針對(duì)多源不確定性變量的非概率可靠性靈敏度分析

喬心州,楊果,方秀榮,劉鵬

(西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,西安 710054)

可靠性靈敏度能夠反映不確定變量各項(xiàng)參數(shù)對(duì)可靠度的影響程度,并給出其重要性排序,從而為可靠性理論研究以及可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)提供重要的數(shù)據(jù)支持[1-2]。近年來,隨著人們對(duì)結(jié)構(gòu)安全性要求的逐漸提高以及機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的精密化,可靠性靈敏度研究的重要性逐漸凸顯,受到了相關(guān)領(lǐng)域研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[3]。傳統(tǒng)的可靠性靈敏度分析方法研究,多數(shù)是在概率理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,例如一次二階矩法,Monte Carlo模擬法以及重要抽樣法等[4-5]。但是,使用概率模型描述不確定變量的時(shí)候,通常需要充足的不確定變量信息。這是因?yàn)楦怕士煽啃苑治龇椒▽?duì)樣本信息有著很強(qiáng)的依賴性,樣本信息出現(xiàn)的細(xì)小誤差,也可能使可靠性分析結(jié)果出現(xiàn)較大變動(dòng),從而使可靠性分析結(jié)果的準(zhǔn)確性難以保證[6]。

針對(duì)這一問題,20世紀(jì)90年代,Ben-haim和Elishakoff提出了非概率凸模型,用來代替概率模型進(jìn)行不確定變量的描述[7-8]。這類模型的構(gòu)造只需要簡單的不確定變量邊界信息就可完成,而不需要變量的概率密度函數(shù)等信息,這使得可靠性理論研究能夠更好地與工程實(shí)際相結(jié)合。在這一背景下,非概率可靠性靈敏度研究也取得了較大進(jìn)展。Guo等[9]針對(duì)隨機(jī)變量與區(qū)間變量的混合情況,提出了可靠性靈敏度分析方法;姜潮等[10]針對(duì)概率變量與非概率變量混合的情況,提出了一種新型的可靠性靈敏度分析方法;Xiao等[11]在考慮了變量相關(guān)性的基礎(chǔ)上,提出了區(qū)間模型可靠性靈敏度分析的優(yōu)化方法;李貴杰等[12]基于有限差分法,提出了可靠性靈敏度的優(yōu)化方法;He等[13]等通過使用一般凸模型的方式,將非概率可靠性凸模型中經(jīng)常使用到的3種模型進(jìn)行了統(tǒng)一的表述,并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了該模型的可靠性靈敏度計(jì)算方法;喬心州等[14]基于橢球模型,提出了考慮變量相關(guān)性的可靠性靈敏度計(jì)算方法;王良偉和何新黨[15]基于多橢球模型,使用蒙特卡洛法以及有限差分法對(duì)非概率可靠性指標(biāo)及參數(shù)靈敏度的分析方法進(jìn)行了研究。

然而上述研究中,對(duì)于變量間關(guān)系的考量都略顯不足。眾所周知,在工程實(shí)際中,變量不確定性的來源十分廣泛,包括結(jié)構(gòu)的形狀、材料以及所受載荷、所處環(huán)境等。同一來源的變量不確定性之間會(huì)產(chǎn)生相互的影響,而不同來源的變量不確定性則保持相互獨(dú)立。因此,變量間的相互關(guān)系絕不是單純的獨(dú)立或單純的相關(guān),而是同時(shí)包含有相關(guān)變量和獨(dú)立變量的復(fù)雜狀況。

本文在橢球模型可靠性研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)多源不確定變量,研究同時(shí)考慮變量相關(guān)性和獨(dú)立性的非概率可靠性靈敏度的求解方法。首先,使用多橢球模型描述多源不確定變量。同時(shí),基于概率理論中對(duì)可靠性指標(biāo)的定義方法,將非概率可靠性指標(biāo)定義為極限狀態(tài)函數(shù)的均值與區(qū)間半徑的比值;其次,基于一次二階矩法,分別針對(duì)線性與非線性極限狀態(tài)函數(shù),進(jìn)行可靠性指標(biāo)計(jì)算方法的研究;在此基礎(chǔ)上,通過求解可靠性指標(biāo)對(duì)變量均值、區(qū)間半徑以及相關(guān)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),得到針對(duì)多源不確定變量的非概率可靠性靈敏度分析方法。該方法不僅能夠使得可靠性靈敏度計(jì)算更加貼合工程實(shí)際,并且能夠有效降低可靠性分析的計(jì)算量。另外,通過與區(qū)間模型和橢球模型可靠性靈敏度計(jì)算方法的對(duì)比,證明了本文所提出的基于多橢球模型的可靠性靈敏度計(jì)算方法具有通用性。工程算例驗(yàn)證了所提方法的可行性、有效性以及優(yōu)越性。

