基于數(shù)據(jù)擬合的配電網(wǎng)線性運行約束建模方法

杜嫣然，楊帆，王穎*，許寅

（1.北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京市 海淀區(qū) 100044；2.北京電力經(jīng)濟技術(shù)研究院有限公司，北京市 西城區(qū) 100055）

0 引言

配電網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)運行需要滿足一系列運行條件，這些條件通常作為運行約束在配電網(wǎng)優(yōu)化問題中予以考慮，如配電網(wǎng)優(yōu)化運行問題和故障恢復(fù)問題等。具體來說，配電網(wǎng)穩(wěn)態(tài)運行約束包括潮流約束、節(jié)點電壓限制約束、線路電流限制約束等。其中，后兩種約束均可建模為線性約束，而潮流約束為非線性等式約束，屬于非凸約束，在優(yōu)化問題中較難處理。

針對上述問題，大量學(xué)者對于潮流方程在配電網(wǎng)優(yōu)化問題中的處理方式開展了一系列研究，并取得了諸多富有價值的研究成果?？傮w來說，相關(guān)處理方法主要有三類，包括啟發(fā)式/元啟發(fā)式方法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法以及數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。其中啟發(fā)式/元啟發(fā)式方法主要通過提出某些基于啟發(fā)式思想的規(guī)則或智能算法等隨機擇優(yōu)機制，確定部分變量的值，再用潮流校驗的方式進行驗證，具有運算速度快的優(yōu)點，但難以保證全局最優(yōu)解[1-6]?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法主要通過訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立節(jié)點電壓與注入功率的關(guān)系，當(dāng)選擇的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為凸時，則最終構(gòu)成的優(yōu)化問題為凸優(yōu)化問題[7-8]，具有一定參考價值。但此種方法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其訓(xùn)練過程涉及的各種參數(shù)具有較高要求，且實用性有待驗證。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的主要思想是將潮流方程進行凸松弛或基于某些假設(shè)進行線性化處理[9-29]，將原問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)凸優(yōu)化問題，如線性規(guī)劃（linear program,LP）[9-10]、半定規(guī)劃（semidefinite program,SDP）[11-13]、二階錐規(guī)劃（second order cone program,SOCP）[13-14]；或轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)優(yōu)化問題，如混合整數(shù)線性規(guī)劃（mixed-integer linear program,MILP）[15-17]、混合整數(shù)二階錐規(guī)劃（mixedinteger second order cone program,MISOCP）[18-20]或混合整數(shù)半定規(guī)劃（mixed-integer semi-definite program,MISDP）[20]，利用成熟的優(yōu)化求解器進行求解，近年來取得了一系列成果。其中，采用凸松弛手段將潮流約束松弛為半定約束或二階錐約束，若得到的解不滿足松弛前的約束，則該解無意義；此外，由于該類約束仍為非線性約束，將其應(yīng)用于恢復(fù)問題等混合整數(shù)優(yōu)化問題時，可能導(dǎo)致求解速度過慢難以滿足在線應(yīng)用需求的問題[13]。因此，諸多學(xué)者將潮流方程進行線性化處理，并取得了一定進展，主要分為兩類解決思路。一類是根據(jù)潮流方程的特點，基于一定的假設(shè)對其線性化[10-11,21-23]。其中，基于線路損耗較小、系統(tǒng)中節(jié)點各相電壓平衡的假設(shè)，文獻[11]提出了一種忽略網(wǎng)損的經(jīng)典線性潮流模型（linear power flow,LPF），該模型潮流計算誤差滿足實際應(yīng)用，并在不同的優(yōu)化場景下得到了廣泛的準(zhǔn)確性與計算效率的驗證[24-27]?？梢妼⒊绷骶€性化是高效解決優(yōu)化運行問題的良策。但該模型沒有考慮電流，且會因未考慮網(wǎng)損而導(dǎo)致在某些場景下求解結(jié)果不可行的問題[15-17]。另一類思路是基于數(shù)據(jù)擬合的方法將潮流方程線性化[28-29]，但尚未發(fā)現(xiàn)將其用于優(yōu)化問題建模方面的相關(guān)研究。

