最小體積和平滑性約束的非負矩陣分解高光譜解混算法

李登剛 李 潔

(湖南工業(yè)大學 軌道交通學院, 湖南 株洲 412007)

0 引言

近年來,衛(wèi)星以及遙感技術(shù)得到了突飛猛進的發(fā)展,高光譜圖像因其具有大量的光譜波段數(shù),得到了廣泛的關(guān)注。高光譜圖像目前已經(jīng)廣泛應用在了農(nóng)業(yè)監(jiān)督、礦物挖掘、軍事勘測等領(lǐng)域。但是由于衛(wèi)星成像傳感器空間分辨率的限制,真實的高光譜圖像場景中往往存在著大量的混合像元。所謂混合像元,是指高光譜圖像中單個像素包含了多種實際地物?；旌舷裨拇嬖?將嚴重影響和制約后續(xù)對高光譜圖像的處理與分析。為此,混合像元分解技術(shù)隨之而生?；旌舷裨纸?解混)就是把混合的像元分解為各個物質(zhì)(稱之為端元)及其對應所占的比例(稱之為豐度)[1-3]。

近來,關(guān)于混合像元分解的方法層出不窮,總的來看,可以把這些分解方法分為兩類。第一類,兩步法(two step methods,TSM)；第二類,一步法(single step methods,SSM)。兩步法首先從混合像元中提取出各個物質(zhì)端元,然后反演計算出各端元所對應的豐度。常用的端元提取算法有頂點成分分析法[4](vertex component analysis,VCA)、純像素指數(shù)[5](pure pixel index,PPI)、N-FINDR[6]等。提取出端元后,通常通過全約束的最小二乘法[7](fully constrained least squares,FCLS)來反演求解出豐度。一步法可以同時計算出端元和豐度,傳統(tǒng)的一步法包括獨立成分分析法[8](independent component analysis,ICA)、最小體積約束的非負矩陣分解法[9](minimum volume constrained nonnegative matrix factorization,MVCNMF)等。

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),對于兩步法,如果在第一步端元提取中存在誤差,那么第二步豐度反演中的累計誤差將會繼續(xù)變大。所以,同兩步法相比,一步法可以很好地避免這個問題。此外,在真實的高光譜圖像中,是否存在純凈像元是未知的。所以,那些需要原始高光譜圖像中存在純凈像元的算法比如VCA、N-FINDR等并不適用。為了解決上述問題,混合像元盲分解問題隨之而出。所謂盲分解,是指原始高光譜圖像中,是否存在純凈像元,以及端元的個數(shù)都是未知的。非負矩陣分解(nonnegative matrix factorization,NMF)最初應用在數(shù)據(jù)降維,近年來被推廣應用到了高光譜圖像解混等領(lǐng)域。MVCNMF利用了混合像元的幾何特征，將混合像元構(gòu)成單形體的體積作為約束項加入到了目標函數(shù)的罰函數(shù)中。然而這一方法僅考慮了端元的物理屬性,忽略了豐度相關(guān)特性。平滑性約束很好地利用了豐度向量之間的一致性[10],成功地利用了豐度的特征,將豐度的平滑性約束作為罰函數(shù)添加到目標函數(shù)中。然而,該方法忽略了端元相關(guān)的物理屬性。

本文利用了高光譜圖像端元和豐度的相關(guān)物理屬性。首先,根據(jù)端元的幾何特征,將混合像元中端元所構(gòu)成單形體的體積作為約束項添加到了目標函數(shù)中。其次,充分利用了豐度的平滑性,通過構(gòu)造平滑性約束項,將該約束項也加入到了目標函數(shù)中。與傳統(tǒng)方法相比,本文既考慮到了端元的特性,同時又考慮到了豐度的相關(guān)物理屬性。通過在非負矩陣分解的目標函數(shù)中結(jié)合體積約束和平滑性約束,提高了混合像元分解的分解精度等問題。

1 高光譜圖像解混與非負矩陣分解

1.1線性混合模型

線性混合模型(linear mixed model,LMM)目前廣泛應用在高光譜圖像混合像元分解中[9-10],其數(shù)學模型定義為

X=AS+N

(1)

