GNSS失鎖下基于混合預(yù)測模型的POS誤差估計(jì)方法

陳霖周廷，劉占超

（1.貴州理工學(xué)院 航空航天工程學(xué)院，貴陽 550001；2.北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

位置姿態(tài)測量系統(tǒng)（POS）主要由捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（SINS）和全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）組成，集合了慣性導(dǎo)航數(shù)據(jù)短期精度高、不受外部環(huán)境干擾和衛(wèi)星導(dǎo)航數(shù)據(jù)長期穩(wěn)定性好、誤差不隨時間漂移的優(yōu)點(diǎn)于一體，可為運(yùn)動載體提供高精度的導(dǎo)航定位信息[1]。當(dāng)運(yùn)動載體駛?cè)胨淼阑蜻M(jìn)入強(qiáng)電磁干擾區(qū)域時，衛(wèi)星信號受到遮擋和干擾，容易發(fā)生GNSS 失鎖現(xiàn)象，此時SINS 誤差由于無法得到有效的量測信息修正并隨時間不斷累積，這將導(dǎo)致POS 導(dǎo)航定位精度隨GNSS 失鎖時間增長而迅速降低。

近年來，國內(nèi)外對于GNSS 信號失鎖情況下POS導(dǎo)航誤差處理方面做了大量研究工作。文獻(xiàn)[2][3]采用多層感知（MLP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練GNSS 位置增量的預(yù)測模型，在衛(wèi)星信號失鎖期間估計(jì)GNSS 的位置信息，以此作為量測信息來校正SINS 誤差；但是訓(xùn)練完成后的MLP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部結(jié)構(gòu)（隱藏層的數(shù)目、每層神經(jīng)元的數(shù)目等）固定不變，動態(tài)環(huán)境下難以達(dá)到預(yù)測系統(tǒng)的最佳性能狀態(tài)。文獻(xiàn)[4][5]采用基于徑向函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測GNSS 失鎖時SINS 的位置誤差，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以動態(tài)地生成隱含層的神經(jīng)元數(shù)目以達(dá)到預(yù)測系統(tǒng)的最佳性能，還具有訓(xùn)練速度快和精度高的優(yōu)勢；但是RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險最小化原則，可能會出現(xiàn)過學(xué)習(xí)問題，泛化能力不理想。文獻(xiàn)[6][7]采用支持向量機(jī)（SVM）對SINS 位置誤差進(jìn)行預(yù)測建模，能夠較好地反映非線性數(shù)據(jù)變化趨勢，具有泛化能力好、預(yù)測精度高的優(yōu)點(diǎn)；但是SVM 需要計(jì)算和存儲核函數(shù)矩陣，模型參數(shù)計(jì)算復(fù)雜度較高，不能達(dá)到實(shí)時預(yù)測的需求。本文構(gòu)建了一種基于多元線性回歸和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混合預(yù)測模型，在GNSS 失鎖期間既考慮了POS 導(dǎo)航誤差積累發(fā)散趨勢性的影響，也考慮到波動性隨機(jī)誤差因素，能夠充分表征出POS 導(dǎo)航誤差的線性與非線性數(shù)據(jù)特征，從而更有效地對POS 導(dǎo)航誤差進(jìn)行預(yù)測和校正，使得POS導(dǎo)航精度在GNSS 失鎖期間得到較大的提升。

1 POS 組合導(dǎo)航模型

通過捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差分析[8-10]，可得系統(tǒng)誤差方程如下：

式中：δL、δλ和δh分別為緯度、經(jīng)度和高度誤差；為速度誤差向量；為姿態(tài)失準(zhǔn)角向量；Rn和Rm為卯酉圈和子午圈的主曲率半徑；和為地球自轉(zhuǎn)角速度和位移角速度；fn為加速度計(jì)輸出向量；?=?[x,?y,?z]T為加速度計(jì)隨機(jī)常值偏置向量；ε=[εx,εy,εz]T為陀螺隨機(jī)常值漂移向量；Cbn為姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。

根據(jù)式(1)建立POS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間方程和量測方程如下：

根據(jù)式(2)中的系統(tǒng)狀態(tài)與量測模型，POS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)采用卡爾曼（Kalman）濾波器對系統(tǒng)誤差進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。式(3)表達(dá)了Kalman 濾波算法的核心思想[12]，如下所示：

