廣義（3+1）維淺水波方程的Painlevé 可積與新的復(fù)合解

樊露露，套格圖桑

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

非線性發(fā)展方程（NLEEs）描述了流體力學(xué)、等離子體、光學(xué)、聲學(xué)、傳熱學(xué)、經(jīng)典力學(xué)等物理分支中復(fù)雜非線性現(xiàn)象的演化過程。淺水波方程是非線性方程中的一類重要方程，文獻(xiàn)［1］給出了（1+1）維廣義淺水波方程的變量分離解，文獻(xiàn)［2］給出了擴(kuò)展（2+1）維淺水波方程的精確相互作用解。近年來，對于廣義（3+1）維淺水波方程的研究成果較多。這里包括對廣義（3+1）維淺水波方程的一類精確解［3-4］，新周期孤立波解［5］，塊解［6］，相互作用解［7］，以及彈性孤子和湮沒孤子［8］，等。

目前為止，一個非線性系統(tǒng)是否可積還沒有一個完全確定和統(tǒng)一的定義，所研究的可積性是指不同意義下的可積性，所以在說一個非線性系統(tǒng)是可積的時候通常會指明它是在何種意義下的可積。例如：Painlevé 可積［9］、Lax 可積、Liouvile 可積、反散射可積［10］和對稱可積等。

自韋斯（J.Weiss）、泰伯（M.Tabor）、卡列（G.Carnevale）提出對偏微分方程的Painlevé 方法以來，該方法在討論偏微分方程的可積性及求解方程的精確解上已有了很大的進(jìn)展。以此研究了許多可積的偏微分方程，如（3+1）維Burgers 方程［11］、（3+1）維廣義KP 方程［12］等。

除了對于系統(tǒng)可積性的研究，在此基礎(chǔ)上還可以得到許多其他的重要結(jié)果，如B?cklund 變換、精確解等，如對Burgers 方程［13］的研究。

因此，本文首先利用Painlevé 分析法研究廣義（3+1）維淺水波方程的可積性；再根據(jù)截?cái)嗟腜ainlevé展開式研究廣義（3+1）維淺水波方程的B?cklund 變換；由B?cklund 變換，得到廣義（3+1）維淺水波方程的精確解；最后利用Hirota 雙線性方法，獲得廣義（3+1）維淺水波方程新的復(fù)合解。

1 廣義（3+1）維淺水波方程的Painlevé 可積與B?cklund 變換

1.1 廣義（3+1）維淺水波方程的Painlevé 可積

對于廣義（3+1）維淺水波方程

假設(shè)方程的解可寫成

這里uj(x，y，z，t)(j=0，1，2，…)是t的解析函數(shù)，u0≠0。

欲驗(yàn)證該方程的Painlevé 性質(zhì)，主要分為以下三個步驟：領(lǐng)頭項(xiàng)分析、確定共振點(diǎn)和驗(yàn)證共振條件。

（1）領(lǐng)頭項(xiàng)分析：由領(lǐng)頭項(xiàng)分析得

由（3）式得

（2）確定共振點(diǎn)：將（4）式代入（2）式，得

將（5）式及其各階偏導(dǎo)數(shù)代入（1）式，比較φ的各次冪的系數(shù)，有

將u0=2φx代入（6）式，自動滿足

將u0=2φx代入（7）式，化簡整理得方程（7）為恒等式。

同理可得φ-3，φ-2，φ-1的系數(shù)關(guān)系式，化簡整理得

由φj-5的系數(shù)關(guān)系式可得uj的遞推關(guān)系式為

右端只與低于uj的u1，u2，…，uj-1及φx，φy，φz，… 有關(guān)，由（11）式可知，共振點(diǎn)為j=1，4，6。

（3）驗(yàn)證共振條件：為了計(jì)算的簡便性，此處采用Krustal 簡化方法，設(shè)

根據(jù)φ的各次冪關(guān)系式得到u1任意，u4任意，

由于u5的表達(dá)式太長，這里不做過多的陳列。當(dāng)j=6 時，根據(jù)φ的系數(shù)關(guān)系式，可得一個關(guān)于φ(x，y，z，t)和u1(y，z，t)的方程

