基于改進(jìn)雙向漸進(jìn)法的輕量化設(shè)計(jì)方法

王穎　張爭(zhēng)艷　雷焱陽(yáng)　唐瑀　孫立新

摘要 雙向漸進(jìn)法是近年來(lái)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)，針對(duì)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法容易出現(xiàn)的網(wǎng)格依賴性和局部極值等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，以及計(jì)算速率慢的問(wèn)題，提出一種雙重過(guò)濾增刪的雙向漸進(jìn)法，簡(jiǎn)稱為DBESO方法。該方法通過(guò)對(duì)典型的Michell結(jié)構(gòu)、短懸臂結(jié)構(gòu)和MBB梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行不同過(guò)濾增刪次數(shù)的計(jì)算，得出二次增刪過(guò)濾為最佳的過(guò)濾增刪次數(shù)，即在執(zhí)行靈敏度過(guò)濾和單元的增刪的基礎(chǔ)上，將結(jié)果存入中間變量再對(duì)靈敏度過(guò)濾及單元的增刪進(jìn)行計(jì)算，并且設(shè)定一個(gè)判定結(jié)構(gòu)性能的指標(biāo)進(jìn)行收斂。在MATLAB編程環(huán)境下，通過(guò)二維短懸臂結(jié)構(gòu)和三維簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化算例，證明DBESO方法在保證力學(xué)性能不變的情況下，有效地提高結(jié)構(gòu)輕量化的收斂速率，更好地抑制雙向漸進(jìn)方法的網(wǎng)格依賴性和局部極值等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。

關(guān) 鍵 詞 雙向漸進(jìn)法;輕量化;中間變量;靈敏度;MATLAB

中圖分類號(hào) TB21? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

Lightweight design method based on improved BESO method

WANG Ying， ZHANG Zhengyan， LEI Yanyang， TANG Yu， SUN Lixin

Abstract The Bi-directional evolutionary structural optimization method is a hot topic in the field of structural topology optimization. To solve the problem of slow iteration rate and numerical instability such as mesh-dependency and local minima in the existing structural topology optimization method， the paper proposes a Bi-directional evolutionary structural optimization method of double sensitivity filter and double addition and deletion （ DBESO）. In this method， through the different addition and deletion filtering of typical Michell structure， short cantilever structure and MBB beam structure were calculated. It is concluded that the second addition and deletion filtering is the best filtering addition and deletion times. The sensitivity filter and the element addition and deletion are calculated again through an intermediate variable after the implementation of the sensitivity filter and the element addition and deletion. And set an index to determine the performance of the structure of the convergence condition. By the topology optimization example of two-dimensional short cantilever beam and three-dimensional simply supported beam structure in MATLAB programming environment，verify under the condition of ensuring the same mechanical performance， the convergence rate of the lightweight structure is effectively improved and the numerical instability of the Bi-directional evolutionary structural optimization method is preferably eliminated.

Key words BESO; lightweight; intermediate variable; sensitivity; MATLAB

結(jié)構(gòu)輕量化是目前研究輕量化方法的主要方向之一，其最大的分支之一是連續(xù)體結(jié)構(gòu)輕量化。由于連續(xù)體結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于工程中，因此對(duì)該理論的研究也較為廣泛[1]。連續(xù)體結(jié)構(gòu)輕量化主要包括尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化。在尺寸和形狀優(yōu)化中，主要對(duì)截面特性和設(shè)計(jì)域邊界進(jìn)行優(yōu)化。拓?fù)鋬?yōu)化除了對(duì)設(shè)計(jì)域邊界進(jìn)行優(yōu)化外，還規(guī)定了連續(xù)體結(jié)構(gòu)中空腔的數(shù)量、尺寸和位置，并在工業(yè)領(lǐng)域，例如航空航天和汽車領(lǐng)域都存在有巨大的潛力[2-4]。近20年來(lái)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化獲得快速發(fā)展，成為工程創(chuàng)新設(shè)計(jì)的強(qiáng)有力工具。各種拓?fù)鋬?yōu)化方法，例如密度法/各向同性實(shí)體材料懲罰法（solid isotropic material with penalization， SIMP）[5]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（evolutionary structural optimization， ESO）[6]、獨(dú)立連續(xù)映射法 （independent continuous mapping method， ICM）[7]，基于幾何邊界描述的水平集方法（level set method， LSM）[8]，以及最近發(fā)展的移動(dòng)可變形組件法（moving morphable components， MMC）[9]，都用來(lái)解決各種結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題[10]。