當(dāng)t時刻發(fā)生GNSS 失鎖，即無法獲得該時刻的量測信息Z(t)，Kalman 濾波器對(t) 的估計(jì)僅取決于t時刻之前的量測信息和系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其估計(jì)值等同于(t|t-1)，估計(jì)精度受到影響。因此，在GNSS 失鎖期間，SINS 誤差缺乏有效的量測修正，導(dǎo)致POS 導(dǎo)航誤差隨時間積累發(fā)散。

2 基于MLR/RBFNN 的SINS 誤差混合預(yù)測建模

針對GNSS 失鎖問題，本文的解決思路是：在GNSS 信號正常時，對Kalman 濾波器估計(jì)出的SINS誤差進(jìn)行預(yù)測建模；在GNSS 失鎖時，根據(jù)之前建立的預(yù)測模型輸出SINS 誤差的預(yù)測值，進(jìn)而修正POS的導(dǎo)航誤差。但是，由于各時刻的SINS 誤差可視為高噪聲、非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)，包含了線性和非線性的特性，單一預(yù)測模型難以完全描述SINS 誤差時間序列的數(shù)據(jù)特征。因此本文首先通過Hodrick-Prescott（HP）濾波[13,14]將SINS 誤差時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，提取出趨勢成分和波動成分；隨即采用多元線性回歸（MLR）和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）對趨勢性序列和波動性序列分別建立預(yù)測模型，弱化數(shù)據(jù)序列變化趨勢之間的相互影響，提升預(yù)測精度。

2.1 HP 濾波分解

本文針對POS 系統(tǒng)狀態(tài)向量X(t)中的位置誤差和速度誤差共計(jì)6 個SINS 誤差分量開展研究分析，設(shè)其中某一分量估計(jì)值的時間序列為E=［E1,E2,…,En］，具體形式如下：

HP 濾波將趨勢性成分序列ET從原始數(shù)據(jù)序列E中分離出來，遵循下面損失函數(shù)最小化的原則：

式(5)中，第一部分反映了波動性成分的變化程度，第二部分衡量了趨勢性成分的平滑度；λ為平滑參數(shù)，起到權(quán)衡調(diào)節(jié)趨勢性成分的平滑程度和對原始數(shù)據(jù)擬合程度的作用，其數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

對式(5)求ET各分量的偏導(dǎo)數(shù)取零，得：

寫成矩陣表達(dá)式為：

式中：P為式(7)中n×n維系數(shù)矩陣。

將式(8)帶入式(4)，得：

式中：I 為n×n維單位陣。

通過式(8)(9)即可將趨勢性成分序列ET和波動性成分序列EF從原始數(shù)據(jù)序列E中分離出來。

2.2 基于多元線性回歸（MLR）的趨勢性成分序列ET 預(yù)測建模

趨勢性成分序列ET具有數(shù)據(jù)平滑、線性特征明顯的特點(diǎn)，對其采用MLR 進(jìn)行預(yù)測建模具有無需參數(shù)迭代訓(xùn)練、運(yùn)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。MLR 預(yù)測建模的矩陣表達(dá)式如下：

式中：xi1,xi2…xim為MLR 的解釋變量，在本文中m的值取7，即把失鎖時長、加速度計(jì)三個軸向的輸出和陀螺儀三個軸向的輸出作為趨勢性成分序列TE的MLR 預(yù)測模型解釋變量；β=［β0,β1…βm］T為回歸系數(shù)向量，ε=[ε0,ε1…εn]T為各分量服從同一正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲向量。

利用最小二乘法求取回歸系數(shù)向量的估計(jì)值，具體計(jì)算公式如下：

將求得的回歸系數(shù)代入式(10)，即完成對趨勢性成分序列ET的MLR 預(yù)測建模。

2.3 基于徑向函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）的波動性成分序列EF 預(yù)測建模

波動性成分序列EF具有波動變化明顯、非線性強(qiáng)的特點(diǎn)，對其采用RBFNN 進(jìn)行預(yù)測建模，具有能夠描述過程高度非線性、訓(xùn)練學(xué)習(xí)速度較快、避免陷入局部最小等優(yōu)點(diǎn)。RBFNN 結(jié)構(gòu)如圖1所示，是由輸入層、隱層和輸出層構(gòu)成的三層前向網(wǎng)絡(luò)。

