都是自由碼。

設(shè)λ∈R是一個(gè)單位，則1+λu也是環(huán)R的單位。設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的線性碼，如果對(duì)任意的(c0,c1,…,cn-1)∈C，((1+λu)cn-1,c0,…,cn-2)∈C，則稱C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的(1+λu)-常循環(huán)碼。由文獻(xiàn)[26]，C⊥是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的(1+λu)-1-常循環(huán)碼，其中(1+λu)-1表示1+λu的逆元。定義

σ:Rn→R[x]/(xn-1-λu)

(c0,c1,…,cn-1)c0+c1x+…+cn-1xn-1

且σ(C)={σ(c)|c∈C}。則C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的(1+λu)-常循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)σ(C)是商環(huán)R[x]/(xn-1-λu)的理想。在不引起混淆的情況下，本文不區(qū)分C和σ(C)。設(shè)

f(x)=1+f1x+…+ftxt+xt+1∈F2[x]

其中t≥-1是整數(shù)。f(x)的互反多項(xiàng)式定義為f*(x)=1+ftx+…+f0xt+xt+1。當(dāng)f*(x)=f(x)時(shí)，f(x)稱為自互反多項(xiàng)式。設(shè)n=2s，其中s為非負(fù)整數(shù)且為正奇數(shù)。x-1在F2[x]上唯一分解為不同的首一不可約多項(xiàng)式的乘積，即

(1)

引理1[26]設(shè)x-1在F2上的因式分解如式(1)。設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的(1+λu)-常循環(huán)碼，則存在0≤ai,bi,ci≤2s(e+1)使得C的生成多項(xiàng)式

(2)

2 主要結(jié)果

下面，給出環(huán)R上任意長(zhǎng)度的(1+λu)-常循環(huán)LCD碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

定理1 設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為2s生成多項(xiàng)式為式(2)的(1+λu)-常循環(huán)碼，則C是環(huán)R上長(zhǎng)度為2s的LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意i∈I，ai=0或2s(e+1)且對(duì)任意i∈J，bi=ci=0或2s(e+1)。

證明必要性 由引理1，

容易驗(yàn)證，c(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)任意i∈I，max{ai,2s(e+1)-ai}=2s(e+1)；對(duì)任意i∈J，

max{bi,2s(e+1)-ci}=max{ci,2s(e+1)-bi}=2s(e+1)

由此推出，對(duì)任意i∈I，ai=0或2s(e+1)；對(duì)任意i∈J，bi=ci=0或2s(e+1)。

假設(shè)存在c(x)∈R[x]使得c(x)∈C∩C⊥且c(x)≠0，則存在a(x),b(x)∈R[x]使得

c(x)=a(x)g(x)=b(x)g⊥(x)

h(x)g(x)+l(x)g⊥(x)=1

于是，在R[x]上，

b(x)=b(x)[h(x)g(x)+l(x)g⊥(x)]=

h(x)b(x)g(x)+l(x)a(x)g(x)=

[h(x)b(x)+l(x)a(x)]g(x)

因此，在R[x]/(x2s-1-λu)上，

c(x)=b(x)g⊥(x)=[h(x)b(x)+l(x)a(x)]g(x)g⊥(x)=0

這與c(x)≠0矛盾。

由定理1，環(huán)R上(1+λu)-常循環(huán)碼是LCD碼有如下等價(jià)的判定定理。

定理2 設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為2s生成多項(xiàng)式為g(x)的(1+λu)-常循環(huán)碼，則C是LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)存在x-1在F2[x]上的自互反因式f(x)使得g(x)=f(x)2s(e+1)。

r=r0+ur1+…+uere

2010年央行宣布重啟人民幣匯率形成機(jī)制改革后，人民幣匯率繼續(xù)升值，但由于此時(shí)我國(guó)新增4萬(wàn)億經(jīng)濟(jì)刺激計(jì)劃的逐步落實(shí)，宏觀經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率并沒有出現(xiàn)大幅下滑，但此次經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)更多依賴于國(guó)內(nèi)投資和內(nèi)需增加，并引發(fā)國(guó)內(nèi)物價(jià)的小幅上升；此外，在全球貨幣貶值背景下人民幣幣值的堅(jiān)挺也使我國(guó)進(jìn)出口貿(mào)易受到影響。由于后金融危機(jī)時(shí)期我國(guó)經(jīng)濟(jì)對(duì)世界經(jīng)濟(jì)的帶動(dòng)地位，我國(guó)外匯儲(chǔ)備規(guī)模得到了進(jìn)一步提升。

dG(C)=min{dG(a,b)|a,b∈C,a≠b}

如果C的Gray距離為dG，則稱C是環(huán)R上(n,M,dG)線性碼。C的Gray象定義為

ΦA(chǔ)(C)={ΦA(chǔ)(a)|a∈C}。

證明由映射ΦA(chǔ)的定義，對(duì)任意a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1)∈Rn，

注意到，對(duì)任意a,b∈F2，φA(a-b)=φA(a)-φA(b)，則

容易驗(yàn)證，對(duì)任意a,b∈Rn，ΦA(chǔ)(a-b)=ΦA(chǔ)(a)-ΦA(chǔ)(b)。由引理2，如下性質(zhì)成立。

定理3 設(shè)C是環(huán)R上(n,M,dG)線性碼，則ΦA(chǔ)(C)是F2上[(e+1)n,log2M,dG]線性碼。

為了確定ΦA(chǔ)(C)的對(duì)偶碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)，設(shè)J是F2上斜對(duì)角線及其以上元素全為1其余元素均為0的e+1階方陣，即