其中，雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（BESO）是在ESO方法和AESO方法綜合的基礎(chǔ)上提出的，不僅可以刪除靈敏度值較低的單元，而且在結(jié)構(gòu)的靈敏度值較高區(qū)域周圍可以適當(dāng)?shù)奶砑訂卧晟屏薊SO方法移除多余的單元后不能添加的缺陷。在近些年的BESO算法研究中，許多學(xué)者以目標(biāo)函數(shù)靈敏度為基礎(chǔ)，從不同的角度對(duì)單元靈敏度進(jìn)行了改進(jìn)[11]。Huang等[12]采用了考慮靈敏度歷史迭代信息的方式，提高了靈敏度計(jì)算的精度。Huang等[13]利用插值策略提出了帶有懲罰參數(shù)的靈敏度修正方法。Huang等[14-15]和Nguyen等[16]分別提出了基于增加位移約束和基于非線性材料的靈敏度計(jì)算公式。Ghabraie等[16]通過(guò)提高泰勒級(jí)數(shù)更準(zhǔn)確地計(jì)算了單元靈敏度。孫艷想[17]研究了一種平滑處理技術(shù)的雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。然而對(duì)于BESO方法容易出現(xiàn)的網(wǎng)格依賴性、局部極值等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象以及迭代速率慢的問(wèn)題，目前還沒(méi)有得到良好的解決。

綜上所述，針對(duì)BESO優(yōu)化算法計(jì)算過(guò)程中會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，增刪過(guò)程中易出現(xiàn)誤差以及迭代速率較慢的問(wèn)題，基于平滑處理技術(shù)的雙向漸進(jìn)法（SBESO），提出雙重過(guò)濾增刪的雙向漸進(jìn)方法（DBESO）。該方法是在靈敏度過(guò)濾和增刪后重復(fù)進(jìn)行靈敏度過(guò)濾和增刪，并且設(shè)定一個(gè)測(cè)試結(jié)構(gòu)性能的指標(biāo)來(lái)進(jìn)行收斂迭代，從而提高算法迭代的運(yùn)算速率，消除數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，保障優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)定性和正確性。

1 優(yōu)化模型的建立及靈敏度分析

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

改進(jìn)的DBESO方法是在體積約束條件下，以最大靜剛度為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型描述為

式中：[f]是結(jié)構(gòu)的載荷矢量;[u]是結(jié)構(gòu)的位移矢量;[C]是結(jié)構(gòu)的平均靜柔順度;[V?]是結(jié)構(gòu)的約束體積;[Vi]是每個(gè)單元的體積;[N]是結(jié)構(gòu)離散后總的單元個(gè)數(shù);[xi]是設(shè)計(jì)變量;[ηj（TGS）]是權(quán)重函數(shù)，選用的是線性函數(shù)[ηj（TGS）=αj+β]，將[TGS]區(qū)域的設(shè)計(jì)變量分劃為0-1之間連續(xù)的數(shù)值，實(shí)現(xiàn)了算法計(jì)算過(guò)程中的平滑性和穩(wěn)定性。

1.2 靈敏度分析

基于材料插值模型，使目標(biāo)函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)[xi]進(jìn)行求導(dǎo)，推導(dǎo)得出靈敏度計(jì)算公式為

