隨機(jī)源-荷影響下配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化理論方法與應(yīng)用展望

王晗，徐瀟源*，嚴(yán)正，惠紅勛，方曉濤

（1．電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實驗室（上海交通大學(xué)），上海市 閔行區(qū) 200240；2．智慧城市物聯(lián)網(wǎng)國家重點(diǎn)實驗室（澳門大學(xué)），澳門特別行政區(qū) 999078）

0 引言

隨著全球氣候與環(huán)境的日益惡化，大力發(fā)展清潔能源，積極推進(jìn)能源結(jié)構(gòu)低碳化轉(zhuǎn)型已成為全球各國共識[1-3]。以“碳達(dá)峰、碳中和”目標(biāo)為引領(lǐng)，中國提出構(gòu)建以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)，并加速推進(jìn)用能設(shè)施再電氣化建設(shè)，在此背景下，以分布式風(fēng)、光發(fā)電并網(wǎng)和新型再電氣化負(fù)荷接入為特征的智能配電網(wǎng)將成為串聯(lián)能源綠色生產(chǎn)與低碳消費(fèi)的重要形式[1]。然而，高比例接入的可再生能源發(fā)電具有間歇性，大規(guī)模異質(zhì)電力負(fù)荷（電動汽車、空調(diào)等）具有隨機(jī)性，均會對配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)造成顯著影響。因此，有必要分析源-荷不確定性的傳播過程，研究配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化方法，以保障配電網(wǎng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行[3]。

計及隨機(jī)源-荷的影響，不少學(xué)者開展了有關(guān)配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化方面的研究?？紤]可再生能源發(fā)電間歇性和負(fù)荷波動性，文獻(xiàn)[4-9]研究了基于概率潮流計算的配電網(wǎng)潮流不確定性表征問題，所用方法包括模擬法[6]、點(diǎn)估計法[7]、半不變量法[9]等；文獻(xiàn)[10-12]研究了考慮源-荷不確定性影響的配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)感知與估計問題；文獻(xiàn)[13-15]引入了基于方差分析的靈敏度分析方法，通過量化指標(biāo)辨識了顯著影響配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的關(guān)鍵隨機(jī)源-荷。上述文獻(xiàn)方法均屬于配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化的研究范疇，但目前并未形成統(tǒng)一的不確定性量化理論研究框架，對隨機(jī)源-荷影響下量化方法的選擇、可適用場景、結(jié)果表征形式缺乏系統(tǒng)性論述，影響了不確定性量化理論方法的進(jìn)一步擴(kuò)展應(yīng)用。

針對上述問題，文獻(xiàn)[16]從不確定性的定義出發(fā)，闡述了不確定性的來源、認(rèn)知程度分類，以及不確定性分析的典型方法，并給出了建議的綜合分析框架；文獻(xiàn)[3]從不確定性建模、不確定性因素影響評估、不確定性環(huán)境下決策方式，以及不確定性平抑措施四個方面綜述了現(xiàn)有研究方法與應(yīng)對不確定性的手段。上述研究為本文工作的開展奠定了基礎(chǔ)，但與上述研究不同，本文側(cè)重不確定性量化理論框架的構(gòu)建與研究方法的總結(jié)，旨在搭建起不確定性認(rèn)知研究與不確定性應(yīng)對措施研究之間的橋梁，通過量化表征、科學(xué)評估不確定性因素的影響，深化對不確定性因素的本質(zhì)認(rèn)識，并為不確定性應(yīng)對措施的實施提供指導(dǎo)。

本文從配電網(wǎng)源-荷不確定性因素建模出發(fā)，針對不確定性量化科學(xué)中的前向不確定性傳播問題和逆向不確定性評估問題，提出涵蓋不確定性表征和靈敏度分析的配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化理論框架。在不確定性表征方面，從計算效率和準(zhǔn)確性出發(fā)，總結(jié)現(xiàn)有基于高保真度模型和低保真度模型的不確定性表征方法，并構(gòu)建兼顧高/低保真度模型特點(diǎn)的多保真度模型；在靈敏度分析方面，引入基于方差、面積和距離的全局靈敏度分析方法，并對比不同靈敏度分析方法的特點(diǎn)與適用場景。最后，展望所提不確定性量化理論方法在耦合系統(tǒng)（如綜合能源系統(tǒng)、交通網(wǎng)-配電網(wǎng)耦合系統(tǒng)）中的應(yīng)用，以期為多時間尺度運(yùn)行下耦合系統(tǒng)的不確定性分析研究提供方法支撐。