我們有如下結(jié)論。

定理4 設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的線性碼，則ΦA(chǔ)(C)的對(duì)偶碼ΦA(chǔ)(C)⊥=ΦJ(A-1)T(C⊥)，其中A-1表示A的逆矩陣，AT表示A的轉(zhuǎn)置矩陣。

證明設(shè)a∈ΦJ(A-1)T(C⊥)，則存在b=(b0,b1,…,bn-1)∈C⊥使得

a=(φJ(rèn)(A-1)T(b0)‖φJ(rèn)(A-1)T(b1)‖…‖φJ(rèn)(A-1)T(bn-1))。

其中bi=bi0+ubi1+…+uebie，ci=ci0+uci1+…+uecie。在Rn上，

ΦJ(A-1)T(C⊥)?ΦA(chǔ)(C)⊥

另一方面，|ΦJ(A-1)T(C⊥)|·|ΦA(chǔ)(C)|=|C⊥|·|C|=|R|n=2(e+1)n，即|ΦJ(A-1)T(C⊥)|=|ΦA(chǔ)(C)⊥|。所以，

ΦA(chǔ)(C)⊥=ΦJ(A-1)T(C⊥)。

引理3對(duì)任意正整數(shù)e，在F2上存在e+1階方陣A使得AAT=B。

結(jié)合定理4，如下結(jié)論成立。

定理5設(shè)A是F2上e+1階方陣且AAT=B。設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的線性碼，則ΦA(chǔ)(C)是F2上長(zhǎng)度為(e+1)n的LCD碼當(dāng)且僅當(dāng)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n的LCD碼。

證明注意到A=B(AT)-1，由定理4，ΦA(chǔ)(C)⊥=ΦA(chǔ)(C⊥)。因此，

ΦA(chǔ)(C)∩ΦA(chǔ)(C)⊥=ΦA(chǔ)(C)∩ΦA(chǔ)(C⊥)

由于ΦA(chǔ)(C)為雙射，所以ΦA(chǔ)(C)∩ΦA(chǔ)(C)⊥=ΦA(chǔ)(C∩C⊥)，故結(jié)論成立。

由定理2和定理5，得到如下結(jié)論。

定理6設(shè)A是F2上e+1階方陣且AAT=J。設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為2s生成多項(xiàng)式為f(x)2s(e+1)的(1+λu)-常循環(huán)碼，其中f(x)∈F2[x]是x-1的自互反因式。則ΦA(chǔ)(C)是F2上參數(shù)為[(e+1)2s,(e+1)(-degf)2s,≥d]的LCD碼，其中d是F2上長(zhǎng)度為2s生成多項(xiàng)式為f(x)2s的循環(huán)碼的Hamming距離。

證明由引理1，|C|=2(e+1)(-degf)2s。由定理2，C是環(huán)R上(2s,2(e+1)(-degf)2s)的LCD碼。由定理3和定理5，ΦA(chǔ)(C)是F2上參數(shù)為[(e+1)2s,(e+1)(-degf)2s]的LCD碼。

φA(r)=(r0,r1,…,re)A≠0

即wG(r)=wH(φA(r))≥1。由此推出，對(duì)任意0≠c∈C，wG(c)≥wH(c)≥d。因此dG(C)≥d。由引理2，ΦA(chǔ)(C)的Hamming距離dG(C)≥d。

綜上所述，結(jié)論成立。

運(yùn)用定理6，可以構(gòu)造F2上具有如下參數(shù)的LCD碼。

推論1設(shè)A是F2上e+1階方陣且AAT=J。設(shè)η是一個(gè)2m-1次本原單位根，其中m≥4為正整數(shù)。設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為2m+1-2生成多項(xiàng)式為[(x-1)f(x)f*(x)]2(e+1)的循環(huán)碼，其中f(x)是η在F2[x]上的極小多項(xiàng)式，f*(x)是f(x)的互反多項(xiàng)式。則ΦA(chǔ)(C)是F2上參數(shù)為[(e+1)(2m+1-2),(e+1)(2m+1-4-4m),≥6]的LCD碼。

[(e+1)(2m+1-2),(e+1)(2m+1-4-4m)]

的LCD碼。設(shè)D是F2上長(zhǎng)度為2m+1-2生成多項(xiàng)式為[(x-1)f(x)f*(x)]2的循環(huán)碼。下面證明dH(D)≥6。設(shè)D0是F2上長(zhǎng)度為2m-1生成多項(xiàng)式為(x-1)f(x)f*(x)的循環(huán)碼。由文獻(xiàn)[27]，dH(D)=dH(D0)。注意到η-2,η-1,1,η,η2是(x-1)f(x)f*(x)的零點(diǎn)，由BCH界，dH(D0)≥6，即dH(D)≥6。由定理6，結(jié)論成立。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了多項(xiàng)式剩余類環(huán)R=F2[u]/(ue+1)上的線性碼的Gray象，給出了一種構(gòu)造F2上LCD碼的方法。首先，給出了環(huán)R上任意長(zhǎng)度的(1+λu)-常循環(huán)碼是LCD碼的充要條件。其次，研究了環(huán)R上線性碼的Gray象的代數(shù)結(jié)構(gòu)。引入了一類特殊的Gray映射，給出了環(huán)R上長(zhǎng)度為n的線性碼的Gray象是F2上長(zhǎng)度為(e+1)n的LCD碼的充要條件。最后，利用環(huán)R上任意長(zhǎng)度的(1+λu)-常循環(huán)LCD碼的Gary象，構(gòu)造了F2上的LCD，并得到了F2上一類Hamming距離大于等于6的LCD碼。