雜交變異果蠅優(yōu)化算法在冗余度機械手逆運動的應用研究

劉浩,姜長青

(1. 衡水學院 物理與電子信息系機電研究所,河北衡水 053000; 2. 清華大學 航天航空學院,北京 100084)

機器人運動學中的兩個基本問題是正運動學和逆運動學。正運動學根據(jù)關節(jié)變量確定末端執(zhí)行器相對于參考坐標系的位姿比較容易,而且其解具有確定性。而從逆運動學方面求解關節(jié)變量,則是一個復雜非線性問題,相對于正運動學來說,求解的難度更大。逆運動學問題是機器人學中的一個重要問題,也是機器人運動控制、運動學規(guī)劃和動力學分析的前提和基礎[1]。

通常,求解機器人逆運動學問題的傳統(tǒng)方法有閉式方法和數(shù)值方法[2]。閉式方法具有求解速度快,精度高的優(yōu)點,并能夠獲得所有可能的逆解。然而,閉式方法主要依賴于機器人的結構。如果機器人不滿足Pieper準則,閉式方法不能應用于逆運動學問題的求解。因此,只有一些運動簡單類型的機器人可采用閉式方法獲得完整的分析解決方案。數(shù)值方法是求解復雜鉸接式機械手逆運動學的主要方法,不過該方法將會造成相當大的計算負荷。此外,冗余機械手有無窮多個逆解,這使得采用常規(guī)方法求解逆運動學問題變得更加困難。因此,越來越多的研究者開始關注用人工智能優(yōu)化算法求解運動學逆問題。

到目前為止,研究學者提出了各種優(yōu)化算法來計算機器人逆運動學的問題[3-7],如遺傳算法(Genetic algorithm,GA),差分進化算法(Differential evolution,DE),人工蜂群算法(Artificial bee colony,ABC)和基于生物地理學的優(yōu)化算法被提出來求解逆運動問題。基于此,本研究開發(fā)了一種新的雜交變異果蠅優(yōu)化算法(HMFOA),通過構造適應度函數(shù)使末端執(zhí)行器的位姿誤差最小化為目標,利用正運動學和適應度函數(shù),將逆運動學問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題,來求解逆運動學問題。

1 七自由度機械手的運動學分析

在本研究中,以某七個自由度工業(yè)機器人為實例來討論了逆運動學問題。七自由度機械手示意圖如圖1所示,其結構示意簡圖如圖2所示。

圖1 七自由度機械手示意圖

圖2 機械手結構示意簡圖

表1列出了Denavit-Hartenberg(DH)參數(shù)以及機器人左臂關節(jié)的上下極限。其中參數(shù)θi,αi,di,ai,li和ui(i=1,2,3,…,7)分別表示七自由度機械手的關節(jié)角度、連桿扭轉(zhuǎn)角、連桿偏移,連桿長度、關節(jié)的上下限參數(shù)值。

表1 機械臂DH參數(shù)

則齊次變換矩陣可以表示為

(1)

式中:sθi和cθi分別表示sinθi和cosθi;sαi和cαi分別表示sinαi和cosαi。從而正運動學可以表示為

(2)

根據(jù)式(1)和式(2),可以看出冗余機械手的姿態(tài)方程是關節(jié)變量的函數(shù)。給定機械手臂的關節(jié)變量參數(shù),可以通過姿態(tài)方程求解出唯一的機械手臂末端執(zhí)行器的位姿參數(shù)。但是,給定機械手臂末端執(zhí)行器的位姿參數(shù),反向求解機械手臂的關節(jié)變量參數(shù)則可能有多個解,也就是說,正運動學是一對一的關系,而逆運動學則是一對多的關系。

2 改進的FOA

果蠅優(yōu)化算法FOA是一種基于果蠅覓食行為演化而來的智能算法,其算法特點結構簡單,可調(diào)整的參數(shù)少,且在計算過程中比較易于理解和實現(xiàn)等優(yōu)點,已在求解工程問題中得到了廣泛應用[8-9]。然而,FOA在實際求解過程中也存在很多不足,特別是在判斷氣味濃度時,其判斷值只能取正值或者零,因此FOA不能處理決策變量為負值的優(yōu)化問題。由于FOA的優(yōu)化特性主要依靠果蠅本代的最優(yōu)解,在維持種群多樣性方面的能力則顯得比較薄弱,從而算法容易陷入局部極值。為了解決FOA的收斂問題,在FOA的基礎上提出變異果蠅優(yōu)化算法(HMFOA),該算法綜合考慮了嗅覺搜索的雜交突變機制和視覺搜索的實時動態(tài)更新機制。

