基于有限元分層級(jí)聯(lián)技術(shù)SAW濾波器精確計(jì)算

陳正林，趙雪梅，賀 藝，潘虹芝，白 濤，杜雪松，李樺林，肖 強(qiáng)，陳彥光，馬晉毅(1.模擬集成電路重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶400060；.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司 第二十六研究所, 重慶400060)

0 引言

聲表面波(SAW)器件因具有低插損、高矩形度、小體積和低成本等優(yōu)良特性而被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信和電子對(duì)抗等領(lǐng)域[1-3]。隨著系統(tǒng)的快速發(fā)展，對(duì)SAW器件的損耗、帶寬和頻率溫度系數(shù)等指標(biāo)提出了越來(lái)越高的要求。因此，迫切需要發(fā)展能快速精準(zhǔn)分析各種復(fù)雜邊界條件下SAW器件的理論模型，并實(shí)現(xiàn)工程化應(yīng)用和突破。

SAW器件精確理論計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。2004年南京大學(xué)水永安教授和王為標(biāo)[4]率先在國(guó)內(nèi)實(shí)現(xiàn)了有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)SAW器件有限元/邊界元法(FEM/BEM)精確計(jì)算方法，對(duì)于具有200根叉指電極的SAW諧振器每頻率點(diǎn)計(jì)算時(shí)間約需5 min，且隨著指條數(shù)的增加，計(jì)算時(shí)間也將增加，使得FEM/BEM難以滿足高效率工程化應(yīng)用[5]。K.Hashimoto等[6]提出了有限元/譜元法(FEM/SDA)方法，通過(guò)簡(jiǎn)化邊界元計(jì)算實(shí)現(xiàn)了多層復(fù)合薄膜結(jié)構(gòu)SAW器件的精確分析，然而對(duì)于近年來(lái)出現(xiàn)的多樣化、復(fù)雜化新型多層薄膜結(jié)構(gòu)SAW器件，F(xiàn)EM/SDA法無(wú)能為力[7]。與FEM/BEM和FEM/SDA法相比，F(xiàn)EM可分析具有任意多層薄膜結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)、邊界條件及材料類型的SAW器件，并實(shí)現(xiàn)聲學(xué)模式完整信息的獲取[8]。但是FEM模型必須有足夠細(xì)的網(wǎng)格和自由度，才能得到較精確的解。因此，F(xiàn)EM需要消耗大量的計(jì)算機(jī)資源[5]。

為了能夠利用FEM可靈活處理任意結(jié)構(gòu)、電極形貌及材料選型的優(yōu)勢(shì)，且兼顧計(jì)算效率和工程化應(yīng)用，2016年，Koskela等[9]創(chuàng)新性地給出了二維有限元分層級(jí)聯(lián)技術(shù)(HCT)模型，盡管計(jì)算效率有較大改進(jìn)，但仍存在因各種理想假設(shè)導(dǎo)致的精度不足問(wèn)題。近年來(lái)，K. Hashimoto等[10]和Koskela等[11]在分層級(jí)聯(lián)技術(shù)基礎(chǔ)上結(jié)合圖形加速器(GPGPU)加速技術(shù)，對(duì)各類型的SAW器件進(jìn)行了計(jì)算，由于該模型未充分考慮SAW器件實(shí)際工藝因素，從而限制了該方法的工程化應(yīng)用。

本文基于分層級(jí)聯(lián)算法推導(dǎo)用于描述有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)SAW器件的有限元數(shù)學(xué)模型。該有限元數(shù)學(xué)模型充分考慮了壓電材料的傳播損耗、介電損耗、電極粘滯損耗及電阻損耗等因素，結(jié)合GPGPU加速技術(shù)，提高了有限長(zhǎng)SAW器件的計(jì)算速度，縮減了完整SAW器件的計(jì)算時(shí)間?；谌ǚ抡婕夹g(shù)，考慮了管座及鍵合線等封裝模型電磁效應(yīng)，對(duì)漏波型42°Y-XLiTaO3溫度補(bǔ)償型聲表面波(TC-SAW)器件進(jìn)行計(jì)算并研制了樣品，計(jì)算所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