式中,矩陣X∈Rn×m表示傳感器觀測到的高光譜圖像;矩陣A∈Rn×l表示端元;矩陣S∈Rl×m表示端元所對應的豐度;N表示可能出現(xiàn)的噪聲和誤差。

1.2 非負矩陣分解

1999年,LEE D和SEUNG S提出了非負矩陣分解[11]理論。近年來,非負矩陣分解已成功應用到了數(shù)據(jù)降維、文本聚類、人臉識別等領(lǐng)域。對于非負矩陣Y∈Rn×m及常數(shù)r

Y=WH

(2)

使用歐式距離來定義Y與WH之間的誤差,則目標函數(shù)可以表示為

(3)

2 最小體積和平滑性約束的非負矩陣分解

MVCNMF是一種典型的利用端元物理特性在目標函數(shù)中添加約束項的方法。該方法通過將混合像元所構(gòu)成單形體的體積最小化。目標函數(shù)定義為：

(4)

式中,vol(J(A))表示單形體的體積,由端元矩陣決定。MVCNMF有效地利用了端元矩陣相關(guān)屬性,并對目標函數(shù)進行了有效的約束,但是這一方法忽略了豐度的相關(guān)特性。

正如文獻[11]所述,平滑性用來描述相鄰豐度向量之間的一致性,其也是豐度向量的一種物理屬性。平滑性考慮的是地物本身在空間中分布具有的連續(xù)性,可以使混合像元分解的結(jié)果更加平滑,同時也可以增加地物在局部空間的主導性。參考文獻[11],平滑性約束項的定義為

(5)

(6)

若相鄰像元在數(shù)據(jù)特征空間中越相似,那么該像元間的豐度也就會越相近。采用文獻[11]中的8領(lǐng)域的結(jié)構(gòu),同時根據(jù)高斯核函數(shù)計算ui,j,可得

ui,j=e-‖x(i)-x(j)‖2

(7)

對公式(5)所述的平滑性約束性求梯度,可得

(8)

式中，S為豐度矩陣，矩陣Q和U定義見公式(6)。

針對傳統(tǒng)非負矩陣分解方法分解精度不高等問題,本文結(jié)合了最小體積約束和平滑性約束,通過構(gòu)造最小體積約束和平滑性約束的罰函數(shù)項,并將它們同時添加到了目標函數(shù)中,提出了基于最小體積約束和平滑性約束的非負矩陣分解算法(minimum volume and smooth constrained nonnegative matrix factorization,MVSCNMF)。MVSCNMF的目標函數(shù)定義為

(9)

接下來的問題為目標函數(shù)的求解,使用交替迭代更新算法來求解端元矩陣和豐度矩陣,即固定一個矩陣交替迭代求解另外一個矩陣,其數(shù)學模型為

(10)

利用梯度下降法,上述公式可以轉(zhuǎn)換為

(11)

MVSCNMF總結(jié)如下：

3 實驗

為了驗證本文算法的準確性和有效性,分別用合成的模擬圖像和真實的高光譜場景圖像進行了實驗。實驗之前,首先提出比較各算法性能的評價指標。參考文獻[9-10,12-15],采用光譜角距離(spectral angle distance,SAD)來評價分解出的端元和真實端元之間的相似性。SAD的定義為

(12)

3.1 模擬實驗數(shù)據(jù)

從美國地質(zhì)勘測局的光譜資源庫中隨機選取了4種端元來合成模擬的高光譜圖像。所選取的光譜包含了224個波段,波長范圍從0.38 μm到2.5 μm。合成的模擬圖像擁有64×64個像素,然后被分成8×8個小像素塊,每個小像素塊都擁有純凈像元。使用一個7×7的濾波器來生成模擬的混合像元,為了進一步確保模擬圖像中無純凈像元,對于那些豐度大于0.8的像素,用上述4種端元均勻構(gòu)成的像元替代。最后,為了模擬可能出現(xiàn)的誤差,通過向模擬圖像添加信噪比SNR=20 dB的零均值高斯噪音來實現(xiàn)。表1列出了新提出的MVSCNMF與其他幾種流行的解混方法的分解效果對比。