2.1 嗅覺搜索的雜交突變機制

早期的果蠅優(yōu)化算法(FOA)中,氣味濃度的判斷值Si取決于優(yōu)化過程中的決策向量,其值是距離的倒數(shù),即氣味濃度判斷值為非負,同時不能均勻分布在搜索空間。在HMFOA中,假設N維搜索空間中果蠅的第i次位置表示為Xi=(xi1,xi2,…,xiN),則可以根據(jù)氣味判斷值Si=Xi,獲知第i只果蠅的氣味濃度判斷值。

HMFOA的嗅覺搜索根據(jù)受差分進化算法思想,可表示為:

(3)

(4)

(5)

(6)

式中:Pbg表示種群中所有果蠅之前的最佳位置;Pbr1表示第r1個果蠅之前的最佳位置;Pbr2表示第r2個果蠅之前的最佳位置;r1和r2為在[1,m]范圍內(nèi)生成的隨機且相互不同的整數(shù)(m表示種群大小),同時存在r1≠r2≠i≠g;U和L分別是搜索空間的上下邊界向量;rand1,rand2、rand3、rand4和rand6是均勻分布在區(qū)間[0,1]上的隨機變量;ω是一個控制搜索半徑的比例因子;t為當前的迭代次數(shù),tmax為最大迭代次數(shù)。

由式(3)可知,在算法進化的早期階段選擇式(5)作為概率較大的搜索算子,這可以保證算法在全局搜索過程中具有較強的能力。隨著算法進一步迭代,式(4)中作為搜索算子的概率也逐漸增大。因此,在算法進化的后期,由于在全局最優(yōu)位置附近增強了局部擾動搜索,從而提高了算法的收斂精度。

由式(4)和式(5)可知,嗅覺搜索的原理是根據(jù)隨機概率的方式選擇4種變異策略中的一種作為果蠅當前的嗅覺搜索算子。這樣通過隨機交替不同的變異策略,可以形成雜交協(xié)同進化機制,從而使得種群保持了多樣性。通過差分向量ω×(Pbr1-Pbr2)隨機擾動參考向量,有利于提高算法搜索的多樣性,從而保證了提高算法的可靠性。在式(6)中,遞減擾動標度因子ω具有非線性,能夠平衡HMFOA的全局搜索和局部搜索。即在迭代的早期階段,較大值的因子ω的值相對較大,能夠保證算法的搜索范圍,因而具有較強的全局搜索能力。隨著遞減擾動標度因子ω的減小,果蠅個體的搜索半徑也隨之減小。即可以看出在算法進化的后期有著較強的局部搜索能力,能夠在局部范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解。

2.2 視覺搜索的實時動態(tài)更新機制

在早期果蠅優(yōu)化算法(FOA)中,果蠅在完成嗅覺搜索后再通過視覺器官飛向最佳位置。這種搜索方法具有一定的局限性,當最佳果蠅對應的位置是局部極值時,則算法容易導致過早收斂,同時由于未考慮了其他非優(yōu)果蠅對種群搜索的貢獻,使得搜索過程過度強調(diào)果蠅個體之間的競爭關系,從而容易限制果蠅個體之間的合作關系。

為了加快算法的收斂速度,在HMFOA視覺搜索中采用了動態(tài)實時更新機制。視覺搜索是指式(4)和式(5)中搜索中心位置向量的動態(tài)實時更新,也就是說,當果蠅的位置被更新時,立即評估新的果蠅位置,然后利用式(7)和式(8)進一步實時更新干擾中心位置向量Pbg、Pbg×rand3和Pbi(本文中的優(yōu)化問題是最小優(yōu)化問題)。

(7)

(8)