1 不確定性因素建模

1.1 不確定性環(huán)境下配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的表達(dá)

本文以隨機(jī)源-荷作為輸入隨機(jī)變量，以配電網(wǎng)運(yùn)行人員所關(guān)注的相關(guān)指標(biāo)作為輸出變量，構(gòu)建不確定性環(huán)境下反映配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的輸入-輸出響應(yīng)通用模型：

式中：Y為配電網(wǎng)運(yùn)行中所關(guān)注的指標(biāo)，即輸出變量；ξ為N維輸入隨機(jī)變量。

需要說明的是，針對配電網(wǎng)運(yùn)行研究中不同的問題，式（1）可擴(kuò)展為不同的形式，如配電網(wǎng)概率潮流研究中以節(jié)點(diǎn)電壓、線路功率為輸出變量的潮流方程[17]，配電網(wǎng)最大光伏接入能力研究中以光伏最大接納能力為輸出變量的運(yùn)行風(fēng)險評估方程[18]等。同時，通用模型的計算過程中也會存在場景生成、模型變換、指標(biāo)計算等過程。本文利用此通用模型最大化展現(xiàn)所構(gòu)建的不確定性量化理論框架在配電網(wǎng)運(yùn)行研究中的適用性與可擴(kuò)展性。

1.2 不確定性因素的邊緣分布

刻畫隨機(jī)源-荷的邊緣分布是表征源-荷不確定性的主要手段，常用的方法包括參數(shù)模型和非參數(shù)模型兩種。

1）參數(shù)模型：指在歷史數(shù)據(jù)和實際經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，給定合適的概率分布函數(shù)描述輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性。參數(shù)模型的常用場景包括利用正態(tài)分布刻畫負(fù)荷預(yù)測誤差概率分布、利用威布爾分布刻畫風(fēng)速概率分布、利用Beta分布刻畫光照強(qiáng)度概率分布等。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)配電網(wǎng)所處區(qū)域隨機(jī)源-荷的類型和特點(diǎn)選取概率分布函數(shù)。

2）非參數(shù)模型：指利用源-荷的歷史數(shù)據(jù)，研究其分布特征并給出概率分布函數(shù)。核密度估計是一種常用的非參數(shù)模型構(gòu)建方法[19]，其利用多個平滑的核函數(shù)來刻畫樣本點(diǎn)附近的分布特征，并采用線性疊加的方式給出概率分布函數(shù)。在實際應(yīng)用中，非參數(shù)模型需要大量的數(shù)據(jù)作為支撐。

基于配電網(wǎng)源-荷歷史數(shù)據(jù)，參數(shù)模型構(gòu)建過程中，運(yùn)行人員會根據(jù)先驗知識，指定特定的概率分布函數(shù)（如正態(tài)分布、威布爾分布和Beta分布）刻畫輸入隨機(jī)變量的邊緣分布，而由于主觀認(rèn)知不確定性的影響，所指定的分布函數(shù)可能會與實際概率分布函數(shù)之間存在較大誤差，從而導(dǎo)致參數(shù)模型擬合精度較低。非參數(shù)模型不依賴于事先假定的邊緣分布函數(shù)，能夠最大化利用數(shù)據(jù)本身的分布特征獲取輸入隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，但其計算過程中存在邊界效應(yīng)，且最優(yōu)寬度的選取也會影響非參數(shù)模型的擬合精度。因此，實際計算中需要兼顧人為經(jīng)驗和數(shù)據(jù)分布特征，適時選擇不確定性因素的邊緣分布刻畫方法，盡可能提高計算精度。

1.3 不確定性因素的相關(guān)性

由于區(qū)域內(nèi)氣象環(huán)境、負(fù)荷特征的相似性，配電網(wǎng)內(nèi)隨機(jī)源-荷之間存在著不同程度的相關(guān)性，在利用邊緣分布函數(shù)表示單個輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征后，還需要進(jìn)一步刻畫多維輸入隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。目前，常用的相關(guān)性刻畫方法包括線性相關(guān)系數(shù)和Copula函數(shù)。

