雙向二維快速伺服刀架的前饋控制研究

武志士，李國(guó)平，鄧益民，趙琪嘯，徐少巖，楊依領(lǐng)(寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院, 浙江 寧波 315211)

0 引言

快速伺服刀架是指伺服控制的快速進(jìn)給刀架系統(tǒng)[1]，主要用于精密制造。配合快速伺服刀架，可使刀具產(chǎn)生快速而微小行程的高精度進(jìn)給運(yùn)動(dòng)(位置精度可達(dá)納米級(jí))。此外，快速伺服刀架還可實(shí)時(shí)跟蹤設(shè)計(jì)表面形狀，能在一次加工中獲得高精度表面輪廓及可用于復(fù)雜表面形狀的精密加工[2]?；谶@些優(yōu)點(diǎn)，快速伺服刀架技術(shù)已成為一種重要的微結(jié)構(gòu)表面加工方法?？斓端欧到y(tǒng)具有的快速性要求其驅(qū)動(dòng)器能產(chǎn)生高頻運(yùn)動(dòng)，壓電陶瓷致動(dòng)器可以滿足這一要求。因此，許多學(xué)者提出并實(shí)現(xiàn)了由壓電陶瓷致動(dòng)器驅(qū)動(dòng)快速伺服刀架系統(tǒng)。通過(guò)引入柔性鉸鏈作為位移放大機(jī)構(gòu)，快速刀架能實(shí)現(xiàn)大位移輸出[3]。引入放大機(jī)構(gòu)使刀架位移輸出有較大的增長(zhǎng)[4]，但同時(shí)導(dǎo)致了響應(yīng)頻率降低[5]。壓電陶瓷致動(dòng)器的另一個(gè)特點(diǎn)是正向運(yùn)動(dòng)的性能比反向運(yùn)動(dòng)的性能好，反向運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)使整體運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)。通過(guò)對(duì)向放置壓電陶瓷致動(dòng)器能有效地消除反向運(yùn)動(dòng)的負(fù)面影響，從而減少快速伺服刀架的響應(yīng)時(shí)間。當(dāng)一個(gè)制動(dòng)器前進(jìn)同時(shí)另一個(gè)制動(dòng)器后退，反向力夾持下比單個(gè)制動(dòng)器驅(qū)動(dòng)時(shí)響應(yīng)快。因此，雙向驅(qū)動(dòng)的快速伺服刀架比單向驅(qū)動(dòng)的快速伺服刀架頻率響應(yīng)快[6-7]。由于一些復(fù)雜輪廓的加工需較復(fù)雜的伺服運(yùn)動(dòng)，而單自由度快速伺服刀架無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因此，多自由度快速伺服刀架[8-9]已倍受關(guān)注。

壓電陶瓷制動(dòng)器存在遲滯特性，將降低快速伺服刀架的輸出定位精度。為了消除遲滯的影響，需要通過(guò)構(gòu)建遲滯模型建立前饋控制。已有研究中，建模方法主要有Preisach模型[10]、Prandtle- Ishlinskii模型[11]及Maxwell模型等[12- 14]，但由于數(shù)學(xué)理論發(fā)展的局限性，這些模型的準(zhǔn)確率已達(dá)極限。近年來(lái)引入了其他一些滯后模型(如Bouc-Wen模型[15-16]、LuGre模型[17]等)，并取得了較好的效果。與其他遲滯模型相比，Bouc-Wen模型具有計(jì)算簡(jiǎn)單，易得到逆模型，待求參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，但其存在參數(shù)冗余問題，導(dǎo)致經(jīng)典Bouc-Wen模型的參數(shù)難以識(shí)別，阻礙了其應(yīng)用。通過(guò)歸一化處理能保證Bouc-Wen只依賴于一組特定的參數(shù)。

本文搭建了基于雙向壓電驅(qū)動(dòng)的二自由度快速伺服刀架的實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)，獲得了具有遲滯特性的位移曲線。然后采用基因遺傳算法求解了Bouc- Wen模型的參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求逆運(yùn)算解得逆模型。最后依據(jù)逆模型構(gòu)建了前饋控制環(huán)節(jié)，對(duì)快速伺服刀架進(jìn)行了不同電壓信號(hào)下的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償及二自由度運(yùn)動(dòng)性能測(cè)試。