式中fitness(*)是適應度函數(shù),HMFOA通過實時更新的視覺搜索機制,可以充分利用每個果蠅個體的成功搜索經(jīng)驗,有效提高種群的搜索效率。

2.3 越界處理

在HMFOA進化過程中,可能會出現(xiàn)果蠅的位置超出搜索空間的情況。為了提高種群的多樣性,對越界位置分量作如下處理:

(9)

式中:lj和uj分別是xij的下邊界和上邊界。

2.4 HMFOA的步驟

HMFOA的實現(xiàn)過程如圖3所示。

圖3 HMFOA的實施步驟

具體得實施步驟如下:

步驟1 初始化相關參數(shù),包括總群大小和最大迭代次數(shù),隨機初始化搜索空間中所有果蠅的位置。果蠅個體的最佳位置是當前位置。選擇全局最優(yōu)位置作為當前群的最優(yōu)位置。令i=1,t=1。

步驟2 根據(jù)式(3)～式(6)進行第i只果蠅的嗅覺搜索。根據(jù)式(9)對越界位置分量進行處理,并計算第i只果蠅的適應度。

步驟3 根據(jù)式(7),實時更新種群的最佳先前位置,并記錄其目標適應度。

步驟4 根據(jù)式(8),實時更新第i只果蠅的最佳先前位置,并記錄其目標適應度。

步驟5 如果當前這一代的所有果蠅都完成了進化操作,也就是說i=m,則執(zhí)行下一步。否則,設置i=i+1,并返回步驟2。

步驟6 如果迭代次數(shù)達到最大值,也就是t=tmax,算法結束并輸出優(yōu)化結果。否則,設置t=t+1,i=1并返回步驟2。

3 仿真與分析

為分析改進的FOA算法,本節(jié)通過采用8個典型的基準函數(shù)進行測試,對HMFOA的可行性進行驗證,并在此基礎上利用該算法進行七自由度冗余度機械手逆運動學的求解,并與FOA[10]、LGMS-FOA[11]和AE-LGMS-FOA[12]方法進行了對比分析。

3.1 參數(shù)設置

為分析各算法在冗余度機械手逆運動學問題的優(yōu)劣,設定種群規(guī)模為60,且所有算法的最大迭代次數(shù)設為1 000。在LGMS-FOA算法中,設置參數(shù)ω0=1,α=0.95,n=0.005。在AE-LGMS-FOA算法中,設置參數(shù)p=0.005,ω0=1,n=10,并用80%的最佳種群產(chǎn)生XAv。對于FOA算法,在[0,10]范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機初始化的果蠅種群,設定覓食的隨機方向和距離[1,1]。機械手臂的DH參數(shù)以及關節(jié)的上下限同樣參照如表1所示,在MATLAB R2019A中編寫所有的算法。

3.2 仿真模擬

如表2所示為8個基準函數(shù),用來驗證HMFOA的特性。其中f1、f2、f3和f4是單峰函數(shù),它們用來測試算法的收斂速度和精度,后f5、f6、f7和f8是多峰函數(shù),它們是用來測試算法的全局搜索能力。

表2 基準函數(shù)表達式

為了分析評估結果是否可靠,對每個基準函數(shù)在各算法下進行了50次測試,如圖4～圖11所示為各算法在基準函數(shù)f1～f8下的仿真出的平均收斂曲線,為了便于對分析結果進行評估和觀察,各圖的縱坐標是以10為底的對數(shù)來對應目標函數(shù)的適應度,可以看出在8個基準函數(shù)中,HMFOA具有非常好的收斂效果,而FOA、LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA方法的收斂效果相對較差,且可以看出HMFOA的進化曲線具有更快的下降速度,達到了一個比較低的水平,這也可以看出HMFOA具有較好的收斂速度和收斂精度,而也可以從圖可以看出FOA、LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA容易陷入局部最優(yōu)。