1）線性相關(guān)系數(shù)。

線性相關(guān)系數(shù)也被稱為Pearson相關(guān)系數(shù)，在現(xiàn)有研究中是最為常用的相關(guān)性度量指標(biāo)[20]。線性相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為[-1,1]，正、負(fù)值分別表示隨機(jī)變量間正、負(fù)相關(guān)性，其絕對值越大表示隨機(jī)變量間的相關(guān)程度越高。在配電網(wǎng)不確定性因素建模過程中，線性相關(guān)系數(shù)獲取方便且易于計算，但線性相關(guān)系數(shù)不能用于表征隨機(jī)變量間非線性的相依關(guān)系，具有一定的局限性[21]。

2）Copula函數(shù)。

Copula函數(shù)是刻畫多維隨機(jī)變量相關(guān)性的重要手段，通過連接多個隨機(jī)變量的邊緣分布，從而實現(xiàn)多維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布函數(shù)的構(gòu)建。常用的刻畫多維（三維及以上）隨機(jī)變量間相關(guān)性的方式包括橢圓Copula函數(shù)族和Vine Copula方法。

橢圓Copula函數(shù)族包括Gaussian-Copula和T-Copula，其能夠直接應(yīng)用于三維及以上隨機(jī)變量間相關(guān)性的刻畫，但所得相依結(jié)構(gòu)始終是對稱的，難以捕捉隨機(jī)變量間相依結(jié)構(gòu)的非對稱特性。

Vine Copula方法通過引入藤結(jié)構(gòu)將不同類型的Copula函數(shù)組合起來，并采用逐層依次合并的方式建立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，主要包括D-Vine和C-Vine兩種結(jié)構(gòu)類型[22]。Vine Copula方法所構(gòu)建的相依結(jié)構(gòu)，能夠刻畫多維隨機(jī)變量間非線性的相依關(guān)系，有效彌補(bǔ)線性相關(guān)系數(shù)方法的不足，但Vine Copula方法增加了計算的復(fù)雜性，且隨機(jī)變量維數(shù)越高，計算復(fù)雜性增加越明顯。

值得說明的是，不確定性因素建模完成后需要通過采樣的方式獲得隨機(jī)源-荷樣本，對于采用線性相關(guān)系數(shù)刻畫隨機(jī)變量之間相關(guān)性的場景，需要引入Nataf變換[23]實現(xiàn)樣本生成；對于采用Vine Copula方法刻畫隨機(jī)變量之間相關(guān)性的場景，需要引入Rosenblatt變換[24]實現(xiàn)樣本生成。

2 不確定性量化理論方法

基于不確定性因素模型和系統(tǒng)輸入-輸出關(guān)系，從不確定性量化理論需要解決的問題入手，本章構(gòu)建配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化理論框架，提出不確定性表征和靈敏度分析兩個不確定性因素影響量化環(huán)節(jié)，并分別總結(jié)現(xiàn)有可行方法，為不確定性量化理論的應(yīng)用與拓展研究奠定基礎(chǔ)。

2.1 配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化理論框架

不確定性量化（uncertainty quantification，UQ）是實現(xiàn)不確定性環(huán)境下系統(tǒng)輸出特征表征和輸入因素影響評估的科學(xué)，主要包括兩類研究問題[25]：①前向不確定性傳播問題，指輸入不確定性因素在系統(tǒng)內(nèi)傳播后，系統(tǒng)輸出響應(yīng)特征的量化表征問題；②逆向不確定性評估問題，指獲得系統(tǒng)輸出響應(yīng)特征量后，對輸入不確定性因素的影響評估與參數(shù)校正問題。從上述兩類研究問題出發(fā)，針對隨機(jī)源-荷影響下的配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化研究，本文提出了如圖1所示的不確定性量化理論框架，包括不確定性表征和靈敏度分析兩個環(huán)節(jié)。其中，不確定性表征環(huán)節(jié)用于解決隨機(jī)源-荷影響下配電網(wǎng)內(nèi)前向不確定性傳播問題（對應(yīng)圖1中過程①、②、③），靈敏度分析環(huán)節(jié)用于實現(xiàn)隨機(jī)源-荷對配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)影響程度的逆向量化評估（對應(yīng)圖1中過程④、⑤）。利用所提出的不確定性量化理論，能夠準(zhǔn)確量化隨機(jī)源-荷對配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)變量的影響，辨識具有顯著影響的關(guān)鍵隨機(jī)源-荷，為儲能裝置的優(yōu)化運(yùn)行策略、量測裝置的配置點(diǎn)選擇提供指導(dǎo)。同時，僅保留關(guān)鍵源-荷降低了復(fù)雜隨機(jī)問題的處理維度，有利于提升配電網(wǎng)運(yùn)行分析的效率?；谒岵淮_定性量化理論框架，本文后續(xù)將著重介紹不確定性表征和靈敏度分析環(huán)節(jié)中所涉及的具體方法，為不確定性量化理論的應(yīng)用提供支撐。