1 Bouc-Wen模型及其歸一化

1.1 經(jīng)典Bouc-Wen模型回顧

Preasch、PI、Bouc-Wen和Duhen模型等都對(duì)遲滯特性有準(zhǔn)確描述。經(jīng)典Bouc-Wen模型是由Bouc提出，被Wen進(jìn)一步修改以模擬振動(dòng)力學(xué)的滯后現(xiàn)象。Bouc-Wen模型具有能描述多種遲滯類別的能力和易計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，這使大多數(shù)研究人員致力于探索該新興模型的廣泛使用。該模型輸入和輸出間的關(guān)系為

y(V,t)=αkV(t)+(1-α)Dkh(t)

(1)

(2)

式中：y(V,t)為滯后輸出位移；V(t)為輸入到快刀伺服刀架的電壓；αkV是模型中彈性項(xiàng)和由參數(shù)α、k、D組成的純滯后項(xiàng)(1-α)Dkh;h(t)為遲滯效應(yīng)的輔助變量，它是非線性一階微分方程(2)關(guān)于參數(shù)A、β、γ、n(n≥1)的解。通過(guò)正確選取這些參數(shù)值，可獲得范圍廣泛的遲滯曲線。

1.2 歸一化處理

迄今為止，許多研究工作都聚焦在Bouc-Wen模型的不對(duì)稱性上，而經(jīng)典Bouc-Wen模型中存在的參數(shù)冗余問題同樣制約著模型的應(yīng)用。因此,有必要對(duì)Bouc-Wen模型進(jìn)行歸一化處理,以避免參數(shù)冗余問題。為了準(zhǔn)確描述普遍的參數(shù)冗余問題，現(xiàn)給出兩組不同參數(shù)：n1=n2=n,A1=A2,α1=α2,k1=k2,β2=cnβ1,γ2=cnγ1,D2=cD1,其中c為正常數(shù)，初始條件h1(0)=h2(0)=0。因此，式(1)、(2)中Bouc-Wen模型可改寫為以下兩種形式：

(3)

及：

(4)

根據(jù)給定參數(shù)，方程(4)可轉(zhuǎn)化為

(5)

令ha(t)=ch2(t)，則方程(5)可表示為

(6)

y(V,t)=kvV(t)+kh?(t)

(7)

(8)

圖1為歸一化Bouc-Wen模型在一組特定參數(shù)下得到的遲滯曲線。

圖1 模型生成遲滯曲線

1.3 模型求逆

除了避免參數(shù)冗余問題外，歸一化后Bouc-Wen還具有逆模型易取的特點(diǎn)。根據(jù)式(7)、(8)可以求得歸一化后Bouc-Wen模型輸入、輸出間的關(guān)系為

(9)

式中：yd(t)為預(yù)期位移；Vb為對(duì)輸出電壓施加的偏置電壓，從而避免信號(hào)電壓中出現(xiàn)負(fù)值；h(t)是由非線性微分方程求解得到，代表逆模型中的遲滯環(huán)節(jié)。kv、kh是模型中待求取的參數(shù)，由遺傳算法得到。因此，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算可得補(bǔ)償后的輸入電壓。

2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)搭建

為了對(duì)快速伺服刀架進(jìn)行任意信號(hào)的輸入控制及輸出測(cè)量，搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。其中4個(gè)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器(直徑?7 mm，長(zhǎng)28 mm，自由行程30 μm)用于產(chǎn)生高精度輸入位移。使用兩個(gè)光學(xué)位移傳感器(Keyence，LK-G80，分辨率為0.15 μm)測(cè)量末端執(zhí)行器的響應(yīng)。電壓放大器的電壓調(diào)節(jié)范圍為0～150 V。使用的A/D模塊型號(hào)為NI-PCI-6221。整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)基于Labview軟件實(shí)現(xiàn)。

3 參數(shù)識(shí)別

歸一化Bouc-Wen模型中僅含有kv、kh、ρ、σ和n5個(gè)未知參數(shù)，因而求解工作減少。最小均方根算法、粒子群優(yōu)化算法和差分進(jìn)化算法等智能算法常被用以求取Bouc-Wen模型參數(shù)。本文使用了在穩(wěn)定性和收斂速度上均優(yōu)于傳統(tǒng)遺傳算法的自適應(yīng)遺傳算法，其流程圖如圖2所示。

圖2 參數(shù)求解流程圖

本文選擇均方根誤差來(lái)評(píng)判模型與真實(shí)值之間的偏差：

(10)

驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中所使用的輸入為正弦波電壓信號(hào)及由實(shí)驗(yàn)所測(cè)得快速伺服刀架的位移。雖然在自適應(yīng)遺傳算法中設(shè)置更多的種群數(shù)和遺傳代數(shù)會(huì)提高擬合精度，但增加了時(shí)間。因此,本文選擇初始種群為50，遺傳代數(shù)為100,求解后結(jié)果如表1所示。

