石墨烯薄膜熱聲性能的三維數(shù)值計(jì)算與測(cè)試

張?jiān)剰?qiáng)，李 雙，范學(xué)良，李 成，唐金龍

（1. 蘇州大學(xué)軌道交通學(xué)院，江蘇蘇州 215131；2. 桂林電子科技大學(xué)廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林 541004 ）

0 引 言

1917年，Arnold和Crandall首次系統(tǒng)性地闡述了熱聲的發(fā)聲機(jī)制，并且建立了交流電通過(guò)薄層導(dǎo)體的模型，不過(guò)由于當(dāng)時(shí)的材料限制，只是檢測(cè)到微弱的聲音[1]。1978年，F(xiàn).Alan Mcdonald和Grovcr C. Wctscl建立了典型的光聲模型，并且得出了聲波方程的一維近似解析解[2]。1999年，我國(guó)聲學(xué)家馬大猷對(duì)熱聲理論進(jìn)行了系統(tǒng)闡述[3]。

近年來(lái)，納米技術(shù)突飛猛進(jìn)，給基于熱聲效應(yīng)揚(yáng)聲器的研究開(kāi)辟了一條新的路徑[4]。2008年，Xiao等發(fā)現(xiàn)通電的碳納米管薄膜會(huì)在其周?chē)a(chǎn)生聲波[5]。2011年，Tian等制作了紙質(zhì)材料為基底的石墨烯薄膜揚(yáng)聲器，并且對(duì)其做了發(fā)聲實(shí)驗(yàn)[6]。2012年，Suk等探究了不同基底下石墨烯薄膜的發(fā)聲情況[7]。2015年，王嚴(yán)冬等對(duì)多孔硅熱致發(fā)聲進(jìn)行建模研究[8]，F(xiàn)ci等制備出三維石墨烯泡沫揚(yáng)聲器，此類(lèi)揚(yáng)聲器優(yōu)于其他石墨烯薄膜揚(yáng)聲器[9]。2016年，Kim等做了三維還原石墨烯揚(yáng)聲器的陣列[10]和聚合物網(wǎng)格支撐的石墨烯薄膜發(fā)聲實(shí)驗(yàn)[11]。

Tian和Suk等在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)聲壓和輸入功率成正比，并且得出了聲壓隨頻率的變化規(guī)律，但是對(duì)模型缺乏系統(tǒng)的理論分析[6-7]。Vcstcrincn等使用格林函數(shù)法給出了考慮基底吸收熱對(duì)聲壓的影響，并且提到瑞利距離的概念，但沒(méi)有考慮薄膜單位面積熱容量的影響[12]；Xiao等在Arnold和Crandall的熱聲模型的基礎(chǔ)上考慮薄膜的自身熱容，但是聲壓表達(dá)式僅適用于遠(yuǎn)場(chǎng)（瑞利距離之外）[13]。Hu等在Mcdonald和 Wctscl建立的光聲模型基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了一般固體的熱致發(fā)聲模型的一維解析解[14]；Lim等將聲場(chǎng)分成近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)，瑞利距離之內(nèi)是平面波，瑞利距離之外是球面波，推導(dǎo)出了無(wú)基底石墨烯薄膜的一維近似聲壓公式[15]。本課題組的卞安華等[16]和Xing等[17]推導(dǎo)出了考慮基底傳熱的一維近似聲壓公式，并且進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)的論證。

上述研究均是采用一維模型進(jìn)行分析，計(jì)算的石墨烯薄膜聲壓分布并不連續(xù)，在瑞利距離處突變，但實(shí)際上聲壓分布是連續(xù)的，并且一維模型無(wú)法計(jì)算石墨烯表面的溫度分布。本文將建立石墨烯薄膜的三維熱傳導(dǎo)和聲擴(kuò)散模型，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并將計(jì)算值與一維近似解析解及實(shí)驗(yàn)測(cè)試值進(jìn)行對(duì)比分析。

1 石墨烯薄膜三維傳熱模型

通入交流電的石墨烯薄膜的溫度特性由振蕩溫度和穩(wěn)態(tài)溫度分布描述?；撞牧系碾娮柘鄬?duì)于石墨烯而言很大，可視作絕緣體。因此，假設(shè)石墨烯薄膜的熱量全部由石墨烯的焦耳熱產(chǎn)生。石墨烯的上表面分別與電極的下表面和空氣接觸進(jìn)行傳熱，電極的上表面與空氣進(jìn)行對(duì)流換熱，石墨烯的下表面與基底的上表面接觸進(jìn)行傳熱，而且基底的下表面與空氣接觸進(jìn)行對(duì)流換熱。由于基底的厚度為0.3 mm左右，石墨烯僅有10 nm，可以認(rèn)為只有薄膜上下表面有熱傳導(dǎo)?？紤]理想情況，假設(shè)石墨烯的電流密度的分布是均勻的。石墨烯的熱傳導(dǎo)模型如圖1所示。