綜上，現(xiàn)有配電網(wǎng)運行約束模型存在一定的難以兼顧求解效率與模型精度的問題[30-33]。因此，本文基于數(shù)據(jù)擬合的方法，針對三相不對稱配電網(wǎng)，構(gòu)建了配電網(wǎng)運行約束的線性模型，并將其應(yīng)用于配電網(wǎng)優(yōu)化運行與故障恢復(fù)問題，并在多個算例中驗證所提模型的有效性和優(yōu)越性。

1 基于數(shù)據(jù)擬合的運行約束建模方法

潮流方程中涉及的主要狀態(tài)參量包含節(jié)點電壓、線路電流與節(jié)點注入功率。根據(jù)文獻[34]，對于在正常運行范圍內(nèi)的配電系統(tǒng)，即整體節(jié)點電壓在0.9～1.1 pu間且負荷未過度超載的情況下，各狀態(tài)參量間的關(guān)系近似線性。本節(jié)以該文獻對潮流方程涉及的狀態(tài)參量間線性程度的分析結(jié)果為基礎(chǔ)，建立基于數(shù)據(jù)擬合的線性運行約束模型。模型建立過程如圖1所示。

圖1 基于數(shù)據(jù)擬合的運行約束建立過程Fig.1 Procedure of establishing operation constraints based on data fitting

1.1 數(shù)據(jù)仿真

本文利用配電系統(tǒng)仿真軟件GridLAB-D[35]產(chǎn)生模型擬合所需的數(shù)據(jù)組。首先根據(jù)配電系統(tǒng)的網(wǎng)架參數(shù)和拓撲信息建立仿真模型，然后按照正態(tài)分布調(diào)節(jié)系統(tǒng)各節(jié)點負荷量?？紤]到新能源的接入以及負荷日常波動對電網(wǎng)運行所帶來的不確定性，在配電系統(tǒng)節(jié)點電壓處于0.9～1.1 pu范圍內(nèi)的情況下進行仿真，仿真數(shù)據(jù)集包含了配電網(wǎng)運行可能出現(xiàn)的多種運行情況，最終產(chǎn)生大量關(guān)于配電系統(tǒng)各節(jié)點電壓、線路電流和節(jié)點注入功率的仿真數(shù)據(jù)組。

1.2 線性擬合

在配電網(wǎng)潮流方程中，線路和設(shè)備阻抗等靜態(tài)參數(shù)為常數(shù)，主要狀態(tài)變量為節(jié)點電壓和支路電流，主要輸入變量為節(jié)點注入功率。對于（n+1）節(jié)點（包含一個平衡節(jié)點）輻射狀配電網(wǎng)，基于多元線性回歸方法，利用豐富的仿真數(shù)據(jù)，建立配電網(wǎng)節(jié)點注入功率平衡關(guān)系及其與節(jié)點電壓和線路電流的最優(yōu)線性映射，能夠簡化原潮流模型中數(shù)據(jù)間的非線性關(guān)系。可以擬合絕對誤差的平方最小化為目標(biāo)，獲得所述狀態(tài)參量間的近似線性關(guān)系。即根據(jù)大量仿真數(shù)據(jù)組，以式（1）為目標(biāo)，求解優(yōu)化問題：

式中：?i表示絕對誤差；表示近似模型計算得到的估計值，其計算方式如式（3）所示；表示真實值或準(zhǔn)確模型計算值。

其中：式（4）表示各節(jié)點注入功率平衡關(guān)系；式（5）和式（6）分別表示電壓和電流隨注入功率的線性變化關(guān)系。以上約束共同構(gòu)成了基于數(shù)據(jù)擬合的線性潮流模型（fitting linear power flow,FLPF）。