表1 Bouc-Wen模型參數(shù)表

由表1可看出，正弦波最佳適應(yīng)度為0.28 μm，這說(shuō)明歸一化Bouc-Wen模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)擬合度較高。

將求得參數(shù)代入歸一化后Bouc-Wen模型中，可獲得預(yù)測(cè)的位移曲線如圖3所示。圖中，實(shí)驗(yàn)曲線是通過(guò)施加一個(gè)正弦波電壓信號(hào)(振幅75 V，頻率1 Hz)到快速伺服刀架測(cè)得。

圖3 模型預(yù)測(cè)曲線(正弦波)圖

由圖3可看出，模型值與實(shí)驗(yàn)值產(chǎn)生的誤差主要位于峰頂處。由圖3中誤差曲線可知，在初始加載過(guò)程中實(shí)驗(yàn)與模型出現(xiàn)最大誤差，每個(gè)峰值的偏差比其他時(shí)間大。這是因?yàn)闅w一化Bouc-Wen模型存在非線性微分方程，其求解結(jié)果為近似值，具有一定偏差，且在每個(gè)峰頂處，電壓信號(hào)的變化率最大。這些因素一起作用導(dǎo)致了歸一化Bouc-Wen預(yù)測(cè)曲線在每個(gè)峰頂偏差較大。初始部分出現(xiàn)最大偏差的原因是實(shí)驗(yàn)獲取的位移曲線在開始階段表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性，這使模型無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

4 補(bǔ)償與驗(yàn)證

圖4為對(duì)快速伺服刀架進(jìn)行遲滯補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)構(gòu)圖。圖中，yd(t) 為期望得到的位移，u(t) 為Bouc-Wen逆模型產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)電壓，y(t) 為得到的驅(qū)動(dòng)電壓u(t)施加到快速伺服刀架后得到的實(shí)際位移，F(xiàn)TS為快速伺服刀架。以期望位移作為輸入，輸出為補(bǔ)償電壓，將得到的具有補(bǔ)償效果的電壓信號(hào)施加到快速伺服刀架，可得補(bǔ)償后的實(shí)驗(yàn)位移。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可知，前饋控制下快速伺服刀架能準(zhǔn)確地得到期望軌跡。

圖4 前饋遲滯補(bǔ)償流程圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性，采用幅值45 μm、頻率1 Hz的等幅正弦波期望位移信號(hào)進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。式(9)得到了補(bǔ)償電壓在每一時(shí)刻的數(shù)值。因?yàn)橛衅秒妷篤b的存在，所以理想電壓與補(bǔ)償電壓的起點(diǎn)都不為0，如圖5所示。由圖可看出，在上升階段，補(bǔ)償電壓大于理想電壓；下降階段，補(bǔ)償電壓小于理想電壓。這種反差可補(bǔ)償快刀伺服刀架中存在的遲滯特性。

圖5 電壓對(duì)比圖

通過(guò)激光位移傳感器測(cè)得消除遲滯后的位移，其與理想位移的對(duì)比如圖6所示。由圖可看出，前饋控制下快速伺服刀架的末端位移輸出與期望位移吻合,最大軌跡跟蹤誤差發(fā)生在初始時(shí)刻。計(jì)算得到期望與實(shí)驗(yàn)的線性度為4.5%。由此可推斷，基于Bouc-Wen模型的前饋控制能有效地消除快速伺服刀架的遲滯效應(yīng)，從而提高快速伺服刀架的運(yùn)動(dòng)定位精度。

圖6 實(shí)驗(yàn)位移曲線(正弦波)圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證前饋補(bǔ)償法，執(zhí)行了快速伺服刀架在變幅正弦波位移軌跡下的運(yùn)動(dòng)性能測(cè)試實(shí)驗(yàn)。測(cè)得實(shí)驗(yàn)曲線與期望位移如圖7所示。由圖可看出，遲滯補(bǔ)償下實(shí)驗(yàn)位移消除了遲滯特性的影響，與理想位移基本吻合。再次證明了基于Bouc-Wen模型遲滯建模的前饋補(bǔ)償對(duì)快速伺服刀架中存在的遲滯特性消除的有效性

圖7 實(shí)驗(yàn)位移曲線(變幅正弦波)圖

表2為基于歸一化Bouc-Wen模型的前饋補(bǔ)償控制在不同期望跟蹤位移下對(duì)快速伺服刀架定位精度的改善效果。由表可知，本文使用的基于歸一化Bouc-Wen遲滯模型的補(bǔ)償法能在很大程度上削弱由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器所引起的遲滯誤差，有效地提高了快速伺服刀架的驅(qū)動(dòng)定位精度。為進(jìn)一步提高快速伺服刀架的軌跡跟蹤精度及模型的穩(wěn)定性，有必要引入反饋控制。