圖1 石墨烯薄膜的熱傳導(dǎo)模型Fig.1 Heat conduction model of graphene film

1.1 石墨烯的焦耳熱過(guò)程

1.2 基底傳熱過(guò)程

1.3 傳熱模型的數(shù)值計(jì)算

使用COMSOL Multiphysics進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，使結(jié)果可視化。其中用到的材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Parameters of the materials

（1） 溫度振蕩

石墨烯薄膜兩端通入30 V的交流電（有效功率0.73 W），數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖2所示。石墨烯薄膜的溫度是隨時(shí)間振蕩變化的，振蕩溫度的幅值不隨時(shí)間改變。由于振蕩溫度的幅值極小，頻率較高，而溫度測(cè)量?jī)x的精度和幀率無(wú)法達(dá)到要求，則溫度振蕩部分僅能做理論分析。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，溫度振蕩的幅值在石墨烯薄膜表面是均勻分布的，且溫度振蕩的頻率是電流頻率的兩倍，這也很好解釋了輸出信號(hào)的頻率是輸入電信號(hào)頻率兩倍的現(xiàn)象。

在其他條件不變的情況下，當(dāng)有效輸入功率為0.73 W時(shí)，溫度振蕩的幅值隨頻率的增加而下降，如圖3所示。

圖3 溫度振蕩的幅值與溫度振蕩頻率的關(guān)系Fig.3 Relationship between amplitude and frequency of temperature oscillation

（2） 溫度穩(wěn)態(tài)分布

由于溫度振蕩的幅值相對(duì)于石墨烯薄膜表面的溫度是極小的，在研究石墨烯薄膜的溫度分布時(shí)可以忽略溫度振蕩。圖4為有效輸入功率0.2 W時(shí)（測(cè)量穩(wěn)態(tài)溫度時(shí)，為避免長(zhǎng)時(shí)間通入大電流導(dǎo)致?lián)p壞石墨烯薄膜，此處取相對(duì)較小的輸入功率），石墨烯薄膜溫度的穩(wěn)態(tài)分布。從圖4中可以看出石墨烯薄膜中央的溫度最高，沿四周逐漸下降。

圖4 石墨烯薄膜表面穩(wěn)態(tài)溫度分布Fig.4 Steady state temperature distribution of graphene film surface

2 三維聲擴(kuò)散模型及數(shù)值計(jì)算

石墨烯薄膜的熱聲效應(yīng)是指石墨烯表面的溫度振蕩使得附近空氣進(jìn)行周期性的熱脹冷縮，從而產(chǎn)生聲波[15]。在得出石墨烯薄膜表面溫度振蕩幅度隨頻率的變化后，將其作為邊界條件，建立聲擴(kuò)散模型。由于熱黏性聲學(xué)的計(jì)算量極大，且熱損失僅在熱邊界層內(nèi)損失很大，則可在靠近薄膜的小區(qū)域內(nèi)考慮熱黏性損耗，而其他部分依然利用傳統(tǒng)壓力聲學(xué)的計(jì)算公式。聲擴(kuò)散模型如圖5所示。

圖5 聲擴(kuò)散模型Fig.5 Sound diffusion model

2.1 熱黏性聲學(xué)

2.2 壓力聲學(xué)

2.3 數(shù)值計(jì)算

使用COMSOL Multiphysics進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，使結(jié)果可視化。其中用到的空氣參數(shù)如表2所示。

表2 空氣參數(shù)Table 2 Parameters of air

（1） 熱黏性聲學(xué)部分的總壓力分布

通過(guò)計(jì)算可得到熱黏性聲學(xué)部分聲壓的分布，其中頻率為8 000 Hz時(shí)的聲壓分布如圖6所示。等壓線(xiàn)在靠近聲源的地方曲率較小，而距離聲源越遠(yuǎn)曲率越大，最后趨近于球面波。

圖6 熱黏性聲學(xué)部分聲壓分布Fig.6 Sound pressure distribution of thermoviscous acoustic part

（2） 壓力聲學(xué)部分的聲壓分布

圖7是頻率為8 000 Hz時(shí)的壓力聲學(xué)部分的聲壓分布圖，其規(guī)律符合一維解析解中遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓近似于球面波的結(jié)論。

圖7 壓力聲學(xué)部分的聲壓級(jí)分布Fig.7 Distribution of sound pressure level in the pressure acoustic part

3 石墨烯薄膜發(fā)聲的影響因素

3.1 基底對(duì)石墨烯薄膜發(fā)聲的影響

基底吸收了石墨烯薄膜產(chǎn)生的大部分焦耳熱，因此基底對(duì)石墨烯薄膜發(fā)聲效果有很大的影響。在其他條件不變的情況下，分別計(jì)算了基底的密度、恒壓熱容和導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)石墨烯發(fā)聲的影響，結(jié)果如圖8～10所示。從圖8～10中可以看出，基底的密度、恒壓熱容和導(dǎo)熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級(jí)呈負(fù)相關(guān)。