式中，p表示為懲罰因子。當(dāng)xi=1時(shí)，靈敏度數(shù)值的計(jì)算與p沒(méi)有關(guān)系;當(dāng)[xi=1×ηj（TGS）]時(shí)，p越大，單元的靈敏度數(shù)值也越接近于0;當(dāng)xi=0時(shí)，靈敏度值為0。

2 DBESO方法的改進(jìn)策略

2.1 靈敏度過(guò)濾方法

由于靈敏度過(guò)濾方法易實(shí)現(xiàn)且具有高效率性，所以本文的濾波技術(shù)采用靈敏度過(guò)濾方法。首先計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)靈敏度的數(shù)值，節(jié)點(diǎn)靈敏度可以表示為

式中：[M]是與[j]節(jié)點(diǎn)有關(guān)的單元總數(shù)目;[ωi]表示[i]單元的權(quán)重因子，可以用下式表示：

式中，[rij]表示[i]單元中心到[j]節(jié)點(diǎn)的距離。當(dāng)單元[i]越接近節(jié)點(diǎn)[j]時(shí)，[ωi]的數(shù)值越大，說(shuō)明[i]單元的靈敏度對(duì)[j]節(jié)點(diǎn)的靈敏度影響越大。

然后，將節(jié)點(diǎn)的靈敏度值轉(zhuǎn)換為單元的靈敏度值，設(shè)定某一單元為[i]單元，其靈敏度是通過(guò)以[i]單元中心為圓心，[rmin]為過(guò)濾半徑的區(qū)域Ω內(nèi)節(jié)點(diǎn)靈敏度的計(jì)算而獲得的。Ω區(qū)域不隨網(wǎng)格的大小的變化而變化，并且Ω區(qū)域應(yīng)該包含至少一個(gè)單元。Ω區(qū)域的每個(gè)節(jié)點(diǎn)靈敏度都會(huì)影響[i]單元的靈敏度，因此，[i]單元的靈敏度可以表示為

式中：[K]表示Ω區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)數(shù);[ωij]代表權(quán)重因子。

2.2 單元的增加和刪除策略

本文采用的增加刪除策略是基于SBESO方法進(jìn)行不斷地改進(jìn)而得到的。首先，對(duì)所有單元的靈敏度進(jìn)行排序，劃分成[n]個(gè)小組。然后根據(jù)靈敏度的大小設(shè)置閥值[αthdel]和[αthadd]，按照閥值把結(jié)構(gòu)所有單元?jiǎng)澐衷?個(gè)區(qū)域[T]，[TGS]和[TLS]。如果滿足[αi≤αthdel]，該單元?dú)w為[TLS]區(qū)域，如果滿足[αi>αthadd]，該單元?dú)w為[T]區(qū)域，如果滿足[αthdel<αi≤αthadd]，該單元?dú)w為[TGS]區(qū)域。最后，對(duì)[T]區(qū)域中的單元進(jìn)行單元的添加，[TLS]區(qū)域中的單元完全移除，[TGS]區(qū)域的單元按照權(quán)重函數(shù)[ηj（TGS）]進(jìn)行修改再判定是否增刪。即將單元靈敏度劃分成[n]個(gè)小組，定義[n]組中的p%單元完全被移除和增加，（1-p%）單元的移除和重新返回通過(guò)一個(gè)線性函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)如圖1所示，單元密度的高低用一個(gè)權(quán)重函數(shù)[η（j）]來(lái)表示，[0≤η（j）≤1]。該函數(shù)用以判斷[TGS]區(qū)域所有單元靈敏度的重要程度，當(dāng)單元的靈敏度越大，那么對(duì)應(yīng)的權(quán)重函數(shù)也就越大。這就表明，在下一次迭代中這些單元有可能會(huì)重新恢復(fù)到結(jié)構(gòu)中，而當(dāng)單元靈敏度越小，對(duì)應(yīng)的權(quán)重函數(shù)就越小，下一次迭代中這些單元可能完全從結(jié)構(gòu)中移除。