1 分層級(jí)聯(lián)基礎(chǔ)理論

HCT是以FEM為基礎(chǔ)，結(jié)合有限元自由度降階技術(shù)，從而實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算。因此，分層級(jí)聯(lián)技術(shù)既保留了FEM可任意處理多層薄膜結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)、邊界條件及材料類型的優(yōu)勢(shì)，又克服了FEM自由度龐大的缺點(diǎn)。

1.1 分層級(jí)聯(lián)理論

圖1(a)為T(mén)C-SAW器件的分層級(jí)聯(lián)單元結(jié)構(gòu)示意圖。壓電材料上覆蓋一層SiO2作為溫度補(bǔ)償層，底部完美匹配層(PML)用于吸收反射波，級(jí)聯(lián)單元結(jié)合實(shí)際工藝情況，并考慮電極的傾斜形貌。圖1(b)為相應(yīng)的分層級(jí)聯(lián)單元有限元網(wǎng)格示意圖。其中，XL，XR分別為單指結(jié)構(gòu)有限元模型的左、右邊界自由度。

由于有限長(zhǎng)SAW器件結(jié)構(gòu)由具有周期性或非周期性的單指單元構(gòu)成，根據(jù)級(jí)聯(lián)單元左右邊界力學(xué)量和電學(xué)量的連續(xù)性原理，將2個(gè)或2個(gè)以上的單指單元聯(lián)成完整SAW結(jié)構(gòu)(見(jiàn)圖2)，每次級(jí)聯(lián)都是以2n的形式增加，級(jí)聯(lián)9次可完成512根指條的計(jì)算。

壓電體是各向異性的電介質(zhì)，在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，物質(zhì)結(jié)構(gòu)變化引起介質(zhì)電極化，稱為壓電效應(yīng)。壓電效應(yīng)反映了力學(xué)量和電學(xué)量間的相互耦合作用。除彈性應(yīng)變場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)外，同時(shí)還存在電場(chǎng)和電位移場(chǎng)，且其相互作用。本文仍將討論局限于線性范圍，可任意取1個(gè)力學(xué)量和1個(gè)電學(xué)量作為自變量。因此，本文將應(yīng)變和電場(chǎng)強(qiáng)度作為自變量，根據(jù)胡克定律和電學(xué)關(guān)系可得到應(yīng)力和電位移的本構(gòu)方程。應(yīng)力及電位移[3]以張量的形式可表示為

(1)

(2)

根據(jù)胡克定律，應(yīng)變S和位移u間的關(guān)系以張量的形式表示為

(3)

其中：

(4)

根據(jù)電學(xué)可知，電場(chǎng)強(qiáng)度E和電勢(shì)φ之間的關(guān)系為

(5)

根據(jù)牛頓第二定律和麥克斯韋方程，得到SAW器件的壓電平衡方程以張量形式表示為

(6)

(7)

式中ρ為電荷密度。采用FEM求解式(6)、(7)可得表征分層級(jí)聯(lián)單元(見(jiàn)圖2)的系統(tǒng)矩陣:

(8)

式中:K為剛度矩陣;M為質(zhì)量矩陣;XL，XI，XR分別為單指結(jié)構(gòu)有限元模型的左邊界、內(nèi)部、右邊界自由度(分別包括位移和電勢(shì)自由度)；RA，RI，RB為左邊界、內(nèi)部及右邊界外力；v為電極表面電勢(shì)自由度；q為電極表面電荷量;ω為角頻率。

在無(wú)外力作用時(shí)，則RA=0，RI=0，RB=0，對(duì)式(8)進(jìn)行整理可得：

(9)

其中，A=K-ω2M。

采用有限元降階技術(shù)和自由度壓縮法，將內(nèi)部自由度XI消除，XI為

(10)

對(duì)式(9)消除XI，可將系統(tǒng)矩陣由4×4矩陣降維為3×3矩陣，即：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行整理可得表征SAW結(jié)構(gòu)單指單元的B矩陣，即：

(12)

