混凝土圓環(huán)形截面非均勻配筋計算的解析法

李彬　周東華

摘 要：環(huán)形截面是工程結(jié)構(gòu)中常見的截面形式，但混凝土環(huán)形截面配筋計算存在雙重非線性（材料和截面寬度變化的非線性）?！痘炷两Y(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中僅給出計算均勻配筋的超越方程組，需編程和迭代求解，不能手算，極為不便。另外，一些環(huán)形截面構(gòu)件（如高橋墩、預(yù)制管樁等）長度長、截面尺寸大、鋼筋用量大，若采用均勻配筋，中性軸附近鋼筋應(yīng)力小，經(jīng)濟(jì)性不好。若采用非對稱配筋，將受力鋼筋布置在遠(yuǎn)離中性軸的外圍區(qū)域，可充分利用混凝土和鋼筋強(qiáng)度，提高經(jīng)濟(jì)效益。為此，根據(jù)混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系確定應(yīng)變變化的范圍和邊界，從應(yīng)變出發(fā)，利用解析方法由應(yīng)變求解應(yīng)力，進(jìn)而計算內(nèi)力，不需迭代，最終將計算結(jié)果繪制成便于手算配筋的諾謨圖，計算快速方便。該方法適用于C50及以下強(qiáng)度混凝土和任意直徑大小的環(huán)形截面。

關(guān)鍵詞：圓環(huán)形截面;鋼筋混凝土;解析法;應(yīng)變;諾謨圖

中圖分類號：TU375.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-6717（2022）04-0133-07

Analytical method for calculating non-uniform reinforcement of concrete ring section

LI Bin， ZHOU Donghua

（School of Civil Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， P. R. China）

Abstract： Ring section is a common form of section in engineering structure， but there exists double nonlinearity （nonlinearity of material and section width） in reinforcement calculation of concrete ring section.In the Code for Design of Concrete Structures， only the transcendental equations for the calculation of uniform reinforcement are given， which require programming and iterative solution and cannot be calculated manually， which is very inconvenient.In addition， some ring section members （such as high bridge piers， precast pipe piles， etc.） have long length， large section size and large amount of reinforcement. If uniform reinforcement is adopted， the reinforcement stress near the neutral axis is small and the economy is poor.If asymmetrical reinforcement is adopted， the stress reinforcement is arranged in the peripheral area far away from the neutral axis， which can make full use of the strength of concrete and reinforcement to improve economic benefits.Based on the constitutive relation between concrete and steel， this paper determines the range and boundary of strain variation and starts from strain.By analytical method， stress is solved by strain， and then internal force is calculated without iteration.Finally， the calculated results are drawn into a Nomo-diagram that is convenient for manual calculation of reinforcement， which is fast and convenient for calculation， and suitable for C50 or below strength concrete and annular sections with arbitrary diameters.

Keywords：circular ring section; reinforced concrete; analytical method; strain; Nomo-diagram

工程中的圓環(huán)形截面構(gòu)件有的有明確單一的彎曲方向，例如：邊坡抗滑樁為單向彎曲，高橋墩沿跨度方向?yàn)橹鲝澢?，通常，這類構(gòu)件截面尺寸大、長度長。采用均勻配筋的最大缺點(diǎn)是不能充分利用中性軸附近的鋼筋強(qiáng)度，而能充分發(fā)揮鋼筋強(qiáng)度且經(jīng)濟(jì)性好的配筋方式是非均勻配筋，即將受力鋼筋設(shè)置在離中性軸較遠(yuǎn)的外圍區(qū)域。

環(huán)形截面配筋的計算具有雙重非線性（材料非線性和截面寬度變化非線性），因此，計算較為困難。《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》（GB 50010—2010）[1]（以下簡稱《規(guī)范》）中雖然給出了相關(guān)的計算公式，但僅僅是針對均勻配筋，沒有非均勻配筋的計算方法或公式。另外，《規(guī)范》給出的公式是超越方程組，須迭代求解，無法手算。針對這一問題，筆者做了兩方面的工作，一是提供環(huán)形截面非均勻配筋的計算方法，二是解決雙重非線性不能手算的問題。無需迭代計算的思路是：由截面應(yīng)變計算應(yīng)力，進(jìn)而計算內(nèi)力[2-3]。要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的關(guān)鍵是確定截面應(yīng)變，根據(jù)《規(guī)范》給出的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系確定截面應(yīng)變的極限范圍，將其范圍分成了5個區(qū)域[4-8]，使每個區(qū)域均有一側(cè)含有極限應(yīng)變，便可將截面應(yīng)變變?yōu)橐阎俊?/p>