2.3 DBESO方法的改進(jìn)策略

靈敏度過(guò)濾方法是當(dāng)前處理棋盤格現(xiàn)象、局部極值和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的最有效手段，但依舊無(wú)法根除數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，只能在抑制該現(xiàn)象方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行不斷改進(jìn)，更好地抑制該現(xiàn)象的出現(xiàn)。而單元的增刪是對(duì)單元靈敏度進(jìn)行排序，進(jìn)而進(jìn)行單元的增刪。由于需要不斷地添加和刪除，所以出現(xiàn)誤差的可能性較高。

本文針對(duì)上述問(wèn)題，提出在一次迭代中進(jìn)行多次過(guò)濾增刪的方法，用以加強(qiáng)迭代過(guò)程中對(duì)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的抑制作用，減少單元增刪的誤差。

由于進(jìn)行多次過(guò)濾增刪過(guò)多次會(huì)引起迭代速率減慢，局部極值變多的現(xiàn)象，需要通過(guò)研究設(shè)定最優(yōu)過(guò)濾增刪次數(shù)。由此設(shè)計(jì)1次、2次、3次等多次過(guò)濾增刪，對(duì)其進(jìn)行基于SBESO方法的優(yōu)化迭代得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，選用典型的Michell結(jié)構(gòu)、短懸臂結(jié)構(gòu)和MBB梁結(jié)構(gòu)，幾何尺寸分別為[L×D=96? mm×48? mm]、[L×D=80 mm×50 mm]和[L×D=120 mm×60 mm]，[F=100 N]，具體模型和作用力位置和方向如圖2所示，其他初始條件不變，對(duì)3個(gè)數(shù)值算例的3種優(yōu)化結(jié)果總結(jié)如表1所示。

通過(guò)表1可以看出，對(duì)Michell結(jié)構(gòu)、短懸臂梁結(jié)構(gòu)和MBB梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，最優(yōu)結(jié)果隨著靈敏度過(guò)濾增刪次數(shù)的不斷增加，網(wǎng)格依賴性的抑制作用明顯得到了加強(qiáng)。通過(guò)3種數(shù)值算例的平均柔順度變化曲線可以看出，在2次靈敏度過(guò)濾增刪的情況下局部極值問(wèn)題較好的得以解決。對(duì)于平均柔順度值來(lái)說(shuō)，隨著靈敏度過(guò)濾增刪次數(shù)的增多而越來(lái)越大，2次過(guò)濾增刪的情況下柔順度值還較為穩(wěn)定，與1次靈敏度過(guò)濾增刪相似，但3次靈敏度過(guò)濾增刪的情況下，平均柔順度值差距較大。并且，通過(guò)計(jì)算運(yùn)算時(shí)間，可以得出單次運(yùn)行時(shí)間在2次過(guò)濾增刪時(shí)比1次過(guò)濾增刪時(shí)增大了1%～6%，在3次過(guò)濾增刪時(shí)比1次過(guò)濾增刪時(shí)增大了6%～10%，可以看出，2次過(guò)濾增刪對(duì)計(jì)算速率影響較小，所以選用2次過(guò)濾增刪為最優(yōu)的過(guò)濾增刪次數(shù)。

綜上所述，選用雙重過(guò)濾增刪的策略，設(shè)定中間變量[x?]，用來(lái)儲(chǔ)存第1次過(guò)濾增刪后的變量情況;然后將中間變量[x?]代入靈敏度計(jì)算公式中，按步驟進(jìn)行第2次過(guò)濾增刪;最后繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化迭代的其他步驟。

2.4 收斂準(zhǔn)則

雖然雙重過(guò)濾增刪會(huì)使其在迭代中數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象得到很好的抑制，但在收斂速度方面并沒(méi)有提高，所以需定義一個(gè)結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)，來(lái)監(jiān)控性能是否滿足要求并且可以提高迭代速率。對(duì)于優(yōu)化算法來(lái)說(shuō)，由于體積和柔順度是結(jié)構(gòu)性能好壞的展現(xiàn)，所以，定義了一個(gè)和體積與柔順度2個(gè)參數(shù)有關(guān)的性能指標(biāo)來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行監(jiān)控。結(jié)構(gòu)性能參數(shù)I的表達(dá)式如下：