表2 不同驅(qū)動(dòng)信號(hào)的誤差比較

5 二維性能測(cè)試

一些復(fù)雜曲面的加工要求快速伺服刀架能實(shí)現(xiàn)多維運(yùn)動(dòng)，因此，本文對(duì)提出的快速伺服刀架進(jìn)行了兩自由度運(yùn)動(dòng)性能測(cè)試。為了實(shí)現(xiàn)兩自由度運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)壓電陶瓷制動(dòng)器分別安裝在x、y方向上。對(duì)每個(gè)方向上預(yù)緊的壓電陶瓷致動(dòng)器施加特定電壓信號(hào)，最終快速伺服刀架的末端位移輸出曲線即是所選定的二維曲線。為了體現(xiàn)提出的快速伺服刀架二自由度運(yùn)動(dòng)性能，以圓軌跡為參考，選擇余弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)x方向的壓電陶瓷致動(dòng)器A，正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)y方向的壓電陶瓷致動(dòng)器B。兩路激光位移傳感器同時(shí)測(cè)得兩個(gè)方向的快速伺服刀架末端的位移輸出，將測(cè)得位移作圖可獲得快速伺服刀架輸出的圓形軌跡。然而，由于壓電陶瓷致動(dòng)器中存在的遲滯特性，導(dǎo)致了測(cè)得的軌跡更偏向于橢圓。因此，為獲取更精確的軌跡跟蹤，有必要在二自由度運(yùn)動(dòng)中引入前饋控制。將期望位移分解成兩個(gè)方向上的單向期望位移，并將其輸入Bouc-Wen逆模型中，求得兩個(gè)方向上的補(bǔ)償電壓。將求得的補(bǔ)償電壓作為輸入，可獲得了遲滯補(bǔ)償后的位移曲線。圖8為補(bǔ)償前、后快速伺服刀架輸出的二維曲線對(duì)比圖。

圖8 二自由度運(yùn)動(dòng)曲線圖

由圖8可看出，補(bǔ)償后二維軌跡曲線更接近于圓。而補(bǔ)償前曲線由于受遲滯特性的影響，在實(shí)驗(yàn)位移x=0,y=45 μm或x=45 μm,y=0部分與參考軌跡偏差較大。補(bǔ)償前、后曲線在峰頂處偏差較大，一方面因受模型制約，另一方面因兩個(gè)方向的預(yù)緊力不同。以實(shí)驗(yàn)與參考曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)的歐式距離作為兩者之間適應(yīng)度d的表征值，能對(duì)快速伺服刀架的二自由度運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行定量分析。適應(yīng)度d為

(11)

式中：xi,yi分別為由激光位移傳感器測(cè)得的x、y方向上的實(shí)驗(yàn)位移；xri,yri為對(duì)應(yīng)的參考曲線上點(diǎn)的位移。

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(11)可得到補(bǔ)償曲線的最大擬合誤差為4.486%，遠(yuǎn)小于未補(bǔ)償曲線的最大擬合誤差(14.683%)。表明提出的二自由度快速伺服刀架在前饋控制的補(bǔ)償下具有較好的運(yùn)動(dòng)性能及優(yōu)良的軌跡跟蹤能力。而引起誤差的原因，除控制模型本身存在的因素，兩個(gè)方向上存在的制造誤差也使輸出位移與期望位移不同。

6 結(jié)束語(yǔ)

由壓電陶瓷制動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的快速伺服刀架具有頻率高及輸出力大等優(yōu)點(diǎn)。但壓電材料中存在的遲滯特性嚴(yán)重影響了其輸出位移定位精度。簡(jiǎn)化后的Bouc-Wen模型具有參數(shù)少及易取逆的優(yōu)點(diǎn)，利用自適應(yīng)遺傳算法可求得模型中的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，歸一化后Bouc-Wen模型能很好地描述雙向壓電驅(qū)動(dòng)的具有二自由度運(yùn)動(dòng)的快速伺服刀架中的遲滯現(xiàn)象?；诤?jiǎn)化后Bouc-Wen模型搭建了前饋控制環(huán)節(jié)，并對(duì)快速伺服刀架進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)性能測(cè)試。結(jié)果表明，在前饋控制的補(bǔ)償作用下，快速伺服刀架定位精度得到提高。同時(shí)，也證明了該快速伺服刀架具有優(yōu)異的二自由度運(yùn)動(dòng)性能。