1 多源不確定變量的描述方法及可靠性指標(biāo)的定義

在工程實(shí)際中,造成變量不確定性的因素有很多,包括結(jié)構(gòu)的幾何形狀、材料以及所處環(huán)境等。造成變量不確定性的原因一致的時(shí)候,變量間會(huì)存在一種相互影響的關(guān)系;而當(dāng)變量不確定性的來源不同時(shí),變量間會(huì)表現(xiàn)為相互獨(dú)立。那么,按照變量的相關(guān)性,可以將結(jié)構(gòu)中的不確定變量分為m組,變量可表述為

(1)

而其中的任意一組變量,都可以使用一個(gè)超橢球模型來表述，即

(2)

(3)

而多橢球模型,就是由上述的m個(gè)橢球模型組合在一起所形成的。為了便于論述,本文使用存在3個(gè)不確定變量x=[x1,x2,x3]的二維多橢球模型為例進(jìn)行討論。其中,x1,x2為相關(guān)變量,x3為獨(dú)立變量。那么使用多橢球模型可以描述為:

(4)

顯然該多橢球模型由兩個(gè)部分構(gòu)成,其中一部分僅有一個(gè)變量,因此退化為區(qū)間變量。具體的多橢球模型幾何示意圖如圖1所示。

圖1 多橢球模型幾何示意圖

由此可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于多橢球模型,倘若結(jié)構(gòu)中的不確定變量只有一組,就退化成為橢球模型;倘若每組中只有一個(gè)不確定變量,就退化為區(qū)間模型,如圖2所示,區(qū)間模型和橢球模型是多橢球模型的兩種特例。

圖2 多橢球模型的兩種特例

由結(jié)構(gòu)主要失效模式所確定的極限狀態(tài)函數(shù)g(x)可以通過失效面g(x)=0將不確定域分為安全域g(x)>0和失效域g(x)<0兩部分,由此可以確定極限狀態(tài)函數(shù)在不確定域中的取值范圍，即

gI(x)=[gL(x),gU(x)]

(5)

式中:gU(x)和gL(x)分別表示極限狀態(tài)函數(shù)的上下界。

而相應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)的均值gC(x)和區(qū)間半徑gR(x)分別為:

(6)

在概率模型中,通常將可靠性指標(biāo)定義為極限狀態(tài)函數(shù)的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差之比。將這一可靠性指標(biāo)的定義方式引申至非概率凸模型中,極限狀態(tài)函數(shù)的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差可以使用它的均值和區(qū)間半徑來代替,由此可以得到的非概率可靠性指標(biāo)[17]為

(7)

根據(jù)式(7)中的定義可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)βc<-1的時(shí)候,表示極限狀態(tài)函數(shù)的上界gU(x)<0,此時(shí)整個(gè)不確定域全都處于失效域中,結(jié)構(gòu)完全不可靠;而當(dāng)-1<βc<1時(shí),結(jié)構(gòu)的可靠度會(huì)隨著βc的增大逐漸提升;直至βc>1,此時(shí)結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)的下界gL(x)>0,此時(shí)整個(gè)不確定域全都位于安全域中,結(jié)構(gòu)完全可靠。

2 多橢球模型的非概率可靠性靈敏度分析

2.1 線性極限狀態(tài)函數(shù)

當(dāng)表示結(jié)構(gòu)主要失效模式的極限狀態(tài)函數(shù)為線性時(shí),其表達(dá)式可寫為

(8)

式中:a0為常數(shù);aij表示已知變量的系數(shù)。

極限狀態(tài)函數(shù)的上界gU(x)和下界gL(x)可以使用拉格朗日乘子法分別進(jìn)行計(jì)算。首先,建立拉格朗日函數(shù)，即

(9)

式中:ai表示第i組變量的系數(shù),ai=(ai1,ai2,…,aini);λi是拉格朗日乘子。分別針對(duì)xi和λi進(jìn)行求導(dǎo)并使其等于零,即:

(10)

(11)

(12)

(13)

將通過計(jì)算得到的極限狀態(tài)函數(shù)上、下界代入式(7)中,可以得到線性極限狀態(tài)函數(shù)的可靠性指標(biāo)。

(14)

靈敏度分析是可靠性理論分析中的重要內(nèi)容,主要表現(xiàn)為不確定變量各項(xiàng)參數(shù)對(duì)可靠性指標(biāo)的影響程度。本文所研究的非概率可靠性靈敏度主要為了研究各個(gè)變量的均值、區(qū)間半徑以及變量間相關(guān)系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)的影響。計(jì)算方式借鑒了概率可靠性的計(jì)算方法,分別求解可靠性指標(biāo)βm對(duì)各變量的均值、區(qū)間半徑以及變量間相關(guān)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),具體表達(dá)式為:

(15)

(16)

(17)