1.3 線性運行約束模型

根據(jù)上述方法，利用大量的仿真數(shù)據(jù)，基于線性回歸，通過優(yōu)化算法可得到注入功率線性平衡關(guān)系及其與節(jié)點電壓和線路電流的線性關(guān)系矩陣。對應(yīng)安全運行約束如下：

式（7）表示配電網(wǎng)各相有功、無功功率平衡約束，式（8）表示節(jié)點電壓約束，式（9）表示線路電流極限約束，式（10）表示電源出力極限約束。以上約束共同構(gòu)成基于線性擬合模型的配電網(wǎng)優(yōu)化運行約束。

2 含線性運行約束的配電網(wǎng)優(yōu)化模型

2.1 配電系統(tǒng)優(yōu)化運行問題

2.1.1 目標(biāo)函數(shù)

配電系統(tǒng)運行優(yōu)化問題亦可稱為最優(yōu)潮流問題（optimal power flow，OPF），一般以網(wǎng)損最小為目標(biāo)函數(shù)，考慮到配電網(wǎng)電壓問題也較為突出，因此某些研究在進行配電網(wǎng)運行優(yōu)化時以整體電壓偏移最小為目標(biāo)[36]。本文分別就這兩種情況展開討論。

1）網(wǎng)損最小。配電網(wǎng)運行經(jīng)濟性對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)如式（11）所示：

式中：Pi是所有節(jié)點各相有功注入功率向量（PG—PL）中的元素，維度為3（n+1）。

2）整體電壓偏移最小。配電系統(tǒng)整體電壓偏移最小目標(biāo)函數(shù)可以建模如下：

式中：vi為各節(jié)點各相電壓幅值；v0為基準(zhǔn)電壓值。

2.1.2 約束條件

根據(jù)上一節(jié)數(shù)據(jù)擬合的線性建模方法，可得到注入功率與節(jié)點電壓、線路電流、平衡節(jié)點功率的線性關(guān)系矩陣。配電網(wǎng)最小網(wǎng)損模型和最小電壓偏移模型的約束條件主要包括潮流約束、節(jié)點電壓越限、節(jié)點電流極限約束以及各分布式電源出力約束，約束形式與式（7）至式（10）相同。

對于最小電壓偏移問題，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)引入的電壓變量vi增補等式約束如下：

式中：V表示維度為3n的待決策節(jié)點電壓變量，vi為其中的元素。

綜上，建立了配電網(wǎng)優(yōu)化運行問題的兩個優(yōu)化模型，均為基于數(shù)據(jù)擬合的線性規(guī)劃模型（fitting-linear program,F-LP）。

2.2 配電系統(tǒng)故障恢復(fù)問題

本文關(guān)注的配電系統(tǒng)故障恢復(fù)問題是面向大停電場景下利用配電網(wǎng)本地電源實現(xiàn)重要負荷優(yōu)先恢復(fù)的問題[18]?？紤]到配電網(wǎng)的聯(lián)絡(luò)開關(guān)個數(shù)有限，配電網(wǎng)潛在的運行結(jié)構(gòu)種類為有限個數(shù)，通過離線仿真能夠針對不同的運行狀態(tài)擬合出相應(yīng)的潮流矩陣系數(shù)。本文要解決的恢復(fù)問題旨在確定恢復(fù)策略，即恢復(fù)后線路狀態(tài)（拓撲）、負荷恢復(fù)狀態(tài)（恢復(fù)哪些負荷）和電源出力（系統(tǒng)運行點），并不解決恢復(fù)操作次序問題，也不考慮拓撲改變問題。因此，基于團隊前期成果，可首先確定恢復(fù)所形成的孤島系統(tǒng)最優(yōu)拓撲結(jié)構(gòu)[37]，即重構(gòu)方案；然后，利用下文所建立的恢復(fù)模型確定可恢復(fù)的重要負荷集合。

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)