圖1 配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化理論框架Fig.1 Framework of uncertainty quantification theory for distribution network operation

2.2 不確定性表征方法

不確定性表征以系統(tǒng)輸出響應(yīng)的統(tǒng)計特征為量化指標(biāo)表征輸入隨機(jī)變量（如配電網(wǎng)隨機(jī)源-荷）的影響，常用的量化指標(biāo)包括輸出響應(yīng)的均值、方差、概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）和累積分布函數(shù)（cumulative distribution function，CDF）。在不確定性表征的過程中，如何快速、準(zhǔn)確地實現(xiàn)上述量化指標(biāo)的計算一直是研究人員重點(diǎn)關(guān)注的問題。針對該問題，本文從計算效率和準(zhǔn)確性兩方面出發(fā)，總結(jié)現(xiàn)有基于高保真度模型和低保真度模型的不確定性表征方法，并提出基于多保真度模型的不確定性表征方法。

2.2.1 基于高/低保真度模型的不確定性表征方法

在配電網(wǎng)運(yùn)行分析中，給定輸入隨機(jī)變量數(shù)據(jù)，通常有兩種方式獲得輸出響應(yīng)的結(jié)果：①建立復(fù)雜、精細(xì)化的高保真度模型，在給定輸入下獲得高精度的輸出結(jié)果，但需要付出極高的計算成本；②通過線性化、逼近等手段建立低保真度模型，在給定輸入下獲得近似的輸出結(jié)果，但所付出的計算成本較低。如圖2所示，對比高/低保真度模型的計算成本和計算誤差可知，低保真度模型以犧牲計算精度為代價換取了計算效率的提升。

圖2 高保真度模型與低保真度模型對比Fig.2 Comparison of high-fidelity and low-fidelity models

現(xiàn)有配電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)不確定性表征方法同樣可以劃分為不同保真度模型計算的范疇。其中，以基于原始物理模型的蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation，MCS）為基礎(chǔ)的方法均屬于高保真度模型計算的范疇，包括基于簡單隨機(jī)采樣的MCS方法[26]、基于拉丁超立方采樣的MCS方法[27]、基于Sobol序列的MCS方法[28]等；以點(diǎn)估計法為代表的近似法[29]、以半不變量法為代表的解析法[30]和基于代理模型的MCS方法[31]均屬于低保真度模型計算的范疇。為提升不確定性表征過程的計算效率，低保真度模型構(gòu)建方法一直是不確定性表征方法研究的重點(diǎn)。其中，通過代理模型替換原始物理模型的MCS方法是近幾年研究中的熱點(diǎn)話題，常用的代理模型構(gòu)建方法包括多項式混沌展開法〔如隨機(jī)響應(yīng)面法（stochastic response surface method，SRSM）[32]、廣義多項式混沌法（generalized polynomial chaos method，gPCM）[33]、稀疏多項式混沌展開（sparse polynomial chaos expansion，SPCE）[34]〕，低秩逼近（low-rank approximation，LRA）[35]，高斯過程回歸（Gaussian process regression，GPR）[36]，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural networks，ANN）[37]，支持向量回歸（support vector regression，SVR）[38]。值得說明的是，近年來不少代理模型輔助構(gòu)建平臺迅猛發(fā)展，包括UQLab[39]、Libsvm[40]、UQ-PyL[41]等，上述平臺工具的運(yùn)用為基于低保真度模型的不確定性表征方法擴(kuò)展應(yīng)用提供了有力支撐，多種代理模型詳細(xì)構(gòu)建過程與對應(yīng)平臺工具的功能介紹可參見文獻(xiàn)[42]。

2.2.2 基于多保真度模型的不確定性表征方法

考慮高保真度模型與低保真度模型在計算準(zhǔn)確性和計算效率方面的互補(bǔ)性，近年來不少學(xué)者研究了高/低保真度模型相結(jié)合的多保真度模型構(gòu)建方法。文獻(xiàn)[43]描述了多保真度問題的一般形式，并指出利用多保真度模型能夠降低輸出響應(yīng)結(jié)果的計算成本且保證計算精度；文獻(xiàn)[44]提出了基于多保真度建模的層次回歸模型；文獻(xiàn)[45-47]研究了多保真度的Monte Carlo估計方法，以提升傳統(tǒng)MCS方法的計算效率。上述工作為不確定性表征方法中多保真度模型的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