圖4 基準函數(shù)f1下的平均收斂曲線

圖5 基準函數(shù)f2下的平均收斂曲線

圖6 基準函數(shù)f3下的平均收斂曲線

圖7 基準函數(shù)f4下的平均收斂曲線

圖8 基準函數(shù)f5下的平均收斂曲線

圖9 基準函數(shù)f6下的平均收斂曲線

圖10 基準函數(shù)f7下的平均收斂曲線

圖11 基準函數(shù)f8下的平均收斂曲線

3.3 冗余度機械手逆運動學求解

在求解七自由度冗余度機械手逆運動學問題中,一般設定在第i個果蠅的位置矢量時,位置矢量的相關信息包含7個關節(jié)的變量集,θi1,θi2,…,θi7分別表示7個關節(jié)角,即Xi=[Xi1,Xi1,…,Xi7]=[θi1,θi2,…,θi7]。從而可以根據(jù)機械手關節(jié)變量設定末端執(zhí)行器的期望位姿矩陣，即

(10)

根據(jù)正運動學求解方法,可將第i只果蠅的位置矢量Xi的參數(shù)代入正運動學方程,進而得到末端執(zhí)行器的實際位姿矩陣，即

(11)

(12)

(13)

從而可以看出,逆運動學問題的適應度函數(shù)可表示為

f=min(f′+λf″)

(14)

即最小函數(shù)min(*)為適應度函數(shù),λ是權重系數(shù)。

為進一步求解機械手逆運動學問題,將種群規(guī)模擴展到100,其余參數(shù)與原來保持一致,同時設定權重系數(shù)λ=10-2,則末端執(zhí)行器期望位姿矩陣為

(15)

為驗證計算結果的可靠性,在每個算法的基礎上分別獨立運行了50次。表3為各算法運行后的最佳、最差、平均值、標準差和成功率(SR)的適應度結果。其中成功率(SR)代表算法的收斂精度,表達式為

(16)

式中:n是試驗計算的總數(shù);n′是試驗合格的次數(shù)。

表3 不同算法下的數(shù)值統(tǒng)計

表4給出了各算法對應最佳適應度的逆運動學解,根據(jù)表4中的運動學逆解,從而可以求解不同算法下末端執(zhí)行器的姿態(tài)。

表4 各算法對應最佳適應度的逆運動學解

由表4可知,與其他算法相比,HMFOA的最佳值、最差值、平均值、標準差和成功率均相對較優(yōu),且可以得出HMFOA的成功率高達95.2%,而FOA、LGMS-FOA和AE-LGMSFOA的成功率則基本接近于零。LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA的最佳值分別比HMFOA相差約13和12個數(shù)量級,而最差的優(yōu)化結果為FOA。如圖12所示為各算法的平均收斂曲線,同樣圖中縱坐標代表目標函數(shù)適應度以10為底的對數(shù),可以看出HMFOA具有在收斂速度和收斂精度具有明顯的優(yōu)勢。

圖12 冗余度機械手的平均收斂曲線

表5所示為不同算法下的機械手的姿態(tài)誤差,可以看出HMFOM的最優(yōu)解位置誤差最小,而FOA算法下的位置誤差高達102mm,即可以看出FOA計算出的逆運動學解誤差太大,是不理想的。LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA計算運動學逆解的方向誤差具有非常高的精度,但位置誤差的精度相對較低,可以看出位置的最大誤差分別為10-1mm和10-2mm。

從仿真分析的結果可以得出,對于求解七自由度機械手逆運動學各計算方法中,HMFOA的計算結果要明顯好于FOA、LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA,這也可以得出在求解冗余度機械臂逆運動學問題中,HMFOA提供了一種有效可靠的算法。

4 結論

針對某七自由度冗余度機械手的逆運動學求解過程中, 提出了一種改進的擇交變異果蠅優(yōu)化算法,將逆運動問題轉(zhuǎn)化為最小優(yōu)化問題,即混合變異果蠅優(yōu)化算法。該算法考慮了嗅覺搜索機制,能夠有效地平衡了算法的全局搜索和局部搜索,且能夠解決早熟收斂問題。采用視覺搜索的動態(tài)實時更新方法,有效的借鑒了每個果蠅個體的成功搜索經(jīng)驗,進而提高了種群的搜索能力和搜索效率。在此基礎上以七自由度冗余度機械手逆運動學為例,通過典型的基準函數(shù)進行了仿真試驗,可以看出所提出的HMFOA算法與其他算法相比,在求解冗余度機械手的逆運動學方面具有明顯的優(yōu)勢。