故障恢復(fù)模型以最大化加權(quán)負荷恢復(fù)數(shù)目為目標(biāo)：

式中：ω為已知常量，表示負荷權(quán)重系數(shù)構(gòu)成的向量；r為各個負荷恢復(fù)狀態(tài)構(gòu)成的向量，內(nèi)部元素為0-1整數(shù)變量。

2.2.2 約束條件

根據(jù)建立的基于數(shù)據(jù)擬合的運行約束模型，故障恢復(fù)問題的優(yōu)化約束形式如下：

式（15）表示配電網(wǎng)各相有功、無功功率平衡，式（16）表示節(jié)點電壓約束，式（17）表示線路電流極限約束，式（18）表示發(fā)電機出力限制約束。

在上述故障恢復(fù)模型中，決策變量包含整數(shù)變量，目標(biāo)函數(shù)和約束條件均是線性的，因此該模型為基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型（fitting-mixed integer linear program,F-MILP）。

3 算例測試

本文分別對所提出的基于數(shù)據(jù)擬合的線性潮流模型及含所提運行約束的兩類優(yōu)化模型在三相不對稱配電網(wǎng)系統(tǒng)中進行算例測試。在線性潮流模型準(zhǔn)確性測試中，以利用仿真軟件得到的結(jié)果為基準(zhǔn)參照數(shù)據(jù)。在配電系統(tǒng)優(yōu)化模型測試中，對于OPF問題，以SDP模型[13]計算結(jié)果為基準(zhǔn)；對于故障恢復(fù)問題，以MISDP[20]求解結(jié)果為基準(zhǔn)。利用Julia語言進行編程，利用成熟的求解器Mosek和Gurobi求解優(yōu)化模型。所有測試均在配置為Intel Core i5中央處理器、主頻1.6 GHz、運行內(nèi)存16 GB 的臺式機上進行。

3.1 基于數(shù)據(jù)擬合的線性潮流模型準(zhǔn)確性測試

針對IEEE 13、34、37、123節(jié)點三相不對稱配電網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)算例，以各算例的GridLAB-D仿真潮流結(jié)果為基準(zhǔn)，根據(jù)式（2）絕對誤差的計算公式，計算了基于本文提出的FLPF模型的電壓、電流的擬合絕對誤差，同時利用文獻[11]提出的經(jīng)典線性潮流模型LPF計算得到電壓及誤差，測試結(jié)果如表1所示。

表1 兩潮流模型在不同測試系統(tǒng)下最大計算絕對誤差Table 1 Maximum absolute error of different test feeders in two power flow models

如表1所示，本文提出的FLPF模型的節(jié)點電壓和線路電流的線性擬合最大絕對誤差較小，滿足優(yōu)化應(yīng)用需求；對比兩模型中電壓結(jié)果的絕對誤差，本文模型誤差更小、模型精度更高；由于LPF模型中未考慮電流量，并未列出對比。綜上，本文擬合的線性潮流模型相比LPF更為精確。

3.2 配電系統(tǒng)優(yōu)化問題測試結(jié)果

1）以網(wǎng)損最小為目標(biāo)的OPF問題。

在IEEE 13節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)算例的基礎(chǔ)上，分別在節(jié)點3、節(jié)點8和節(jié)點11處配置了3個分布式電源，如圖2所示。

圖2 修改后的IEEE 13節(jié)點算例故障恢復(fù)結(jié)果Fig.2 Restoration results of the modified IEEE 13-bus system

各分布式電源的額定有功功率分別為400 kW、500 kW和860 kW，額定無功功率分別為240 kvar、320 kvar和550 kvar。針對修改后的IEEE 13節(jié)點算例，測試結(jié)果如表2所示。

表2 修改后的IEEE 13節(jié)點系統(tǒng)最小網(wǎng)損優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of minimum power loss problem for modified IEEE 13-bus system