考慮配電網(wǎng)輸出狀態(tài)變量的均值和方差指標(biāo)，本文引入一種多保真度Monte Carlo估計模型[48]，以實現(xiàn)系統(tǒng)輸出響應(yīng)均值、方差的高效計算。假定M=[M(1),M(2),…,M(k)]為k維樣本規(guī)模向量，M(1)＞0且k≥l＞g≥1時M(l)＞M(g)，給定M(k)組輸入隨機(jī)變量樣本[ξM(1),ξM(2),…,ξM(k)]，輸出響應(yīng)Y的多保真度均值與方差估計結(jié)果可表示為

式中：α2,α3,…,αk為多保真度均值、方差估計模型的控制系數(shù)；EM(1)、DM(1)分別為1個高保真度模型在給定M(1)個輸入隨機(jī)變量樣本ξM(1)下輸出響應(yīng)Y均值和方差的計算結(jié)果；EM(i)、DM(i)（i= 2,3,…,k）為第i-1個低保真度模型在給定M(i)個輸入隨機(jī)變量樣本下輸出響應(yīng)Y均值和方差的計算結(jié)果。

文獻(xiàn)[48]和[49]證明式（2）和（3）所得結(jié)果是高保真度模型所得均值和方差的無偏估計（unbiased estimator）。進(jìn)一步，根據(jù)給定可接受的計算負(fù)擔(dān)（即計算時間）、不同低保真度模型的單次計算負(fù)擔(dān)（即計算時間）、低保真度模型輸出響應(yīng)結(jié)果與高保真度模型輸出響應(yīng)結(jié)果間的相關(guān)性，可通過優(yōu)化問題求解確定多保真度均值、方差無偏估計模型中的控制系數(shù)α2,α3,…,αk，從而實現(xiàn)不確定性表征中均值和方差的高效計算，具體流程可參見文獻(xiàn)[49]。值得說明的是，多保真度模型可基于所選擇的低保真度模型構(gòu)造不同的形式，典型的多保真度模型還包括co-Kriging模型[50]、多保真度徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）模型[51]等，其在不確定性表征中的應(yīng)用具有很大的探索空間。

2.3 靈敏度分析方法

靈敏度分析以輸出變量相對于輸入隨機(jī)變量的靈敏度為量化指標(biāo)，用于反映各個輸入不確定性因素對系統(tǒng)輸出的影響程度，常用的靈敏度分析方法包括局部靈敏度分析（local sensitivity analysis，LAS）和全局靈敏度分析（global sensitivity analysis，GSA）。LSA用于評估參考運(yùn)行點(diǎn)附近單個輸入變量波動（幅度在±10%以內(nèi)）對系統(tǒng)輸出的影響。然而，當(dāng)輸入變量的隨機(jī)波動范圍較大時，系統(tǒng)參考運(yùn)行點(diǎn)會發(fā)生偏移，此時LSA便不再適用。為彌補(bǔ)LSA的不足，近年來GSA被應(yīng)用于量化電力系統(tǒng)內(nèi)隨機(jī)源-荷的影響[52]。GSA能夠考慮輸入隨機(jī)變量的整個分布范圍及分布特性，從而實現(xiàn)多種不同特征的輸入隨機(jī)變量影響量化。本文總結(jié)了幾種常用的GSA方法，并對比了不同GSA方法的特點(diǎn)及其在配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化研究場景中的可用性。

2.3.1 基于方差的GSA方法

文獻(xiàn)[53]中，數(shù)學(xué)家I.M.Sobol基于方差分析（analysis of variance，ANOVA）理論提出了基于方差分解的GSA方法，并定義了全局靈敏度指標(biāo)。給定N維獨(dú)立輸入隨機(jī)變量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)，對于定義在?N={ξ|0≤ξi≤1,i=1,2,…,N}空間的輸出響應(yīng)Y=G(ξ)，可得方差分析的高維模型表示：