當(dāng)φ(x，y，z，t)和u1(y，z，t)滿足

方程（13）成立，在j=6 處的兼容性條件滿足。即廣義（3+1）維淺水波方程在約束條件（14）下是Painlevé可積的。

1.2 廣義（3+1）維淺水波方程的B?cklund 變換

在非線性系統(tǒng)中，B?cklund 變換的研究是一重要研究課題，它在孤子理論的發(fā)展中有著非常重要的貢獻(xiàn)。利用Painlevé 分析可以很方便地得到非線性系統(tǒng)的B?cklund 變換。

定理根據(jù)以上討論可知方程（1）是條件可積的，通過其截?cái)嗾归_式

得到線性方程

它將非線性的廣義（3+1）維淺水波方程變成（16）的線性方程，截?cái)郟ainlevé 展開給出了下述方程（1）和方程（16）的B?cklund 變換。

推論若φ是方程（16）的一個解，則由方程（15）給定的也是方程（1）的解。

2 廣義（3+1）維淺水波方程的精確解與復(fù)合解

2.1 廣義（3+1）維淺水波方程的精確解

通過一系列變量分離法可求得方程（16）的解為

其中，C1，C2，C3，C4，C5，C6，a，b為任意常數(shù)。由推論得方程（1）的解為

2.2 廣義（3+1）維淺水波方程的復(fù)合解

對于（1）式，先使用變換

其中f=f(x，y，z，t)，得到方程的雙線性形式

式中D算子為Hirota 雙線性算符。

式中αi，βi，γi，ωi(i=1，2，3，4)，a，b，c，d，e為待定常系數(shù)。

取a=b=1，c=e=0，得到文獻(xiàn)［4］中（9）式的形式解，取a=b=1，e=0，得到文獻(xiàn)［4］中（17）式的形式解。

將（21）式代入（20）式，并令η1，η2，η3，sinhη4，coshη4的各次冪系數(shù)等于零，利用符號計(jì)算系統(tǒng)Mathematica得到以下結(jié)果。

情形1

α2，β2，β3，β4，γ3，γ4，ω1，a，b，c，d，e為任意常數(shù)，（22）式需滿足a≠0，β4≠0，γ4≠0，ω1≠0，得到方程（1）如下解，

取a=2，b=-2，c=-2，d=-3，e=4，α2=4，β2=-1，β3=1，β4=-2，γ3=4，γ4=2，ω1=2，u0(z，t)=cn(5z-t，k)，。其特征如圖1 所示。

圖1 （23）式關(guān)于x，y 的三維圖及對應(yīng)的等高線圖Fig.1 The 3D plots and contour plots related to x and y corresponding to formula（23）

情形2

情形3

α2，β1，β2，β4，γ3，γ4，ω1，ω3，b，c，d，e為任意常數(shù)，（26）式需滿足ω1≠0，β4≠0，γ4≠0，得到方程（1）如下解，

α2，β2，β4，γ3，γ4，ω1，ω3，a，b，c，d，e為任意常數(shù)，（28）式需滿足a≠0，β4≠0，γ4≠0，ω1≠0，得到方程（1）如下解，

3 結(jié)論

本文利用Painlevé 分析法證明了廣義（3+1）維淺水波方程在Painlevé 意義下是可積的；根據(jù)截?cái)嗟腜ainlevé 展開式得到了廣義（3+1）維淺水波方程與線性方程之間的B?cklund 變換；通過得到的B?cklund 變換，構(gòu)造了廣義（3+1）維淺水波方程新的精確解；利用Hirota 雙線性方法，求得廣義（3+1）維淺水波方程新的復(fù)合解。更加說明了廣義（3+1）維淺水波方程的解的豐富性。

通過對系數(shù)取不同的值，得到文獻(xiàn)［4］中部分解的形式。文獻(xiàn)［11］和文獻(xiàn)［12］研究了（3+1）維廣義KP 方程和（3+1）維Burgers 方程的Painlevé 性質(zhì)，文獻(xiàn)［6］利用Hirota 雙線性方法，得到了廣義（3+1）維淺水波系統(tǒng)的塊解及相互作用解，本文在其基礎(chǔ)上得到了方程（1）的可積性、方程（1）與線性方程之間的B?cklund 變換，通過分離變量及Hirota 雙線性方法得到了方程（1）的精確解以及復(fù)合解，文獻(xiàn)［11］和文獻(xiàn)［12］均未研究其與線性方程之間的B?cklund 變換。