復(fù)合材料齒輪的接觸和彎曲應(yīng)力分析

劉峰峰,王旭鵬*,,,劉舒?zhèn)?張衛(wèi)亮,唐欣堯,薛藤元

(1. 西安理工大學(xué) 軍民融合助力與防護(hù)裝備設(shè)計創(chuàng)新研究中心,西安 710054;2. 西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,西安 710048)

在航空航天、軍用裝備等領(lǐng)域,齒輪的輕量化設(shè)計要求十分嚴(yán)格。因此,齒輪的減重設(shè)計具有重要意義[1-2]。齒輪減重最普遍的方法是去除齒輪本體材料[3],但這可能會引入額外的動態(tài)激勵并增加機(jī)械系統(tǒng)的振動行為。目前較流行的方法是采用復(fù)合材料或混合金屬復(fù)合材料設(shè)計來進(jìn)行齒輪減重[4-5]。玻璃纖維、碳纖維等纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有高比強(qiáng)、高比模的優(yōu)點,在減重設(shè)計方面具有較大優(yōu)勢。此外,選擇合適的基體材料制備復(fù)合材料齒輪能夠提升齒輪嚙合過程中對齒間沖擊行為的吸收能力[6]。因此,近年來眾多學(xué)者在纖維增強(qiáng)復(fù)合材料齒輪的設(shè)計制備及其承載能力方面進(jìn)行了大量研究。

Handschuh等[7]以三軸編織復(fù)合材料替代金屬材料進(jìn)行齒輪中心腹板設(shè)計,該齒輪在不犧牲強(qiáng)度的前提下實現(xiàn)了減重20%的成效。Catera等[8]提出了一種預(yù)測混合材料齒輪固有頻率的方法,該方法基于多尺度復(fù)合材料建模,以代表性體積單胞方法預(yù)測齒輪中心腹板的力學(xué)性能,并使用有限元法進(jìn)行齒輪的模態(tài)分析。隨后,Catera等[9]分別采用均勻化方法及逐層計算方法研究金屬-鋪層復(fù)合材料齒輪嚙合的傳動誤差及嚙合剛度,發(fā)現(xiàn)混合材料齒輪在傳動誤差及嚙合剛度上均優(yōu)于金屬材料齒輪。Waller等[10]研究了多種纖維增強(qiáng)的金屬混合材料齒輪的彎曲強(qiáng)度及纖維復(fù)合材料層板對于載荷的分擔(dān)效應(yīng)。Kini等[11]在齒輪齒面引入復(fù)合材料織物,得出復(fù)合材料織物包層存在一個最優(yōu)拋物線齒冠形和最優(yōu)厚度,使齒輪在嚙合過程中的接觸和彎曲應(yīng)力最小。

本文在考慮了編織復(fù)合材料的編織角、纖維束截面形狀的基礎(chǔ)上,提出了一種三維五向編織復(fù)合材料齒輪的參數(shù)化設(shè)計方法,采用均質(zhì)化思想建立了復(fù)合材料與齒輪力學(xué)性能間的聯(lián)系,并對復(fù)合材料齒輪嚙合過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。

1 復(fù)合材料參數(shù)化建模及性能分析

1.1 三維五向編織復(fù)合材料參數(shù)化模型

三維五向編織復(fù)合材料在細(xì)觀層面具有周期性特點,因此可以采用代表性體積單胞預(yù)測材料的宏觀力學(xué)性能。文獻(xiàn)[12]指出三維五向編織復(fù)合材料的力學(xué)性能主要取決于內(nèi)胞的力學(xué)性能,因此本文忽略了面胞和角胞。本文根據(jù)四步法1×1編織方法,給出了內(nèi)胞的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型,如圖1所示,圖中W、T、h分別為內(nèi)胞幾何模型的寬度、厚度、高度,γ為內(nèi)部編織角。

圖1 內(nèi)胞拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型

張典堂在獲取三維五向編織復(fù)合材料樣件截面圖像的基礎(chǔ)上,考慮了紗線間的相互作用,建立了三維五向編織復(fù)合材料編織工藝參數(shù)與單胞幾何模型參數(shù)間的數(shù)學(xué)模型[13]:

(1)

(2)

(3)