1 截面抗力

1.1 本構(gòu)關(guān)系

《規(guī)范》中給出了完整的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式

式中：εc和εs分別為混凝土和鋼筋的應(yīng)變（式中應(yīng)變值取千分位）。

1.2 截面應(yīng)變區(qū)域

采用的計算方法和思路是由截面應(yīng)變通過本構(gòu)關(guān)系確定應(yīng)力，再由應(yīng)力求內(nèi)力和判斷受力狀態(tài)（軸拉、小偏拉、大偏拉、純彎、小偏壓、大偏壓、軸壓）。如圖1所示，根據(jù)本構(gòu)關(guān)系構(gòu)造可能的截面應(yīng)變范圍[9-10]，并把可能的截面應(yīng)變范圍分成5個應(yīng)變區(qū)域，各受力狀態(tài)對應(yīng)的截面應(yīng)變能夠完全在圖1中表示出來，圖中：r為外圓半徑;r1為內(nèi)圓半徑;h0為截面有效高度;as為鋼筋合力至截面下邊緣的距離。截面上邊緣應(yīng)變范圍從10‰～-3.3‰;截面下邊緣應(yīng)變范圍從10‰～-2.0‰。

在截面應(yīng)變范圍劃分的5個區(qū)域中，每個區(qū)域至少有一側(cè)的應(yīng)變是極限應(yīng)變[11]并在這一區(qū)域內(nèi)保持不變（極限應(yīng)變是常量），以確保截面處于極限狀態(tài)，即區(qū)域①、②截面下側(cè)應(yīng)變?yōu)殇摻畹臉O限應(yīng)變εs=10‰;區(qū)域③、④截面上側(cè)應(yīng)變?yōu)榛炷潦軌簠^(qū)上邊緣的極限應(yīng)變εc=-3.3‰;由區(qū)域⑤中截面上下邊緣應(yīng)變的數(shù)值和幾何關(guān)系可得區(qū)域⑤的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)位置為距離截面下邊緣20d/33處εc=-2‰（軸壓時的極限應(yīng)變），這樣就可以使平衡方程中未知量的個數(shù)等于方程個數(shù)，方便求解截面內(nèi)力[12-14]。5個區(qū)域的截面應(yīng)變規(guī)律和受力情況如表1所示。

上述5個應(yīng)變分布區(qū)域可適用于各種截面形狀的鋼筋混凝土，推導(dǎo)圓環(huán)形截面的配筋計算都基于這些應(yīng)變區(qū)域[15]，這5個應(yīng)變區(qū)域的分布不僅能滿足《規(guī)范》中對混凝土和鋼筋極限應(yīng)變的規(guī)定，即圖1中區(qū)域，而且還能夠完善混凝土等效矩形應(yīng)力換算引起的區(qū)域②、⑤的應(yīng)變?nèi)笔А?/p>

1.3 截面參數(shù)

根據(jù)區(qū)域中混凝土和鋼筋應(yīng)變規(guī)律，可由圖2計算出混凝土受壓區(qū)高度，即

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系h0=t+z，其中：t為混凝土合力位置與混凝土受壓區(qū)邊緣間的距離;z為混凝土受壓區(qū)合力至鋼筋重心的距離，令kz=z/h0，即kz為內(nèi)力臂系數(shù);x為混凝土受壓區(qū)高度，令kx=x/h0，即kx為受壓區(qū)高度系數(shù)。

通過已知的受壓區(qū)高度，截面范圍內(nèi)任意高度u處的應(yīng)變均可求出

但圓形截面內(nèi)任意高度處的應(yīng)變還不能通過u求出來，需要引入一個參數(shù)弦高fi=r（1-cos φ），弦高最小時在圓的頂部，弦高最大時在圓的底部，可得圓內(nèi)任意高度u的表達(dá)式u=x-fi=x-r（1-cos φ），其中x和fi為兩個相互獨(dú)立的變量，當(dāng)截面應(yīng)變已知，也就是x固定時，弦高就只隨著圓心角的變化而變化，這樣就可以找出任意纖維處的應(yīng)變與圓心角的函數(shù)關(guān)系，即

根據(jù)材料的本構(gòu)關(guān)系，當(dāng)混凝土應(yīng)變εc≥-2‰時，對應(yīng)的應(yīng)力分布為拋物線;當(dāng)混凝土應(yīng)變-3.3‰≤εc<-2‰時，對應(yīng)的應(yīng)力分布為矩形+拋物線。