表1 模擬實驗中不同方法下SAD值比較

從表1可以看出,VCA算法在所有的算法中提取端元的效果最差,這是因為VCA是從高光譜圖像中提取純凈端元,而模擬圖像中是不存在純凈像元的,所以VCA算法分解效果最差。同時,NMF是一種盲分解算法,不需要原圖像中存在純凈像元,所以基于NMF的算法分解效果比VCA都要好。最后比較MVCNMF、L1/2NMF以及新提出的MVSCNMF發(fā)現(xiàn),新提出的方法分解效果最好。這是因為,其他方法僅考慮了端元或者豐度的相關(guān)特性,而本文新提出的方法很好地利用了端元和豐度的相關(guān)物理特性,可以明顯地提升混合像元分解的效果。

3.2 真實實驗數(shù)據(jù)

本文選取了機載可見光紅外光成像光譜儀獲取的赤銅礦地區(qū)作為真實的高光譜圖像來測試新提出算法的有效性。該高光譜圖像擁有224個波段,尺寸大小為250×191像素,移除那些被水蒸氣吸收的波段,僅留下其中的188個波段進行實驗。根據(jù)虛擬維度(virtual dimension,VD)算法[16]以及現(xiàn)有的對該圖像地區(qū)的研究,端元的個數(shù)設(shè)為9,同時使用VCA和FCLS算法作為本實驗中端元矩陣A和豐度矩陣S的初始化方法。

上述4種算法關(guān)于提取的端元之間的量化比較DSA值如表2所示。從表2中可以看出，在大部分情況下,NMF的解混結(jié)果比VCA要好。這是因為在該高光譜圖像中是否存在純像元是未知的,所以需要原圖像中存在純凈像元的VCA算法效果最差,而NMF算法不需要原圖像中存在純凈像元,其解混結(jié)果比VCA算法要好。同時也可以看出，新提出的MVSCNMF算法解混結(jié)果較其他的單一約束的非負矩陣分解算法(MVCNMF,L1/2NMF)要好。這是因為MVCNMF忽略了豐度的平滑性,L1/2NMF則忽略了端元的幾何信息。在NMF的目標函數(shù)中,同時加入體積約束和平滑性約束可以比單約束的NMF帶來更好的解混效果。本文選取了水銨長石和白云母兩種地物解混的豐度圖與其他方法進行對比,如圖2、圖3所示。白云母主要分布在圖2左下方三角形區(qū)域以及圖中間偏下的半圓形區(qū)域內(nèi),而水銨長石主要分布在以圖3各小圖中心為圓心的橢圓形區(qū)域內(nèi)。與真實分布結(jié)果相比,就白云母的分解結(jié)果來看,本文的方法較其他方法有效地分解出了左下方三角區(qū)域。就水銨長石而言,本文的方法較其他方法也能夠很好地剔除圖像四周的非水銨長石部分。

表2 真實高光譜圖像實驗中不同方法下DSA值比較

圖2 各算法分解的白云母豐度圖

圖3 各算法分解的水銨長石豐度圖

4 結(jié)束語

本文根據(jù)高光譜圖像的端元和豐度的相關(guān)物理特性,提出了最小體積和平滑性約束的非負矩陣分解(MVSCNMF)算法。首先,利用端元的幾何特性,將端元構(gòu)成的單形體體積作為約束項添加到了目標函數(shù)中。其次,因為高光譜圖像豐度分布具有平滑性,通過構(gòu)造豐度的平滑性約束項,將其也添加到了目標函數(shù)中。最后通過優(yōu)化求解算法,得到端元矩陣和豐度矩陣。合成的高光譜圖像和真實的高光譜場景圖像實驗都表明,新提出的方法較原來的MVCNMF方法及其他流行的混合像元分解算法,解混效果都有了明顯的提升,同時該方法不需要原始高光譜圖像中存在純凈像元,適用于所有線性混合的高光譜圖像。盡管本文可以提升混合像元分解的精度,但仍存在著矩陣分解迭代求解速度慢,且算法只適用于線性混合像元分解的場景等問題。為此,下一步將研究更為有效快速的矩陣求解算法,同時探索非線性混合模型的混合像元分解方法。