Sa=e2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中:Sa、Sb分別為軸紗、編織紗橫截面面積;λa、λb、ρa(bǔ)、ρb分別為軸紗線密度、編織紗線密度、軸紗體積密度、編織紗體積密度;εa、εb分別為軸紗、編織紗填充因子,填充因子為纖維在紗線中的體積占比;k、θ分別為編織紗截面寬度和頂角角度;e為軸紗橫截面邊長;α、γ分別為編織角、內(nèi)部編織角。圖2給出了紗線的截面形狀。

圖2 紗線截面形狀

根據(jù)上述給出的內(nèi)胞拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型及參數(shù)間的數(shù)學(xué)模型,建立了編織角為45°的內(nèi)胞幾何模型,如圖3所示。

圖3 45°編織角單胞模型

1.2 復(fù)合材料力學(xué)性能分析

1.2.1 周期性邊界條件

對于含周期性單胞結(jié)構(gòu)的三維編織復(fù)合材料,使用有限元方法進(jìn)行單胞模型的力學(xué)響應(yīng)時,施加合理的邊界條件是獲得準(zhǔn)確力學(xué)響應(yīng)結(jié)果的基礎(chǔ)。目前,學(xué)者們多采用周期性邊界條件來保證相鄰單胞邊界處的變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力連續(xù)。Xia給出了立方體單胞模型相對邊界面上的位移公式[14],即:

(9)

(10)

(11)

i,j=1,2,3

(12)

圖4 單胞周期性網(wǎng)格模型

1.2.2 復(fù)合材料彈性性能預(yù)測

基于均勻化方法預(yù)測復(fù)合材料宏觀尺度上的彈性性能,單胞結(jié)構(gòu)在位移邊界條件下的材料本構(gòu)關(guān)系為

(13)

(14)

(15)

式中V為立方體單胞體積。

(16)

本文以T300纖維及PEEK基體作為復(fù)合材料的組分材料,材料屬性見表1,其中Ef1、Ef2、Gf12、Gf23分別為纖維縱向拉伸模量、橫向拉伸模量、縱向剪切模量及橫向剪切模量,Em、Gm分別為基體拉伸模量和剪切模量;v12、vm分別為纖維和基體的泊松比;Vf、ρ分別為組分材料的體積含量和體積密度。根據(jù)表1中組分材料的體積含量及體積密度可以計算出復(fù)合材料齒輪體積密度為1.54 g/cm3,而傳統(tǒng)金屬材料齒輪密度一般在8 g/cm3左右,顯然三維編織復(fù)合材料齒輪較金屬材料齒輪在重量上具有較大優(yōu)勢。

表1 組分材料屬性

圖5為內(nèi)胞模型力學(xué)響應(yīng)的有限元求解結(jié)果,圖5a)、圖5b)分別為單胞模型在1方向拉伸、12方向剪切位移載荷下的應(yīng)力結(jié)果。

圖5 不同載荷下有限元模型的應(yīng)力結(jié)果

在獲得有限元求解結(jié)果后,利用Python腳本語言提取有限元模型結(jié)果上各網(wǎng)格單元體積與積分點處應(yīng)力應(yīng)變值,計算得到平均應(yīng)力與平均應(yīng)變,代入式(16)求解出材料的彈性常數(shù)。表2給出了預(yù)測的45°編織角三維五向編織復(fù)合材料的彈性常數(shù),并且與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比驗證,預(yù)測數(shù)值與試驗數(shù)據(jù)吻合良好,表明了該方法的準(zhǔn)確性。

表2 45°編織角三維五向復(fù)合材料彈性常數(shù)預(yù)測結(jié)果

2 復(fù)合材料齒輪承載能力分析

齒輪在低周載荷下易產(chǎn)生齒頂點蝕及齒根折斷的失效模式。齒頂點蝕是由嚙合過程中嚙合處多次重復(fù)的交變接觸應(yīng)力所造成,而輪齒折斷是由多次重復(fù)的彎曲應(yīng)力和應(yīng)力集中造成。分析復(fù)合材料齒輪嚙合過程中接觸應(yīng)力與彎曲應(yīng)力的分布情況對于預(yù)防齒輪疲勞失效具有重要意義。

2.1 復(fù)合材料齒輪有限元模型

三維五向編織復(fù)合材料齒輪的制備流程為:采用1×1的矩形四步法編織得到纖維束編織預(yù)制體,浸入基體中經(jīng)過高溫固化等工藝制備得到復(fù)合材料齒輪初始樣件,最后經(jīng)過機(jī)械裁減獲得齒輪零件,具體流程見圖6。此外,由于三維五向編織復(fù)合材料為橫觀各向同性材料,為保證復(fù)合材料齒輪在嚙合過程中的均勻承載,制備齒輪時選擇材料2、3主軸方向為齒輪面內(nèi)方向,1方向為齒寬方向。