式中：[Vi]是第[i]個(gè)迭代步驟結(jié)構(gòu)的體積;[Vk+1]是第[i+1]個(gè)迭代步驟結(jié)構(gòu)的體積?？梢钥闯?，[I]值越大，結(jié)構(gòu)的性能越好。所以，用[I]來(lái)對(duì)該算法進(jìn)行收斂。得出收斂準(zhǔn)則為

式中：[Ii]是當(dāng)前迭代步的性能指標(biāo);[Ii-1]是上一迭代步的性能指標(biāo);error是收斂因子。在結(jié)構(gòu)滿足式（8）的收斂準(zhǔn)則時(shí)，結(jié)構(gòu)獲得最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，停止迭代。

3 改進(jìn)DBESO方法優(yōu)化流程

圖3為雙重過(guò)濾增刪BESO（DBESO）方法的迭代流程圖。由圖3可以得出改進(jìn)的雙重增刪過(guò)濾BESO（DBESO）優(yōu)化方法的迭代流程為：

1）設(shè)定初始參數(shù)，建立有限元模型，設(shè)定負(fù)載和邊界約束條件;

2）采用靈敏度公式計(jì)算每一個(gè)單元的靈敏度，進(jìn)行靈敏度過(guò)濾和更新;

3）按照靈敏度的大小設(shè)定增刪閥值，然后將單元依據(jù)靈敏度大小劃分在3個(gè)區(qū)域T，TLS，TGS;對(duì)T區(qū)域中的單元進(jìn)行添加，對(duì)TLS區(qū)域中的單元進(jìn)行移除，按照權(quán)重函數(shù)[ηj（TGS）]對(duì)TGS區(qū)域的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行增刪判定;

4）將增刪結(jié)果設(shè)為中間變量[x?];

5）用[x?]進(jìn)行靈敏度再過(guò)濾和更新，然后進(jìn)行單元的再增刪;

6）計(jì)算下一步迭代體積并更新單元設(shè)計(jì)變量;

7）計(jì)算性能指標(biāo)，判定結(jié)構(gòu)性能。

8）重復(fù)步驟2-7，在結(jié)構(gòu)達(dá)到目標(biāo)體積和滿足收斂準(zhǔn)則時(shí)，終止迭代。

4 改進(jìn)DBESO方法數(shù)值算例驗(yàn)證

4.1 二維數(shù)值算例短懸臂梁結(jié)構(gòu)

定義優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為二維短懸臂梁結(jié)構(gòu)，其幾何參數(shù)為[L×D=80? mm×50? mm]，材料的特性為楊氏模量為[2×105? MPa]，泊松比為0.3。邊界約束條件和載荷如圖2b）所示，左端固定，右端中點(diǎn)承受向下恒定載荷[F=100? N]。對(duì)結(jié)構(gòu)采用80×50四節(jié)點(diǎn)有限元平面應(yīng)力單元來(lái)離散結(jié)構(gòu)，采用的權(quán)重函數(shù)為線性函數(shù)[ηj（TGS）=αj+β]。初始參數(shù)為：[V?=0.5]，[er=0.02]，[rmin=5 mm]，[penal=3]，[p=0.8]。