式中：D為輸出響應(yīng)Y的總方差；Dm…n（1≤m≤n≤N）為輸出響應(yīng)Y的偏方差。

進(jìn)一步，定義輸入隨機(jī)變量ξi的一階靈敏度指標(biāo)Si和總靈敏度指標(biāo)ST,i如下[53]：

式中：D～i為所有Dm…n（i?[m,n]，1≤m≤n≤N）之和。

上述一階靈敏度指標(biāo)（first-order sensitivity index，F(xiàn)SI）反映了輸入隨機(jī)變量ξi對輸出響應(yīng)Y的影響程度，F(xiàn)SI值越大，ξi的不確定性對輸出響應(yīng)Y的影響越大；全局靈敏度指標(biāo)（total sensitivity index，TSI）反映了輸入隨機(jī)變量ξi本身以及ξi與其他輸入隨機(jī)變量的交互作用對輸出響應(yīng)Y的共同影響，TSI值越大，共同影響程度越大。需要注意的是，若輸入隨機(jī)變量間相互獨(dú)立，則ξi的TSI始終大于其FSI[53]。利用FSI和TSI，基于方差分解的GSA方法已應(yīng)用于配電網(wǎng)的概率潮流分析[54]、配電網(wǎng)分布式光伏的關(guān)鍵參數(shù)辨識[55]、配電網(wǎng)負(fù)荷參數(shù)建模[56]、配電網(wǎng)狀態(tài)估計[14]等研究。

2.3.2 基于面積的GSA方法

基于面積的GSA方法通過量化PDF（或CDF）與相應(yīng)的條件PDF（或條件CDF）之間的差異面積作為全局靈敏度指標(biāo)，以評估輸入隨機(jī)變量的影響。文獻(xiàn)[57]中所提出的Borgonovoδ方法就是一種典型的基于PDF間差異面積計算的GSA方法，對于輸出響應(yīng)Y，Borgonovoδ方法定義全局靈敏度指標(biāo)：

式中：fY(Y)為考慮所有輸入隨機(jī)變量影響時輸出響應(yīng)Y

如圖3所示，陰影部分面積即為差異面積s(ξi)，利用式（6）中的積分計算獲得差異面積的期望，從而實現(xiàn)輸入隨機(jī)變量ξi對輸出變量Y的影響評估。對于獨(dú)立的輸入隨機(jī)變量，文獻(xiàn)[57]證明的取值范圍為[0,1]，值越大，輸入隨機(jī)變量ξi對輸出響應(yīng)Y的影響程度越大。

圖3 基于PDF的差異面積示意圖Fig.3 Diagram of area difference based on PDF

由于PDF的估計問題是不適定的[58]，準(zhǔn)確估計PDF比較困難且存在計算過程收斂慢、帶寬計算復(fù)雜等缺點(diǎn)[59]，針對此問題，文獻(xiàn)[60]提出利用CDF與條件CDF之間的差異面積定義全局靈敏度指標(biāo)：

式中：FY(Y)為考慮所有輸入隨機(jī)變量影響時輸出響應(yīng)Y的CDF；為第i個輸入隨機(jī)變量ξi為固定值其他輸入變量隨機(jī)變化時輸出響應(yīng)Y的條件CDF；E(Y)為輸出響應(yīng)Y的均值；S(ξi)為Y的CDF與其條件CDF之間的差異面積，表示為

如圖4所示，陰影部分面積即為差異面積S(ξi)，利用式（8）中的積分計算差異面積的期望占比，從而實現(xiàn)輸入隨機(jī)變量ξi對輸出變量Y的影響評估。需要注意的是，當(dāng)輸出響應(yīng)的均值為0時，規(guī)定式（8）中的分子項即為相應(yīng)的全局靈敏度指標(biāo)。目前，基于面積的GSA方法已應(yīng)用于電力系統(tǒng)概率小干擾穩(wěn)定分析[61]、孤島微電網(wǎng)概率潮流計算[4]等研究。

圖4 基于CDF的差異面積示意圖Fig.4 Diagram of area difference based on CDF

2.3.3 基于距離的GSA方法

基于距離的GSA方法通過量化CDF與相應(yīng)的條件CDF之間的距離作為全局靈敏度指標(biāo)，以評估輸入隨機(jī)變量的影響。文獻(xiàn)[62]提出利用Kolmogorov-Smirnov（K-S）距離定義全局靈敏度指標(biāo)：

式中：Hξi[·]為輸入隨機(jī)變量ξi取不同固定值時輸出響應(yīng)Y的CDF與其條件CDF間K-S距離的最大值（或中位數(shù)）；K(ξi)為Y的CDF與其條件CDF之間的K-S距離，如圖5所示。