圖6 三維五向編織復(fù)合材料齒輪制備流程

在以均質(zhì)化思想獲得復(fù)合材料齒輪力學(xué)性能的基礎(chǔ)上,使用有限元方法分析復(fù)合材料齒輪嚙合過程中的應(yīng)力分布情況。商業(yè)有限元軟件Abaqus對于非線性問題求解具有較高的認(rèn)可度,因此本文選擇在Abaqus/Standard中進(jìn)行復(fù)合材料齒輪動態(tài)嚙合過程問題的求解。不過Abaqus建立復(fù)雜幾何模型的能力較差,因此在Creo7.0中完成了齒輪副幾何模型的構(gòu)建,并忽略了齒輪的小孔特征。表3給出了算例齒輪的參數(shù)。在構(gòu)建有限元模型時,為控制計算成本,選取六齒模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分,對接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格加密,且經(jīng)過試算得到該網(wǎng)格密度對于接觸應(yīng)力數(shù)值結(jié)果的求解已趨于穩(wěn)定。

表3 算例齒輪基本參數(shù)

網(wǎng)格模型如圖7所示,網(wǎng)格單元類型為C3D8R,節(jié)點數(shù)為642 964,單元數(shù)為590 080。根據(jù)齒輪制備時的纖維材料方向,設(shè)定齒寬方向為材料主軸1方向,齒輪面內(nèi)為材料主軸的2、3方向。

圖7 六齒齒輪網(wǎng)格模型

為便于施加載荷及約束,在齒輪孔內(nèi)壁與孔中心之間建立剛性元,在Abaqus中實施為孔內(nèi)壁表面與孔中心參考點(RP-1、RP-2)建立耦合約束[15]。建立的剛性元遠(yuǎn)離齒輪,對齒輪應(yīng)力分布的影響可以忽略。并且在兩個齒輪可能接觸的齒面上建立接觸關(guān)系,接觸設(shè)定選擇Finite sliding的接觸面滑動方式以及Surface to Surface的離散方法。耦合約束及接觸面設(shè)定見圖8。此外,忽略嚙合過程中齒面間的摩擦行為,并且設(shè)定法向接觸屬性為硬接觸。對于邊界條件及載荷,保留主動輪與從動輪齒在齒輪嚙合轉(zhuǎn)動方向的自由度,主動輪施加恒定角速度,從動輪施加恒定轉(zhuǎn)矩。

圖8 耦合約束及接觸面設(shè)定

2.2 復(fù)合材料齒輪接觸應(yīng)力

根據(jù)有限元模型計算結(jié)果,給出了關(guān)鍵嚙合時刻的Mises應(yīng)力云圖,如圖9所示。此外,提取單齒從嚙入到嚙出一個周期內(nèi)的接觸應(yīng)力數(shù)據(jù),繪制100 Nm轉(zhuǎn)矩下輪齒嚙合最大接觸應(yīng)力變化曲線如圖10所示。

圖9 關(guān)鍵嚙合時刻Mises應(yīng)力云圖

圖10 100 Nm轉(zhuǎn)矩下輪齒嚙合最大接觸應(yīng)力變化曲線

由圖10可知,齒輪嚙合呈現(xiàn)出雙齒嚙合和單齒嚙合兩階段交替的周期性,且在雙齒嚙合和單齒嚙合的交替時刻,存在齒頂與齒根之間的邊緣接觸區(qū)域,該區(qū)域產(chǎn)生了應(yīng)力集中現(xiàn)象,應(yīng)力數(shù)值為227.1 MPa,如圖11所示。在不考慮邊緣接觸產(chǎn)生的應(yīng)力集中的情況下,單齒嚙合階段的接觸應(yīng)力明顯高于雙齒嚙合階段,因此應(yīng)該重點關(guān)注單齒嚙合階段的接觸應(yīng)力情況;由圖10可知,輪齒在單齒嚙合階段存在接觸疲勞危險點,該點接觸應(yīng)力為165.7 MPa,圖12給出了該點的接觸應(yīng)力云圖。