式(12)只包含XL、XR、v自由度，等價(jià)于分層級(jí)聯(lián)單元的系統(tǒng)矩陣方程(9)，但系統(tǒng)矩陣方程(12)所包含的自由度遠(yuǎn)小于系統(tǒng)矩陣方程(9)，減少了需要計(jì)算的自由度。式(12)結(jié)合圖1(b)中單指結(jié)構(gòu)左右邊界聲學(xué)量和電學(xué)量連續(xù)性條件，得到級(jí)聯(lián)單元A和級(jí)聯(lián)單元B的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)矩陣方程：

(13)

式中：X′L為級(jí)聯(lián)單元A的左邊界；X′I為級(jí)聯(lián)單元A、B的相鄰邊界；X′R為級(jí)聯(lián)單元B的右邊界自由度；V=[VA,VB]，Q=[qA,qB]分別為級(jí)聯(lián)單元A、B級(jí)聯(lián)后的電壓自由度。由式(13)可看出，分層級(jí)聯(lián)的本質(zhì)和P矩陣級(jí)聯(lián)相同，即將聲學(xué)參量串聯(lián)、電學(xué)端并聯(lián)。

通過(guò)式(13)重復(fù)采用式(9)～(12)進(jìn)行自由度消除和級(jí)聯(lián)，得到包含整個(gè)器件的電壓自由度和電荷量，并能表征完整有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的矩陣方程：

(14)

求解式(14)需考慮傳播方向上的左右二端PML吸收層，同時(shí)根據(jù)整個(gè)器件電荷量為0，求取有限長(zhǎng)SAW濾波器結(jié)構(gòu)的Vref。

1.2 全波仿真理論

從SAW器件單指結(jié)構(gòu)式(9)到能夠表征有限長(zhǎng)SAW器件的系統(tǒng)矩陣方程(14)，分層級(jí)聯(lián)算法采用有限元降階技術(shù)和GPGPU加速技術(shù)相結(jié)合，求解式(14)可得有限長(zhǎng)SAW器件的聲/電響應(yīng)特性。

對(duì)于更高頻率和更小尺寸的器件，封裝結(jié)構(gòu)對(duì)SAW器件的電學(xué)性能影響明顯。圖3為基于全波仿真分析準(zhǔn)確地模擬SAW器件特性的模型。設(shè)計(jì)過(guò)程中，考慮了整個(gè)封裝的電磁效應(yīng)，該模型包括SAW濾波器電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及在HFSS軟件中構(gòu)建的射頻濾波器封裝結(jié)構(gòu)。

圖3 全波仿真模型

根據(jù)圖3(a)的電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)研制了相應(yīng)的SAW濾波器，其中以42°Y-XLiTaO3作為襯底，Al電極厚為210 nm，SiO2厚為1 430 nm，濾波器中心頻率設(shè)計(jì)為804.14 MHz，相對(duì)帶寬為3.1%，頻率溫度系數(shù)為-8.5×10-6/℃。圖4為SAW濾波器的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)的插損曲線。由圖可知，仿真曲線與測(cè)量結(jié)果吻合良好，通帶內(nèi)的微小差異主要是由于有限元模型的聲傳播損耗設(shè)置所致。

圖4 42°Y-XLiTaO3 TC-SAW濾波器計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

2 結(jié)束語(yǔ)

基于有限元數(shù)學(xué)模型引入分層級(jí)聯(lián)算法，從數(shù)學(xué)論證和物理意義上嚴(yán)格推導(dǎo)了有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)SAW器件的有限元數(shù)學(xué)模型。該模型充分考慮壓電材料的傳播損耗、介電損耗、電極粘滯損耗、電阻損耗及基于實(shí)際工藝條件下的電極形貌，使SAW器件的有限元模型盡可能地接近實(shí)際，得到用于表征有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)SAW器件的系統(tǒng)矩陣。引入有限元降階技術(shù)和自由度壓縮法，實(shí)現(xiàn)了有限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)矩陣降維和降階。基于全波仿真分析，并結(jié)合有限元降階技術(shù)和GPGPU加速技術(shù)，對(duì)42°Y-XLiTaO3TC-SAW濾波器進(jìn)行了精準(zhǔn)快速計(jì)算，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。