1.3.1 拋物線階段（εc≥-2‰）

混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變εc≥-2‰的應(yīng)力分布如圖3所示。

以上計算的軸力和彎矩（按混凝土受壓區(qū)每一層纖維對中性軸的距離計算的彎矩）都與截面尺寸和混凝土強(qiáng)度相關(guān)，為了消除這種相關(guān)性，將軸力和彎矩分別除以πr2fc和πr3fc，其中，弦長與對應(yīng)圓心角的關(guān)系b（φ）=2rsin φ、積分上下限φ0=0、φ1=arccos（r-x）/r，這樣就能計算出拋物線階段的無量綱軸力和彎矩，見式（8）和式（9）。

混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變-3.3‰≤εc<-2‰的應(yīng)力分布如圖4所示。

同樣，將軸力和彎矩分別除以πr2fc和πr3fc，其中積分上下限φ0=0、φ1=arccos[（r-x+a）/r]、φ2=arccos[（r-x）/r]，計算出矩形+拋物線階段的無量綱軸力和彎矩，見式（12）和式（13）。

如圖5所示，圓形截面與圓環(huán)形截面的區(qū)別僅在于圓環(huán)形截面比圓形截面少了一部分混凝土弓形受壓區(qū)面積，圓形截面減去混凝土弓形受壓區(qū)的應(yīng)力，即可得到圓環(huán)形混凝土受壓區(qū)的內(nèi)力。

2 配筋計算的諾謨圖

無量綱化后的彎矩設(shè)計值為m，受壓區(qū)混凝土無量綱合力對受拉鋼筋合力點(diǎn)取矩得m=nz=nkzh0，可知，無量綱彎矩僅與無量綱軸力n、內(nèi)力臂系數(shù)kz和截面有效高度h0相關(guān)，其中無量軸力又與受壓區(qū)高度系數(shù)kx相關(guān)，截面有效高度僅與受拉鋼筋的配筋圓心角α相關(guān)。

鋼筋在其配置區(qū)域內(nèi)離散均勻分布，為了便于解析計算，對鋼筋做連續(xù)分布處理，也就是把鋼筋面積均勻分布于配筋圓心角對應(yīng)的弧長上，即弧長l=As/（α·rs），其中：α為配筋圓心角;rs為每根鋼筋的重心所在圓弧的半徑，取rs=r-35 mm。配筋圓心角對應(yīng)弧長的重心與混凝土合力間的距離即為內(nèi)力臂長度。受拉區(qū)配筋圓心角越大，受拉鋼筋重心位置就越高。經(jīng)計算，配筋圓心角α=90°的截面有效高度h0=1.787r;α=120°的截面有效高度h0=1.717r;α=150°的截面有效高度h0=1.625r。繪制了內(nèi)圓和外圓兩種比例的環(huán)形截面配筋計算諾謨圖，即r1/r=0.5和r1/r=0.7，按照不同情況查找對應(yīng)的諾謨圖，該圖為無量綱圖表，適用于C50及以下混凝土強(qiáng)度及任意半徑的環(huán)形截面。

在圖6中繪出了內(nèi)力臂系數(shù)kz、受壓區(qū)高度系數(shù)kx、配筋圓心角α、混凝土應(yīng)變εc和鋼筋應(yīng)變εs與無量綱彎矩m的關(guān)系曲線。從諾謨圖中可以看出，隨著彎矩的增大，混凝土邊緣應(yīng)變εc的絕對值和混凝土受壓區(qū)高度系數(shù)kx也逐漸增大，而受拉鋼筋的應(yīng)變εs和內(nèi)力臂系數(shù)kz逐漸減小。同時，圖1中的5個應(yīng)變區(qū)域在圖6中也有對應(yīng)的位置，這樣，在《規(guī)范》中沒有包含的區(qū)域②和⑤也可以用圖6來計算配筋，避免了《規(guī)范》中應(yīng)變變化不連續(xù)的弊端，更符合混凝土圓環(huán)形截面的實(shí)際受力狀態(tài)。

該計算方法不僅限于純彎截面，還適用于截面有軸力的情況，具體方法是先將軸力平移到鋼筋合力的重心位置，如圖7所示，由式Ms=M+P（r-as）計算所需受拉鋼筋的面積，Ms為截面計算彎矩，M、P分別為截面彎矩和軸力的設(shè)計值。其中，軸力P受拉為正，受壓為負(fù)。