從表2可以看出，SDP模型與F-LP模型的電源出力數(shù)值近似，誤差不超過1.3%，驗證了本文所提出的基于線性擬合的規(guī)劃模型的準(zhǔn)確性。

2）以電壓偏移最小為目標(biāo)的OPF問題。

針對修改后的IEEE 13節(jié)點算例，以電壓偏移最小為目標(biāo)，分別利用本文提出的F-LP模型與SDP模型進行求解，各節(jié)點各相電壓幅值的計算結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，兩個模型所得的電壓幅值曲線相似度很高，三相電壓最大絕對誤差為0.000 82 pu，驗證了本文提出優(yōu)化模型的準(zhǔn)確性。

圖3 修改后的IEEE 13節(jié)點系統(tǒng)電壓分布Fig.3 Voltage profiles of the modified IEEE 13-bus system

3）故障恢復(fù)問題。

基于修改后的IEEE 13節(jié)點配電網(wǎng)算例校驗本文提出的F-MILP模型的準(zhǔn)確性。依據(jù)負荷等級規(guī)范，將負荷分為一級負荷、二級負荷和三級負荷3個等級，各等級負荷的權(quán)重系數(shù)分別為10、1和0.1。假設(shè)極端事件導(dǎo)致配電網(wǎng)無法從上級電網(wǎng)獲取電能，各節(jié)點電壓上下限為0.95～1.05 pu。本算例共有2個一級負荷，3個二級負荷和3個三級負荷?；謴?fù)結(jié)果如圖2所示。

結(jié)果中，F(xiàn)-MILP模型與MISDP模型優(yōu)化求解得到的加權(quán)負荷恢復(fù)數(shù)均為23.1。一級負荷和二級負荷全部被恢復(fù)，還有1個三級負荷被恢復(fù)，兩模型的恢復(fù)結(jié)果相同，驗證了本文模型的準(zhǔn)確性。

3.3 與經(jīng)典線性模型LPF對比測試結(jié)果

3.3.1 OPF問題

針對修改后的IEEE 13、34、37、123節(jié)點三相不對稱配電網(wǎng)算例，分別以最小網(wǎng)絡(luò)損耗和最小電壓偏移為目標(biāo)，利用SDP模型、基于LPF的LP模型以及本文提出的F-LP模型進行了測試和對比。修改后的IEEE 34、37和123節(jié)點算例新增分布式電源信息見附錄A。利用加速比k來對比模型的計算速度：

式中：to表示基準(zhǔn)模型計算時間；tm表示新模型計算時間。

1）以網(wǎng)損最小為目標(biāo)的OPF問題。

由于LP模型并沒有考慮網(wǎng)損，因此無法求解以網(wǎng)損最小為目標(biāo)的OPF問題。F-LP和SDP兩個模型的測試結(jié)果如表3所示。

如表3所示，對比優(yōu)化結(jié)果，在不同規(guī)模的標(biāo)準(zhǔn)算例下最小網(wǎng)損優(yōu)化結(jié)果幾乎一致，體現(xiàn)了本文所提線性模型的準(zhǔn)確性；在計算時間方面，測試的所有系統(tǒng)中，本文提出的F-LP模型的計算速度都優(yōu)于SDP模型；另外，隨著系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴大，加速比增大，本文提出模型的計算速度優(yōu)勢越明顯。

表3 不同測試系統(tǒng)最小網(wǎng)損優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of minimum power loss problem for different test feeders

2）以電壓偏移最小為目標(biāo)的OPF問題。

對于最小電壓偏移問題，以SDP模型求解所得到的各節(jié)點電壓為基準(zhǔn)，對比本文模型與基于LPF的LP模型各節(jié)點電壓的最大絕對誤差，算例測試結(jié)果如表4所示。

表4 不同測試系統(tǒng)最大電壓絕對誤差Table 4 Maximum absolute error of voltage for different test feeders