本文將該短懸臂梁進(jìn)行120×76以及160×100的網(wǎng)格劃分，結(jié)果如圖4所示，對(duì)比圖中結(jié)果，對(duì)于改進(jìn)后DBESO方法網(wǎng)格數(shù)為80×50、120×76以及160×100的計(jì)算出的優(yōu)化結(jié)果的網(wǎng)格是一樣的，所以改進(jìn)后的方法明顯地減少了網(wǎng)格依賴性。對(duì)于改進(jìn)前SBESO方法網(wǎng)格數(shù)為120×76以及160×100計(jì)算出的結(jié)果明顯比網(wǎng)格數(shù)80×50計(jì)算出的結(jié)果網(wǎng)格數(shù)要多，網(wǎng)格依賴性嚴(yán)重，并且隨著網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)的增大，優(yōu)化結(jié)果的網(wǎng)格數(shù)越來(lái)越多。由此可以看出，改進(jìn)后DBESO方法對(duì)于抑制網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象有了明顯的提高。

為了驗(yàn)證改進(jìn)后DBESO算法的優(yōu)點(diǎn)，本文將基于改進(jìn)前平滑的SBESO方法和改進(jìn)后雙重增刪過(guò)濾的DBESO方法對(duì)該算例進(jìn)行計(jì)算。在材料參數(shù)和約束條件不變的情況下，2種方法最終優(yōu)化結(jié)果如圖5和圖6所示。并將2種方法結(jié)果以及不同網(wǎng)格劃分下的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)對(duì)比，如表2所示。

觀察圖4、圖5、圖6和表2，可以得出以下結(jié)論。

1）對(duì)于平均柔順度而言，在相同網(wǎng)格劃分的情況下，改進(jìn)前后2種方法的最終柔順度值相近，改進(jìn)前的平均柔順度曲線有明顯的數(shù)值波動(dòng)，數(shù)值穩(wěn)定性較差。改進(jìn)后的平均柔順度曲線比改進(jìn)前的更為平滑，無(wú)明顯的數(shù)值波動(dòng)，較為平穩(wěn)。

2）對(duì)于計(jì)算效率來(lái)說(shuō)，在保持平均柔順度相近的情況下，對(duì)于80×50網(wǎng)格劃分的情況，改進(jìn)后DBESO方法迭代速率提高了29%;對(duì)于120×76網(wǎng)格劃分情況，改進(jìn)后DBESO方法迭代速率提高14.4%;對(duì)于160×100網(wǎng)格劃分情況，改進(jìn)后DBESO方法迭代速率提高14.7%。

3）對(duì)于網(wǎng)格依賴性來(lái)說(shuō)，相對(duì)于改進(jìn)前優(yōu)化方法，改進(jìn)后方法在抑制網(wǎng)格依賴性方面有了明顯的提高，減小了對(duì)零件的性能影響。

對(duì)于二維結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，改進(jìn)的DBESO方法在提高計(jì)算效率方面以及抑制局部極值和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象均有明顯的優(yōu)化。

4.2 三維數(shù)值算例簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)

定義優(yōu)化簡(jiǎn)支梁的尺寸為[50? mm×20? ?mm×4? ?mm]。模型如圖7所示，其底面4個(gè)頂點(diǎn)為簡(jiǎn)支約束，頂面正中心施加垂直向下均布載荷[F=10 N]，密度[ρ=1 g/mm3]。將設(shè)計(jì)域劃分為50×20×4的網(wǎng)格，材料特性有：[E=1? GPa]，泊松比[μ=3.0]，所需的參數(shù)為：[V?=0.5]，[er=0.02]，[rmin=3 mm]，[penal=3]，[p=0.9]。

本文將該短懸臂梁進(jìn)行66×26×6以及60×24×4的網(wǎng)格劃分，結(jié)果如圖8所示，對(duì)比圖中結(jié)果，對(duì)于改進(jìn)后DBESO方法網(wǎng)格數(shù)為50×20×4、66×26×6以及60×24×4的計(jì)算出的優(yōu)化結(jié)果的網(wǎng)格是一樣的，所以改進(jìn)后的方法明顯地減少了網(wǎng)格依賴性。對(duì)于改進(jìn)前SBESO方法網(wǎng)格數(shù)為66×26×6以及60×24×4計(jì)算出的結(jié)果明顯比網(wǎng)格數(shù)50×20×4計(jì)算出的結(jié)果網(wǎng)格數(shù)要多，網(wǎng)格依賴性嚴(yán)重，并且隨著網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)的增大，優(yōu)化結(jié)果的網(wǎng)格數(shù)增多。由此可以看出，改進(jìn)后DBESO方法對(duì)于抑制網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象有了明顯的提高。