在單筋截面承載力不足時，可以在混凝土受壓區(qū)配置受壓鋼筋，形成雙筋截面，雙筋截面也能通過該方法計算所需的受壓和受拉鋼筋的面積，雙筋截面的彎曲承載力由兩部分組成，分別是單筋截面的最大承載力和受壓鋼筋與受拉鋼筋組合間組成的合力偶矩，兩部分疊加可得Ms=M*s+ΔMs，其中：Ms為雙筋截面的彎曲承載力;ΔMs為受壓鋼筋與受拉鋼筋組合成的力偶矩;M*s為單筋截面最大彎曲承載力。如圖6（a）中標(biāo)出受拉鋼筋級別為HRB400，對應(yīng)的屈服應(yīng)變εy=1.8‰，配筋圓心角α=150°的單筋截面的最大承載無量綱彎矩m*s=1.11。實(shí)際計算中，根據(jù)所選用鋼筋級別對應(yīng)的屈服應(yīng)變和配筋圓心角，即可在圖6上查得單筋截面的最大承載力。

由平衡關(guān)系即可得出配筋計算公式

考慮到偶然荷載的不確定性，為使荷載作用端與構(gòu)件的抵抗端相匹配，根據(jù)構(gòu)件工況和偶然荷載可能的作用方向，可繼續(xù)使用文中的諾謨圖進(jìn)行偶然荷載作用下的配筋計算。

3 算例

3.1 算例1

某圓環(huán)形截面混凝土構(gòu)件外圓半徑r=60 cm，內(nèi)圓半徑r1=30 cm，彎矩設(shè)計值2 400 kN·m，軸力設(shè)計值P=-700 kN（壓力），采用混凝土等級C30，鋼筋HRB400級，根據(jù)要求計算截面所需鋼筋面積。

1）規(guī)范解法

根據(jù)《規(guī)范》附錄E中的超越方程組E.0.3-1和E.0.3-2，通過雅克比迭代法求解，最后計算得到受壓區(qū)混凝土面積與全環(huán)截面比值為0.177 3;全部縱向普通鋼筋截面面積As=14 224 mm2。

2）本文解法

設(shè)配筋圓心角α=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面內(nèi)外半徑比r1/r=0.5，fc=14.3 N/mm2，fy=360 N/mm2。

按該方法計算所需（單側(cè)）受力鋼筋與規(guī)范結(jié)果之比為5 077/14 224=0.357。

3.2 算例2

某圓環(huán)形截面混凝土構(gòu)件，外圓半徑r=50 cm，內(nèi)圓半徑r1=35 cm，構(gòu)件截面荷載如圖8所示，彎矩設(shè)計值M1=1 000 kN·m，考慮偶然荷載作用的彎矩設(shè)計值M2=-900 kN·m，采用混凝土等級C35，鋼筋HRB400級，根據(jù)要求計算截面配筋。

1）規(guī)范解法

根據(jù)《規(guī)范》附錄E中的超越方程組E.0.3-1和E.0.3-2，通過雅克比迭代法求解，最后計算得受壓區(qū)混凝土面積與全環(huán)截面比值為0.157 7;全部縱向普通鋼筋截面面積As=7 117 mm2。

2）本文解法

根據(jù)M1對截面下側(cè)進(jìn)行配筋計算，設(shè)配筋圓心角α1=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面內(nèi)外半徑比r1/r=0.7，fc=16.7 N/mm2，fy=360 N/mm2。

按該方法計算所需（雙側(cè)）受力鋼筋與規(guī)范結(jié)果之比為6 682/7 117=0.94。

4 結(jié)論

1）通過混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，繪制了環(huán)形截面非對稱配筋計算的諾謨圖，與中國現(xiàn)行《規(guī)范》中只給出圓環(huán)形截面的均勻配筋計算方法相比，該方法不用解超越方程組，計算簡便，截面非受拉區(qū)可按構(gòu)造要求配筋，適各種截面半徑（r）的環(huán)形截面。

2）在工程實(shí)際中，如深基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)使用的懸臂灌注樁（主要承受一個方向的水平力），或者高大的橋墩（截面上既有軸力，又有彎矩），這種荷載方向明確的環(huán)形截面構(gòu)件，若采用非對稱配筋，可充分利用材料強(qiáng)度，提高經(jīng)濟(jì)效益。

3）對于需要考慮偶然荷載作用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，可根據(jù)偶然的作用大小再次使用該諾謨圖，給偶然荷載作用的方向配筋，以保證荷載作用與結(jié)構(gòu)抗力相匹配。

參考文獻(xiàn)：

[1] 混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范： GB 50010—2010[S]. 北京： 中國建筑工業(yè)出版社， 2011.