圖1 RBFNN 結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 RBFNN structure diagram

隱層采用徑向基函數(shù)作為激勵函數(shù)，在輸入空間和隱藏空間之間建立一個非線性的變換關(guān)系，本文選擇高斯基函數(shù)作為RBFNN 的激勵函數(shù)，具體形式如下：

式中：S=[S1,S2…Sp]為輸入向量，在本文中p的值取6，即把加速度計(jì)三個軸向的輸出和陀螺儀三個軸向的輸出作為RBFNN 預(yù)測模型輸入向量；μk和dk為高斯基函數(shù)Rk(S,μk)的感知區(qū)域中心和寬度；表示輸入矢量S和感知區(qū)域中心μk之間的歐幾里得距離。

輸出層的輸入為各隱層神經(jīng)元輸出的加權(quán)求和，在隱藏空間與輸出空間之間建立了一個線性變換關(guān)系，具體數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

式中：Oj為輸出向量O（O=[O1,O2…Oq]）的分量，在本文中q的值取6，即SINS 位置誤差和速度誤差6個分量；Wij為輸出層的權(quán)重系數(shù)。

由于正交最小二乘法（OLS）具有算法簡單、易于實(shí)現(xiàn)和運(yùn)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，本文采用 OLS 對式(12)(13)中μk、dk和Wij參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練學(xué)習(xí)，即完成對波動性成分序列EF的RBFNN 預(yù)測建模。

3 車載實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的MLR/RBFNN混合預(yù)測方法在POS 實(shí)際應(yīng)用中的有效性，在北京市北五環(huán)路段進(jìn)行了車載實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)采用的硬件系統(tǒng)為光纖陀螺POS，其由光纖陀螺IMU、Novatel DL-V3 GNSS 接收機(jī)和POS 計(jì)算機(jī)組成，IMU 與載車底板剛性固聯(lián)，如圖2所示。光纖POS 的器件性能指標(biāo)見表1。

圖2 實(shí)驗(yàn)硬件設(shè)備配置Fig.2 Hardware device configuration of experiment

表1 光纖陀螺POS 器件性能參數(shù)Tab.1 Devices performance parameters of FOG POS

POS 系統(tǒng)電氣連接完成后，將IMU 通電預(yù)熱30分鐘，然后開啟POS 計(jì)算機(jī)進(jìn)行靜基座初始對準(zhǔn)10分鐘，隨即進(jìn)入POS 導(dǎo)航工作狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)載車沿北五環(huán)路行駛1 小時30 分鐘，運(yùn)動軌跡如圖3所示。在事后數(shù)據(jù)處理中，人為引入三段時長分別為50 s、100 s、150 s 的GNSS 失鎖（圖3中藍(lán)色虛線示意），目的在于驗(yàn)證本文提出的MLR/RBFNN 混合預(yù)測方法在GNSS 失鎖條件下的有效性。

圖3 車載實(shí)驗(yàn)運(yùn)行軌跡Fig.3 Trajectory of vehicle experiment

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理分析中，首先，采用Kalman 濾波器將POS 的SINS 數(shù)據(jù)和完整的GNSS 數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理，將解算出的POS 導(dǎo)航結(jié)果作為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)。對于車載實(shí)驗(yàn)中50 s、100 s、150 s 三段不同時長GNSS失鎖情況，本文選取四種不同的處理方法用于POS 導(dǎo)航解算：（1）標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波方法（GNSS 失鎖期間為純慣性導(dǎo)航輸出）；（2）MLR 預(yù)測方法；（3）RBFNN預(yù)測方法；（4）本文提出的MLR/RBFNN 混合預(yù)測方法，并將這四種方法的POS 導(dǎo)航解算結(jié)果與基準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差精度分析。