2.2 非線性極限狀態(tài)函數(shù)

當(dāng)表示結(jié)構(gòu)主要失效模式的極限狀態(tài)函數(shù)為非線性時(shí)。為了降低計(jì)算過程的復(fù)雜性,可以使用均值一次二階矩法對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行線性展開。具體的展開過程為

(18)

通過拉格朗日乘子法,可以獲得非線性極限狀態(tài)函數(shù)的上下界,從而得到非線性極限狀態(tài)函數(shù)下的可靠性指標(biāo)，即

(19)

而靈敏度的求解方法與線性無異,為可靠性指標(biāo)βm對(duì)變量的均值、區(qū)間半徑以及變量間相關(guān)系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),具體表達(dá)式為:

(20)

(21)

(22)

3 多橢球模型可靠性靈敏度分析方法的通用性

如前文中所述,當(dāng)組成多橢球模型的不確定變量只有一組,即所有變量間都存在相關(guān)關(guān)系,多橢球模型退化為橢球模型;而當(dāng)組成多橢球模型的每一組變量中,只有一個(gè)不確定變量,即所有變量間相互獨(dú)立,多橢球模型退化為區(qū)間模型,即基于區(qū)間模型和橢球模型的可靠性理論研究可視為多橢球模型的兩種特例。因此,基于多橢球模型進(jìn)行的可靠性靈敏度分析具有更廣泛的適用性。

本文以線性極限狀態(tài)函數(shù)為例,對(duì)多橢球模型的兩種特例進(jìn)行討論。

當(dāng)組成多橢球模型的不確定變量只有一組,多橢球模型退化為橢球模型,即不確定變量組數(shù)m=1,那么,式(15)就會(huì)退化為

(23)

式(23)中關(guān)于變量均值可靠性靈敏度的計(jì)算方式與我們在前期工作[14]中得到的基于橢球模型的均值可靠性靈敏度計(jì)算方法保持一致。

相應(yīng)地,同理可證得不確定變量區(qū)間半徑的可靠性靈敏度與相關(guān)系數(shù)的可靠性靈敏度計(jì)算方法在經(jīng)過單組退化之后,與基于橢球模型的可靠性靈敏度分析方法一致,從側(cè)面證明了本文所提出方法的可行性和有效性。

(24)

式(24)變量均值的可靠性靈敏度計(jì)算方法與文獻(xiàn)[18]中所提出的均值可靠性靈敏度計(jì)算方法保持一致。

同理可證得本文所提出的不確定變量區(qū)間半徑可靠性靈敏度計(jì)算方法同樣與基于區(qū)間模型的區(qū)間半徑可靠性靈敏度保持一致。另外,由于在區(qū)間模型中假設(shè)所有變量為獨(dú)立變量,因此不存在相關(guān)系數(shù)的可靠性靈敏度。

本文所提出的基于多橢球模型的可靠性分析方法,不僅解決了工程實(shí)際中存在較多的多源不確定變量的可靠性分析問題,同時(shí)還對(duì)非概率可靠性分析中使用較多的區(qū)間模型與橢球模型進(jìn)行了一般化,為非概率可靠性理論分析提供了一種統(tǒng)一的、帶有總結(jié)性的分析方法。不僅如此,通過本文所提出方法與橢球模型、區(qū)間模型可靠性分析方法的對(duì)比,可以證明本文所提出方法的正確性與有效性。

4 算例分析

在傳統(tǒng)的多橢球模型可靠性研究中,由于無法得到可靠性指標(biāo)的顯式表達(dá),因此往往使用蒙特卡洛模擬法進(jìn)行可靠性指標(biāo)的求解,并通過差分理論進(jìn)行非概率可靠性靈敏度分析。

這種方法主要存在以下兩點(diǎn)不足:1) 蒙特卡洛模擬法在處理多維問題的時(shí)候,其計(jì)算量會(huì)呈幾何倍數(shù)增長,也就是維數(shù)災(zāi)難現(xiàn)象。2) 有限差分法的計(jì)算過程過于復(fù)雜,而且由于是一種近似求解方法,其計(jì)算精度與差分步長的選擇有著很大的關(guān)系,因此計(jì)算精度難以保障。

綜上所述,雖然基于有限差分法的可靠性靈敏度計(jì)算方法在計(jì)算精度與復(fù)雜程度存在一定程度缺陷,但是不可忽視的是,使用有限差分法得到的可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果具有的參考性,因此本文使用基于有限差分法的可靠性靈敏度計(jì)算方法作為參照組,進(jìn)行計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。

在本文算例中,作為對(duì)照組使用的基于有限差分法的可靠性靈敏度計(jì)算方法為

(25)

相應(yīng)地,不確定變量的區(qū)間半徑與相關(guān)系數(shù)靈敏度分析時(shí),通過給區(qū)間半徑或者相關(guān)系數(shù)一個(gè)設(shè)定好的差分步長,從而獲得其可靠性靈敏度,具體參考式(21)。