Code for design of concrete structures： GB 50010—2010 [S]. Beijing： China Architecture & Building Press， 2011. （in Chinese）

[2] Design of concrete structures： EN1992 Eurocode2 [S]. Berlin： Beuth Verlag GmbH，2004.

[3] Building code requirements for structural concrete and commentary： ACI 318-14 [S]. Farmington Hills： American Concrete Institute， 2014.

[4] 周東華， 王瓊芬， 樊江， 等. 一新的混凝土配筋計算方法： 無量綱圖表法[J]. 工程力學(xué)， 2010， 27（1）： 165-172.

ZHOU D H， WANG Q F， FAN J， et al. A new method for the calculation of reinforcement of concrete：General dimensionless designing diagram [J]. Engineering Mechanics， 2010， 27（1）： 165-172. （in Chinese）

[5] 周東華， 程赫明， 王海瑩， 等. 新的kh0-法計算單筋梁[J]. 工程力學(xué)， 2007， 24（12）： 106-112.

ZHOU D H， CHENG H M， WANG H Y， et al. A new kh0-method for calculation of singly reinforced concrete beam [J]. Engineering Mechanics， 2007， 24（12）： 106-112. （in Chinese）

[6] 雙超， 周東華， 李露， 等. 鋼筋混凝土雙向偏壓構(gòu)件正截面承載力的圖算法[J]. 土木工程學(xué)報， 2020， 53（9）： 77-84.

SHUANG C， ZHOU D H， LI L， et al. Graph algorithm on normal section bearing capacity of RC members subjected to axial loads and biaxial bending [J]. China Civil Engineering Journal， 2020， 53（9）： 77-84. （in Chinese）

[7] CHAU-KHUN M， AWANG A Z， OMAR W， et al. Elastic design of slender high-strength RC circular columns confined with external tensioned steel straps [J]. Advances in Structural Engineering， 2015， 18（9）： 1487-1499.

[8] 周東華， 程赫明， 羅志堅， 等. 新的kh0-法計算雙筋梁[J]. 工程力學(xué)， 2008， 25（2）： 188-192.

ZHOU D H， CHENG H M， LUO Z J， et al. A new kh0-method for calculation of doubly reinforced concrete beam [J]. Engineering Mechanics， 2008， 25（2）： 188-192. （in Chinese）

[9] CHEN X， ZHOU D， WANG P， et al. New procedure for determining the moment-curvature relationship of a reinforced concrete section [J]. Magazine of Concrete Research， 2015， 67（3）： 121-132.

[10] 陳旭， 周東華. 鋼筋混凝土柱二階彈塑性計算方法研究[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2017.

CHEN X，ZHOU D H. Study on second order elastoplastic calculation method of reinforced concrete column [M]. Beijing： Science Press， 2017： 39-53. （in Chinese）

[11] 羅強(qiáng)軍. 中外混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計理論與方法的研究和探討[D]. 昆明： 昆明理工大學(xué)， 2006： 5-23.

LUO Q J. Comparative study on domestic and overseas design theories and methods of concrete structures [D]. Kunming： Kunming University of Science and Technology， 2006： 5-23. （in Chinese）

[12] Tragwerke aus beton， stahlbeton und spannbeton-teil 1： Bemessung und konstruktion： DIN 1045-1 [S]. Berlin： Deutsches Institut fur Normung， 2008.

[13] DI LAORA R， GALASSO C， MYLONAKIS G， et al. A simple method for N-M interaction diagrams of circular reinforced concrete cross sections [J]. Structural Concrete， 2020， 21（1）： 48-55.

[14] 過鎮(zhèn)海. 鋼筋混凝土原理[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2013.

[15] 雙超， 周東華， 陳旭， 等. 圓形截面柱二階承載力的簡便計算方法[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版）， 2020， 50（6）： 2178-2185.

SHUANG C， ZHOU D H， CHEN X， et al. Simplified calculation method for second-order bearing capacity of circular section columns [J]. Journal of Jilin University （Engineering and Technology Edition）， 2020， 50（6）： 2178-2185. （in Chinese）

（編輯 王秀玲）

收稿日期：2020-08-18

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51668027）

作者簡介：李彬（1995- ），男，主要從事混凝土結(jié)構(gòu)研究，E-mail：1171494710@qq.com。

周東華（通信作者），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：806029639@qq.com。

Received：2020-08-18

Foundation item：National Natural Science Foundation of China （No. 51668027）

Author brief：LI Bin （1995- ）， main research interest： reinforced concrete structure， E-mail： 1171494710@qq.com.

ZHOU Donghua （corresponding author）， professor， doctorial supervisor， E-mail： 806029639@qq.com.