圖11 邊緣接觸位置應(yīng)力集中

圖12 接觸疲勞危險點處接觸應(yīng)力

為定量研究加載條件與復(fù)合材料齒輪嚙合接觸應(yīng)力間的數(shù)值關(guān)系,對不同轉(zhuǎn)矩條件下的齒輪嚙合過程進(jìn)行有限元計算,施加了8組不同的轉(zhuǎn)矩,根據(jù)計算結(jié)果繪制轉(zhuǎn)矩與接觸應(yīng)力變化曲線如圖13所示。

圖13 轉(zhuǎn)矩與接觸應(yīng)力變化曲線

由圖13可知,最大接觸應(yīng)力隨著轉(zhuǎn)矩的增大而增大,但是增大的幅度呈現(xiàn)出逐漸減小的趨勢。這是因為對彈性體而言,載荷增大的同時也導(dǎo)致了接觸面積的增大。該現(xiàn)象符合赫茲接觸規(guī)律。

2.3 復(fù)合材料齒輪彎曲應(yīng)力

提取齒輪接觸區(qū)域外的Mises應(yīng)力得到齒輪嚙合彎曲應(yīng)力數(shù)據(jù),繪制彎曲應(yīng)力變化曲線如圖14所示。

圖14 齒輪嚙合過程最大彎曲應(yīng)力變化曲線

由圖14可知,主動輪與從動輪在單齒嚙合階段的彎曲應(yīng)力明顯大于雙齒嚙合階段,且最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在雙齒嚙合與單齒嚙合的交替時刻,不過主動輪最大彎曲應(yīng)力出現(xiàn)在單齒嚙合到雙齒嚙合的交替點,該點為主動輪齒的嚙入點,而從動輪恰好相反,出現(xiàn)在雙齒嚙合到單齒嚙合的交替點,該點為主動輪齒的嚙出點;這是因為在單齒嚙合階段,嚙合點在主動輪上由齒根向齒頂方向移動,在從動輪上由齒頂向齒根方向移動,隨著嚙合位置的改變,主動輪、從動輪齒根處與嚙合點之間的距離即力矩產(chǎn)生改變,而從動輪在單齒嚙合初始時刻力矩最大,因此彎曲應(yīng)力峰值出現(xiàn)在該時刻,此后則呈現(xiàn)處逐漸下降的趨勢,而主動輪彎曲應(yīng)力峰值出現(xiàn)在單齒嚙合結(jié)束時刻,因此在單齒嚙合階段內(nèi)彎曲應(yīng)力一直呈現(xiàn)上升的趨勢;主動輪受到最大彎曲應(yīng)力為51.3 MPa,從動輪為54.1 MPa,且均位于齒根過渡圓弧區(qū)域,該區(qū)域易發(fā)生彎曲疲勞斷裂,如圖15、圖16所示。

圖15 主動輪最大彎曲應(yīng)力

圖16 從動輪最大彎曲應(yīng)力

同樣地對加載條件與齒輪嚙合彎曲應(yīng)力的數(shù)值關(guān)系進(jìn)行研究,繪制轉(zhuǎn)矩與彎曲應(yīng)力變化曲線如圖17所示。

圖17 轉(zhuǎn)矩與彎曲應(yīng)力變化曲線

由圖17可知,最大彎曲應(yīng)力與轉(zhuǎn)矩之間呈線性關(guān)系,這與GB/T 3480.3-2021(直齒輪和斜齒輪承載能力計算第3部分:輪齒彎曲強(qiáng)度計算)計算相符。

3 結(jié)論

1) 齒輪正常嚙合過程中,最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在單齒嚙合階段,此時齒輪易發(fā)生疲勞磨損。

2) 彎曲疲勞危險點出現(xiàn)在雙齒嚙合與單齒嚙合階段的交替時刻,此時最易發(fā)生輪齒疲勞折斷,其中主動輪的彎曲疲勞危險點出現(xiàn)在單齒嚙合結(jié)束時刻,從動輪出現(xiàn)在單齒嚙合初始時刻。

3) 在齒輪開始嚙合時,即主動輪齒根剛接觸到從動輪齒頂,存在應(yīng)力集中現(xiàn)象,必須對從動齒輪進(jìn)行齒頂修緣以減少應(yīng)力集中現(xiàn)象。

4) 接觸應(yīng)力峰值與轉(zhuǎn)矩之間的函數(shù)關(guān)系符合赫茲接觸規(guī)律;彎曲應(yīng)力峰值與轉(zhuǎn)矩呈線性關(guān)系。