算例1 已知一結(jié)構(gòu)主要失效模式的極限狀態(tài)函數(shù)為

g(x)=4x1+2x2-x3

(26)

(27)

可靠性指標(biāo)與參數(shù)靈敏度的計(jì)算結(jié)果表1所示。

表1 算例1可靠性指標(biāo)及參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果

在本算例中,通過將本文所提算法的計(jì)算結(jié)果與有限差分法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知,兩種計(jì)算方式得到的參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果相近,驗(yàn)證了本文所提算法具有可行性和有效性。此外,有限差分法的精度依賴于差分步長的選取,且步長選取并非越小越好,而本文所提算法能穩(wěn)定地給出參數(shù)靈敏度分析結(jié)果,彌補(bǔ)了有限差分法的不足。

算例2 如圖3所示的懸臂梁結(jié)構(gòu),在其端部分別承受水平方向載荷Py與豎直方向的載荷Pz,懸臂梁尺寸為L×b×h,本算例中均為不確定變量,不確定區(qū)間如表2所示。

圖3 懸臂梁結(jié)構(gòu)圖

表2 懸臂梁結(jié)構(gòu)的變量不確定區(qū)間

其強(qiáng)度的失效為其主要失效模式,由此可得到極限狀態(tài)函數(shù)，即

(28)

不確定域可以使用如下多橢球模型描述:

(29)

(30)

基于多橢球模型的可靠性指標(biāo)及其參數(shù)靈敏度的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 算例2可靠性指標(biāo)及參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果

在本算例中,以步長為0.1的有限差分法計(jì)算結(jié)果作為參考值,驗(yàn)證本文所提方法的有效性。由表3可知,本文所提非線性近似解析法的計(jì)算結(jié)果與有限差分法的計(jì)算結(jié)果略有不同,但總體趨勢保持一致,變量h和變量L之間的相關(guān)系數(shù)ρhL為影響可靠性指標(biāo)的關(guān)鍵變量,在可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中需重點(diǎn)考慮。同時(shí),通過與基于區(qū)間模型和橢球模型的可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),橢球模型考慮了變量間的相關(guān)性,因此計(jì)算結(jié)果較區(qū)間模型更加精確,而本文所提非線性近似解析解法因同時(shí)考慮了變量的相關(guān)性和獨(dú)立性,計(jì)算結(jié)果比橢球模型更加精確,驗(yàn)證了本文所提方法的優(yōu)越性。

圖4 鏈輪結(jié)構(gòu)圖

通過圖5所示的鏈輪有限元分析圖,可以發(fā)現(xiàn),鏈輪的主要失效模式為齒根處的強(qiáng)度失效。通過響應(yīng)面法,建立極限狀態(tài)函數(shù)，即

g=37 407.7-598.355 46×R1-612.511 56×R2-

409.787 15×R4-5 421.683 12×H+7.921 06×

(31)

圖5 鏈輪有限元分析圖

本算例的可靠性指標(biāo)及參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 算例3可靠性指標(biāo)及參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果

不確定域可以使用多橢球模型表述，即:

(32)

在算例3中,使用本文所提出的針對(duì)非線性極限狀態(tài)函數(shù)的非概率可靠性靈敏度分析方法,得到了如圖6所示的計(jì)算結(jié)果。從圖中信息可以發(fā)現(xiàn),平環(huán)中面至鏈輪中心距離H的均值Hc對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性影響最大,在可靠性分析與可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要格外注意。

圖6 使用多橢球模型中心點(diǎn)法的可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論

針對(duì)工程實(shí)際中存在較多的多源不確定變量,開發(fā)了一種非概率可靠性靈敏度分析方法。使用了多橢球模型進(jìn)行多源不確定變量的描述,并在參考概率模型中可靠性指標(biāo)求解方法的基礎(chǔ)上,將可靠性指標(biāo)的定義簡化為極限狀態(tài)函數(shù)在不確定域中的均值與離差的比值,從而求解得到可靠性指標(biāo),針對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)的線性與非線性狀態(tài),分別提出了可靠性指標(biāo)的計(jì)算方法。提高了基于多橢球模型的可靠性指標(biāo)計(jì)算效率和適用范圍。

在此基礎(chǔ)上,利用求解偏導(dǎo)數(shù)的方式,提出了基于多橢球模型的可靠性靈敏度分析方法,相比較于傳統(tǒng)的有限差分法,其精度有了一定的提升。另外,本文所提出的基于多橢球模型的非概率可靠性靈敏度計(jì)算方法具有通用性,對(duì)基于區(qū)間模型、橢球模型的可靠性靈敏度計(jì)算方法具有一般概括性。算例證明了本文所提方法的可行性、有效性和優(yōu)越性。