在MATLAB編寫好的改進(jìn)優(yōu)化算法中，首先編寫好該算例的有限元模型、邊界條件、受力情況和位移約束情況，然后對(duì)改進(jìn)前的SBESO方法和改進(jìn)后的DBESO方法執(zhí)行優(yōu)化計(jì)算，得到改進(jìn)前后最優(yōu)結(jié)果圖如圖8所示，改進(jìn)前后的平均柔順度與迭代次數(shù)的曲線圖如圖9所示，改進(jìn)前后的性能指標(biāo)與迭代次數(shù)的曲線圖如圖10所示，對(duì)在不同網(wǎng)格劃分下的兩種方法結(jié)果總結(jié)如表3所示。

觀察圖8、圖9、圖10和表3，可以得出以下結(jié)論。

1）對(duì)于平均柔順度而言，在相同網(wǎng)格劃分的情況下，改進(jìn)前后方法的最終柔順度值相近，改進(jìn)前的平均柔順度曲線有明顯的數(shù)值波動(dòng)，數(shù)值穩(wěn)定性較差，改進(jìn)后的平均柔順度曲線比改進(jìn)前的更為平滑，無(wú)明顯的數(shù)值波動(dòng)，較為平穩(wěn)。

2）對(duì)于計(jì)算效率來(lái)說(shuō)，在保持平均柔順度相近的情況下，對(duì)于50×20×4網(wǎng)格劃分的情況，改進(jìn)后DBESO方法迭代速率提高了1.8%;對(duì)于60×24×4網(wǎng)格劃分情況，改進(jìn)后DBESO方法迭代速率提高0.6%;對(duì)于66×26×6網(wǎng)格劃分情況，改進(jìn)后DBESO方法迭代速率提高9.5%。

3）對(duì)于性能指標(biāo)來(lái)說(shuō)，改進(jìn)后的曲線比改進(jìn)前的更為平滑，無(wú)明顯的數(shù)值波動(dòng)，較為平穩(wěn)，改進(jìn)前的曲線有明顯的數(shù)值波動(dòng)，數(shù)值穩(wěn)定性較差，且迭代前后性能指標(biāo)最終值相近。

4）對(duì)于網(wǎng)格依賴性來(lái)說(shuō)，相對(duì)于改進(jìn)前SBESO方法，改進(jìn)后DBESO方法在抑制網(wǎng)格依賴性方面有了明顯的提高。

對(duì)于三維結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，改進(jìn)的DBESO方法在抑制局部極值和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象有了明顯的優(yōu)化，且計(jì)算速率也有了小的提高。

5 結(jié)論

本文在現(xiàn)有SBESO方法的基礎(chǔ)上，提出了雙重過(guò)濾增刪的DBESO方法。該方法是在原有過(guò)濾增刪的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)計(jì)算驗(yàn)證后，將結(jié)果存入中間變量，再進(jìn)行雙重過(guò)濾增刪，并且在收斂時(shí)設(shè)定1個(gè)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行性能判定的指標(biāo)來(lái)進(jìn)行收斂，用于提高收斂速率。通過(guò)二維短懸臂和三維簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)作為數(shù)值算例進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果與現(xiàn)有的SBESO方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該DBESO方法的優(yōu)越性和可行性。

1）對(duì)于網(wǎng)格依賴性問(wèn)題，相較于SBESO方法明顯的網(wǎng)格依賴性問(wèn)題，可以看出改進(jìn)后的DBESO方法更好的抑制了網(wǎng)格依賴性的問(wèn)題。