圖5 基于CDF的K-S距離示意圖Fig.5 Diagram of K-S distance based on CDF

文獻(xiàn)[62]指出通過式（10）計算所得全局靈敏度指標(biāo)ηi取值范圍為[0,1]，ηi值越大，表明輸入隨機(jī)變量ξi對輸出響應(yīng)Y的影響程度越大。

表1對比了基于方差、面積和距離的三種GSA方法的特點(diǎn)與配電網(wǎng)運(yùn)行中的適用場景。相比而言，基于方差分析的GSA方法計算效率高，但僅利用方差反映輸出隨機(jī)特征具有一定的片面性；基于距離的GSA方法盡管也利用了輸出響應(yīng)的分布函數(shù)計算全局靈敏度指標(biāo)，但其計算過程不需要積分計算，相比基于面積的GSA方法具有更高的計算效率；但由于距離計算結(jié)果的差異性較小，所得重要性排序結(jié)果具有一定的局限性。

表1 不同GSA方法對比Table 1 Comparison of various GSA methods

3 耦合系統(tǒng)中不確定性量化理論應(yīng)用展望

隨著能源轉(zhuǎn)型戰(zhàn)略的實施，以電力為主要媒介的耦合系統(tǒng)不斷發(fā)展，并逐漸成為消納綠色能源的關(guān)鍵范式。目前研究中，典型的耦合系統(tǒng)包括綜合能源系統(tǒng)和交通-電力耦合系統(tǒng)。耦合系統(tǒng)各主體內(nèi)含有特性各異的多重不確定性因素，伴隨多時間尺度下耦合系統(tǒng)間的不斷運(yùn)行交互，多重不確定性因素的傳播將直接影響耦合系統(tǒng)的安全運(yùn)行。因此，有必要進(jìn)一步展望所提配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化方法在耦合系統(tǒng)中的應(yīng)用，主要包括以下三個方面。

3.1 耦合系統(tǒng)內(nèi)多重不確定性因素交互影響量化

考慮多時間尺度運(yùn)行，建立計及不確定性因素影響的耦合系統(tǒng)運(yùn)行特征表征模型，研究不確定性環(huán)境下各子系統(tǒng)間的耦合交互運(yùn)行機(jī)理，量化不確定性因素通過耦合環(huán)節(jié)對各子系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的影響。具體而言，對于綜合能源系統(tǒng)，利用不確定性表征方法，研究不確定性因素影響下系統(tǒng)概率多能流計算過程與表征方式；利用全局靈敏度分析方法，研究電、熱、氣子系統(tǒng)內(nèi)不確定性因素經(jīng)能量集線器后對異質(zhì)能流波動的影響。對于交通-電力耦合系統(tǒng)，研究基于不確定性表征的交通流-電力流概率特征量化方法，構(gòu)建適用于交通流、電力流均衡特征刻畫的高/低保真度模型，分析道路容量波動性、出行需求隨機(jī)性、可再生能源出力間歇性對交通-電力概率聯(lián)合流的影響，辨識影響耦合系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)波動的關(guān)鍵不確定性因素，從而為復(fù)雜不確定性環(huán)境下耦合系統(tǒng)的優(yōu)化運(yùn)行提供指導(dǎo)。

值得說明的是，不確定性因素在耦合系統(tǒng)內(nèi)的傳播具有時滯性，如電力網(wǎng)絡(luò)注入功率的瞬時波動并不能導(dǎo)致熱力系統(tǒng)溫度的瞬時變化；交通流量的實時變化并不會瞬時影響路段充電站負(fù)荷的波動。因此，耦合系統(tǒng)的運(yùn)行分析需要采用多時間尺度下的模型，這使得不同時間尺度下隨機(jī)輸入變量的影響難以利用局部靈敏度分析方法量化，而本文所提全局靈敏度分析方法考慮的是不確定性因素長時間尺度下的概率分布特性，從而將不確定性因素的影響表征與量化過程置于同一時間尺度下，在不確定性環(huán)境下耦合系統(tǒng)的運(yùn)行分析中具有優(yōu)勢。