如表4所示，在不同規(guī)模的標(biāo)準(zhǔn)算例下，對于最小電壓偏移問題，本文模型相比基于LPF的經(jīng)典LP模型更準(zhǔn)確，兩模型計算時間近似?？梢钥闯觯S著算例規(guī)模的擴大，加速比增大，本文模型的計算速度不斷提升；在較大規(guī)模的算例中，計算速度相比于SDP模型高出約兩個數(shù)量級。

3.3.2 故障恢復(fù)問題

針對修改后的IEEE 13、34、37、123節(jié)點三相不對稱配電網(wǎng)算例，利用MISDP模型、基于LPF的MILP模型以及本文提出的F-MILP模型進行恢復(fù)策略的求解并進行對比。故障恢復(fù)測試結(jié)果如表5所示。

表5 不同測試系統(tǒng)恢復(fù)結(jié)果Table 5 Restoration results for different test feeders

根據(jù)表中的結(jié)果可以得出，本文模型與MISDP模型在所有算例中得到的恢復(fù)策略結(jié)果相同；而MILP模型在IEEE 34配電系統(tǒng)中多恢復(fù)了2個三級負荷，此時恢復(fù)結(jié)果是不可行的。究其原因，IEEE 34節(jié)點算例的網(wǎng)損較大且存在負荷需求較小的三級負荷，因此忽略網(wǎng)損會影響測試結(jié)果的準(zhǔn)確性，而本文模型在擬合過程中考慮了網(wǎng)損，因此與MISDP模型確定的恢復(fù)結(jié)果相同。進一步，改變分布式電源的位置和容量大小，在5000個場景下對IEEE 13節(jié)點算例進行了故障恢復(fù)測試，在所有場景下本文模型與MISDP模型的恢復(fù)結(jié)果都一致，在3.61%的場景下MILP模型會過于樂觀地估計恢復(fù)結(jié)果，即會恢復(fù)更多的負荷。觀察模型的計算時間可以發(fā)現(xiàn)，一方面，MISDP模型的計算效率在所測試的所有算例中均低于本文提出的F-MILP模型；另一方面，隨著算例規(guī)模的擴大，F(xiàn)-MILP模型的計算效率優(yōu)勢更加明顯。

4 結(jié)語

本文針對配電網(wǎng)優(yōu)化中含三相不對稱潮流方程的運行約束難以處理且難以兼顧求解效率和模型精度的問題，提出了基于數(shù)據(jù)擬合的配電網(wǎng)線性運行約束建模方法，并建立了關(guān)于配電網(wǎng)優(yōu)化運行問題的線性規(guī)劃模型F-LP和配電網(wǎng)故障恢復(fù)問題的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型F-MILP。測試結(jié)果表明，本文提出的F-LP模型和F-MILP模型相比于基于凸松弛潮流約束建立的SDP模型和MISDP模型，求解結(jié)果誤差小，求解速度優(yōu)勢大，且隨著算例規(guī)模的擴大，本文模型的計算效率優(yōu)勢更加明顯。此外，本文模型求解結(jié)果相較于以經(jīng)典線性潮流LPF為基礎(chǔ)的配電網(wǎng)優(yōu)化模型更為準(zhǔn)確，尤其是對于故障恢復(fù)問題，可較好地規(guī)避樂觀估計網(wǎng)損造成的優(yōu)化結(jié)果不可行的問題。未來，擬基于數(shù)據(jù)擬合方法，進一步探索可以靈活應(yīng)對拓撲變化的線性運行約束，并將其應(yīng)用于故障恢復(fù)等配電網(wǎng)優(yōu)化問題中。

附錄A 修改后的IEEE 34、37和123節(jié)點三相不對稱配電系統(tǒng)分布式電源參數(shù)

表A1 修改后的IEEE 34、37和123節(jié)點三相不對稱配電系統(tǒng)分布式電源參數(shù)Table A1 Parameters of distributed generations for modified IEEE 34,37,and 123 unbalanced test feeders