圖8 基底密度與石墨烯薄膜聲壓級(jí)的關(guān)系Fig.8 Relationship between substrate density and sound pressure level of graphene thin films

圖9 基底恒壓熱容與石墨烯薄膜聲壓級(jí)的關(guān)系Fig.9 Relationship between substrate heat capacity at constant pressure and sound pressure level of graphene thin films

圖10 基底導(dǎo)熱系數(shù)與石墨烯薄膜聲壓級(jí)的關(guān)系Fig.10 Relationship between substrate thermal conductivity and sound pressure level of graphene thin films

3.2 氣體對(duì)石墨烯薄膜發(fā)聲的影響

氣體作為聲波傳播的媒介，本身的參數(shù)對(duì)石墨烯薄膜的發(fā)聲效果也很重要。在其他條件不變的情況下，分別計(jì)算了氣體的密度，恒壓熱容和導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)石墨烯發(fā)聲的影響，結(jié)果如圖11～13所示。從圖11～13中可以看出，氣體的密度和導(dǎo)熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級(jí)成正相關(guān)，氣體的恒壓熱容與石墨烯的聲壓級(jí)呈負(fù)相關(guān)。

圖11 氣體密度與石墨烯薄膜聲壓級(jí)的關(guān)系Fig.11 Relationship between gas density and sound pressure level of graphene thin films

圖12 氣體恒壓熱容與石墨烯薄膜聲壓級(jí)的關(guān)系Fig.12 Relationship between gas heat capacity at constant pressure and sound pressure level of graphene thin films

圖13 氣體導(dǎo)熱系數(shù)與石墨烯薄膜聲壓級(jí)的關(guān)系Fig.13 Relationship between gas thermal conductivity and sound pressure level of graphene thin films

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與對(duì)比分析

4.1 表面穩(wěn)態(tài)溫度分布測(cè)試

為了驗(yàn)證傳熱模型，設(shè)計(jì)傳熱實(shí)驗(yàn)如圖14所示。實(shí)驗(yàn)中使用的石墨烯薄膜（PET基底）如圖15所示。當(dāng)輸入功率為0.2 W時(shí)，待石墨烯薄膜的表面溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)，測(cè)試結(jié)果如圖16所示，實(shí)驗(yàn)值與圖4中的計(jì)算值基本吻合。

圖14 傳熱實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)示意圖Fig.14 Schematic diagram of heat transfer experiment design

圖15 石墨烯薄膜實(shí)物圖Fig.15 Picture of graphene film

圖16 石墨烯薄膜的表面溫度分布Fig.16 Surface temperature distribution of graphene film

4.2 聲壓測(cè)試

聲學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如圖17所示。薄膜產(chǎn)生的聲音信號(hào)由傳聲器接收，然后傳送到動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀。現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試如圖18所示。測(cè)點(diǎn)位于薄膜的中軸線(xiàn)上距離薄膜1、2 cm和偏中軸線(xiàn)45°距離薄膜中心點(diǎn)2 cm處。當(dāng)薄膜的有效輸入功率為0.73 W時(shí)，測(cè)試薄膜聲壓隨頻率的變化如圖19（a）、19（b）和 19（c）所示。將聲壓的一維近似解析解和三維數(shù)值計(jì)算結(jié)果列入圖19中進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)三維數(shù)值解比一維近似解析解更接近實(shí)驗(yàn)值。

圖17 聲學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)示意圖Fig.17 Schematic diagram of acoustic experiment design

圖18 測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)照片F(xiàn)ig.18 Picture of test field

圖19 在不同測(cè)量點(diǎn)的聲壓級(jí)與頻率的關(guān)系Fig.19 Relationships between sound pressure level and frequency at different measuring points

5 結(jié) 論

從通電石墨烯薄膜的熱聲效應(yīng)出發(fā)，建立了薄膜的三維熱傳導(dǎo)模型和三維聲擴(kuò)散模型，計(jì)算了薄膜表面的穩(wěn)態(tài)溫度分布、溫度振蕩幅值和聲壓值，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)論證，得到以下結(jié)論：

（1） 薄膜表面穩(wěn)態(tài)溫度分布特點(diǎn)是中央最高，沿四周下降。溫度振蕩幅值隨頻率增加而減小。

（2） 聲壓等壓線(xiàn)在靠近聲源的地方曲率較小，距離聲源越遠(yuǎn)曲率越大，最后趨近于球面波。聲壓值隨著頻率的增加而增加。

（3） 基底的密度、恒壓熱容和導(dǎo)熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級(jí)呈負(fù)相關(guān)。氣體的密度和導(dǎo)熱系數(shù)與石墨烯薄膜的聲壓級(jí)呈正相關(guān)，氣體的恒壓熱容與石墨烯的聲壓級(jí)呈負(fù)相關(guān)。

（4） 將三維模型數(shù)值計(jì)算的聲壓值與一維近似解析解及實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，三維數(shù)值計(jì)算結(jié)果更加接近實(shí)驗(yàn)值，且能計(jì)算出聲壓在空間的連續(xù)分布。