圖4-6 為POS 在不同時長的GNSS 失鎖期間基于上述四種處理方法的位置誤差和速度誤差曲線，可以看出基于標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波方法的POS 導(dǎo)航誤差與GNSS 失鎖時長成正比例關(guān)系，這是因?yàn)镚NSS 失鎖期間Kalman 濾波器無量測信息更新，SINS 誤差得不到有效修正并隨時間累積增長，從而嚴(yán)重影響了POS的導(dǎo)航精度。其余三種處理方法對SINS 誤差進(jìn)行了建模預(yù)測，均在不同程度上抑制了POS 導(dǎo)航誤差的發(fā)散。其中，由于MLR 是線性回歸預(yù)測方法，對于同時包含線性和非線性數(shù)據(jù)特征的SINS 誤差預(yù)測處理具有一定局限性，而使其預(yù)測精度相對較低，對POS導(dǎo)航精度提升有限；RBFNN 方法具有非線性映射能力及學(xué)習(xí)推理能力，能較好地處理SINS 誤差非線性預(yù)測問題，其對POS 導(dǎo)航誤差發(fā)散的抑制效果要優(yōu)于MLR 方法，但是RBFNN 模型中需要估計(jì)的參數(shù)較多，容易導(dǎo)致過學(xué)習(xí)和泛化差的問題，而使其預(yù)測精度不高；本文提出MLR/RBFNN 混合預(yù)測方法融合了各單一模型的優(yōu)點(diǎn)，較大地改善了預(yù)測模型的性能，從而使得POS 導(dǎo)航精度得到很大提升。

圖4 50 秒GNSS 失鎖期間POS 位置誤差和速度誤差曲線Fig.4 Position and velocity error curves of POS during 50 s GNSS outages

圖5 100 秒GNSS 失鎖期間POS 位置誤差和速度誤差曲線Fig.5 Position and velocity error curves of POS during 100 s GNSS outages

圖6 150 秒GNSS 失鎖期間POS 位置誤差和速度誤差曲線Fig.6 Position and velocity error curves of POS during 150 s GNSS outages

表2為不同時長的GNSS 失鎖情況下POS 基于上述四種方法的導(dǎo)航結(jié)果均方根誤差統(tǒng)計(jì)。在時長為50 s、100 s、150 s 的三段GNSS 失鎖期間，POS 采用本文提出的MLR/RBFNN混合預(yù)測模型的位置均方根誤差分別達(dá)到0.85 m、1.08 m、1.28 m，合速度均方根誤差分別達(dá)到0.036 m/s、0.0038 m/s 和0.0047 m/s，與標(biāo)準(zhǔn) Kalman 濾波方法相比位置誤差精度提高72.9%～89.1%，速度誤差精度提高50.1%～60.8%，其位置和速度誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果均優(yōu)于單一的MLR 預(yù)測模型和RBFNN 預(yù)測模型。

表2 GNSS 失鎖期間POS 的位置和速度均方根誤差值Tab.2 Root mean square error of POS position and velocity during GNSS outages

4 結(jié) 論

為了提高GNSS 失鎖期間POS 的導(dǎo)航性能，本文提出一種基于MLR/RBFNN 的混合預(yù)測方法，利用HP 濾波將POS 導(dǎo)航誤差樣本數(shù)據(jù)分解成趨勢性成分序列與波動性成分序列，并對這二者采用MLR 和RBFNN 方法分別進(jìn)行預(yù)測建模，更好地表征POS 導(dǎo)航誤差序列的線性與非線性數(shù)據(jù)特征，提升了模型的預(yù)測性能。車載實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在GNSS 失鎖期間采用本文提出的MLR/RBFNN混合預(yù)測模型的導(dǎo)航誤差精度比單一預(yù)測模型有較大提升。需要指出的是，本方法的預(yù)測精度和有效性取決于混合預(yù)測模型的訓(xùn)練效果，由于車載實(shí)驗(yàn)的動態(tài)性較低，模型訓(xùn)練及預(yù)測效果較好。受實(shí)驗(yàn)條件所限，在高動態(tài)的飛行環(huán)境下，有效的訓(xùn)練數(shù)據(jù)難以獲取，相關(guān)預(yù)測模型有效性未得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。預(yù)計(jì)高動態(tài)環(huán)境下，將導(dǎo)致預(yù)測模型精度降低，故本方法在POS 高動態(tài)運(yùn)動下將具有一定的應(yīng)用局限性。后續(xù)將針對高動態(tài)環(huán)境開展深入研究與驗(yàn)證。