2）對(duì)于局部極值現(xiàn)象，相較于SBESO方法的大的局部極值波動(dòng)，改進(jìn)后DBESO方法的迭代曲線更為平順，幾乎不存在局部極值問(wèn)題。

3）對(duì)于計(jì)算結(jié)果與效率問(wèn)題，相較于SBESO方法，改進(jìn)后的DBESO方法的計(jì)算效率有了明顯提高。

4）對(duì)于應(yīng)用的廣泛性來(lái)說(shuō)，在二維和三維結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中，改進(jìn)的DBESO方法比SBESO方法在提高迭代速率和抑制網(wǎng)格依賴性、局部極值等數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題方面有了明顯的優(yōu)化。

結(jié)果證明了改進(jìn)的DBESO方法在二維結(jié)構(gòu)和三維結(jié)構(gòu)都明顯優(yōu)于原算法，更好地解決了數(shù)值不穩(wěn)定導(dǎo)致的網(wǎng)格依賴性和局部極值等問(wèn)題，且在迭代效率方面也有了提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]? ? 宋武林. 三維連續(xù)體雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2017.

[2]? ? 徐文鵬，苗龍濤，劉利剛. 面向3D打印的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究進(jìn)展[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2017，29（7）：1155-1168.

[3]? ? LEDERMANN C，ERMANNI P，KELM R. Dynamic CAD objects for structural optimization in preliminary aircraft design[J]. Aerospace Science and Technology，2006，10（7）：601-610.

[4]? ? SHOBEIRI V. Topology optimization using bi-directional evolutionary structural optimization based on the element-free Galerkin method[J]. Engineering Optimization，2016，48（3）：380-396.

[5]? ? BENDS?E M P，SIGMUND O. Topology Optimization：Theory，Methods，and Applications[M]. Berlin，Heidelberg：Springer，2004.

[6]? ? XIE Y M，STEVEN G P. A simple evolutionary procedure for structural optimization[J]. Computers & Structures，1993，49（5）：885-896.

[7]? ? 隋允康，葉紅玲，彭細(xì)榮，等. 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)力約束凝聚化的ICM方法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39（4）：554-563.

[8]? ? WANG M Y，WANG X M，GUO D M. A level set method for structural topology optimization[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2003，192（1/2）：227-246.

[9]? ? GUO X，ZHANG W S，ZHONG W L. Doing topology optimization explicitly and geometrically—A new moving morphable components based framework[J]. Journal of Applied Mechanics，2014，81（8）：081009.

[10]? SIGMUND O，MAUTE K. Topology optimization approaches[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2013，48（6）：1031-1055.

[11]? 劉娟. SIMP算法和BESO算法的關(guān)鍵技術(shù)研究[D]. 桂林：桂林電子科技大學(xué)，2016.

[12]? HUANG X，XIE Y M. Convergent and mesh-independent solutions for the bi-directional evolutionary structural optimization method[J]. Finite Elements in Analysis and Design，2007，43（14）：1039-1049.

[13]? HUANG X，XIE Y M. Bi-directional evolutionary topology optimization of continuum structures with one or multiple materials[J]. Computational Mechanics，2008，43（3）：393-401.

[14]? HUANG X，XIE Y M. Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures[M]. Chichester，UK：John Wiley & Sons，Ltd，2010.

[15]? HUANG X D，XIE Y M. A further review of ESO type methods for topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization，2010，41（5）：671-683.

[16]? NGUYEN T，GHABRAIE K，TRAN-CONG T. Applying bi-directional evolutionary structural optimisation method for tunnel reinforcement design considering nonlinear material behaviour[J]. Computers and Geotechnics，2014，55：57-66.

[17]? 孫艷想. 基于BESO方法的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2017.

收稿日期：2019-03-23

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61802108）;河北省自然科學(xué)基金（E2017202296）

第一作者：王穎（1993—），女，碩士研究生。通信作者：孫立新（1964—），男，教授，Sunlixin100@126.com。