3.2 耦合系統(tǒng)內(nèi)不確定性因素間相關(guān)性的影響評估

耦合系統(tǒng)內(nèi)不確定性因素間相關(guān)性復(fù)雜，盡管本文1.3節(jié)已給出常用的不確定性因素相關(guān)性刻畫方法，且現(xiàn)有不確定性量化分析的研究也常以獨(dú)立和相關(guān)兩種不同場景為研究對象，給出考慮不確定性因素間相關(guān)性的分析結(jié)果，但實際上目前大多數(shù)研究均僅停留在不確定性表征階段，以獲得考慮相關(guān)性場景下輸出變量的均值、方差、概率分布為目標(biāo)，較少涉及不同程度相關(guān)性、不同相依結(jié)構(gòu)對輸出變量影響程度的量化研究。目前，不確定性因素間相關(guān)性的影響量化問題仍處于基礎(chǔ)理論探索階段，且耦合系統(tǒng)內(nèi)多維、異質(zhì)的不確定性因素間相關(guān)性復(fù)雜，需要進(jìn)一步開展理論方法與應(yīng)用驗證，實現(xiàn)從理論研究到應(yīng)用實踐的突破。近年來，文獻(xiàn)[63]研究了源-荷不確定性及相關(guān)性對區(qū)域電-氣聯(lián)合系統(tǒng)運(yùn)行的影響，文獻(xiàn)[64]定義了量化隨機(jī)變量間相關(guān)性影響的全局靈敏度指標(biāo)，均是對不確定性因素間相關(guān)性影響量化問題的有益探索。

3.3 考慮認(rèn)知不確定性的不確定性量化理論研究

根據(jù)文獻(xiàn)[65]和[66]可知，不確定性分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性。隨機(jī)不確定性指規(guī)律演化中物理事物本身存在的固有特性，其不隨樣本數(shù)量的增加而發(fā)生改變；認(rèn)知不確定性指由于知識或數(shù)據(jù)缺失、人類主觀認(rèn)識不足而導(dǎo)致的模型構(gòu)建或參數(shù)刻畫不準(zhǔn)確[67]。一般情況下，隨機(jī)不確定性能夠用概率分布函數(shù)刻畫，而認(rèn)知不確定性可通過非概率方法（如模糊集理論）表征。本文所提出的不確定性量化方法主要針對隨機(jī)不確定性而言，暫未考慮認(rèn)知不確定性的影響，但實際耦合系統(tǒng)運(yùn)行中存在大量的認(rèn)知不確定性。具體而言，多時間尺度下綜合能源系統(tǒng)的多能流模型存在多處簡化處理；可再生能源發(fā)電數(shù)據(jù)按時間周期聚類存在主觀性，導(dǎo)致隨機(jī)模型參數(shù)具有模糊性；交通網(wǎng)-配電網(wǎng)耦合系統(tǒng)內(nèi)用戶出行路線的選擇具有偏好性，導(dǎo)致均衡模型中出行需求的刻畫具有認(rèn)知不確定性。因此，在現(xiàn)有隨機(jī)不確定性量化方法的基礎(chǔ)上，如何考慮認(rèn)知不確定性因素的影響，進(jìn)一步擴(kuò)展不確定性量化理論在耦合系統(tǒng)內(nèi)的應(yīng)用范圍需要進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[68]提出了一種基于模糊分布參數(shù)的全局靈敏度分析方法，文獻(xiàn)[69]提出了考慮源-荷隨機(jī)-模糊特征的配電網(wǎng)潮流不確定性量化方法，為考慮認(rèn)知不確定性的不確定性量化理論研究提供了新思路。

4 結(jié)論

本文提出了涵蓋不確定性表征和靈敏度分析的配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化理論框架，對比介紹了現(xiàn)有研究中常用的不確定性表征方法和靈敏度分析方法，展望了不確定性量化理論在耦合系統(tǒng)中的應(yīng)用前景，所得結(jié)論如下。

1）所提出的不確定性表征環(huán)節(jié)和靈敏度分析環(huán)節(jié)針對性地解決了配電網(wǎng)運(yùn)行不確定性量化中前向不確定性傳播和逆向不確定性評估問題，為后續(xù)不確定性量化理論在含電力網(wǎng)絡(luò)的耦合系統(tǒng)中擴(kuò)展應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

2）多保真度模型兼容了高/低保真度模型在計算準(zhǔn)確性和計算效率方面的優(yōu)點(diǎn)，在未來不確定性表征方法的研究中具有一定的發(fā)展空間。

3）全局靈敏度分析方法能夠考慮輸出變量在其整個分布范圍內(nèi)的變化情況，相較于傳統(tǒng)局部靈敏度分析方法，更適用于量化復(fù)雜不確定性環(huán)境下輸入隨機(jī)變量因素的影響。

未來將進(jìn)一步研究所提不確定性量化理論框架在含電力網(wǎng)絡(luò)的耦合系統(tǒng)中的應(yīng)用。