基于力平面化的辦公室轉(zhuǎn)椅建模

謝汶沛 冉智文

（重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074）

1 問題重述

1.1 問題背景

轉(zhuǎn)椅是辦公椅大類中的一種，由于轉(zhuǎn)椅生產(chǎn)量越來越大生產(chǎn)廠家日益增多，如何對(duì)轉(zhuǎn)椅的質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)是當(dāng)務(wù)之急[1]，但是隨著近幾年來家具行業(yè)的高速發(fā)展，企業(yè)之間的競爭越來越激烈，部分企業(yè)以次充好，用毫無質(zhì)量保證的材料和配件來生產(chǎn)轉(zhuǎn)椅[2]為了保障客戶的使用安全性。在批量生產(chǎn)前需要對(duì)辦公轉(zhuǎn)椅進(jìn)行力學(xué)分析。假設(shè)一種坐著可以360°轉(zhuǎn)動(dòng)的椅子?？勘衬軆A斜的辦公座椅尤其受到辦公人員的青睞。所以當(dāng)傾斜靠背時(shí)，可以讓人保持放松的姿勢(shì)。靠背傾斜的變化過程如圖1 所示。

當(dāng)靠背傾斜的角度比較大時(shí)，還可以讓人在中午時(shí)坐在上面保持半躺的姿勢(shì)小睡片刻。傾斜的角度越大越好。因此，角度成為部分人選擇轉(zhuǎn)椅時(shí)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。不同商家在銷售轉(zhuǎn)椅時(shí)，都標(biāo)出了靠背的傾斜角度。

1.2 問題提出

1.2.1 現(xiàn)有一種轉(zhuǎn)椅，其尺寸見圖1。

圖1

試建立模型描述此轉(zhuǎn)椅靠背的動(dòng)態(tài)變化過程。

1.2.2 當(dāng)轉(zhuǎn)椅上坐著一個(gè)身高175cm，體重70kg，體型正常的人時(shí)，試建立數(shù)模描述此時(shí)轉(zhuǎn)椅重心的動(dòng)態(tài)變化過程，分析轉(zhuǎn)椅能傾斜的最大角度；為了在最大角度時(shí)保持轉(zhuǎn)椅的穩(wěn)定性，即轉(zhuǎn)椅不歪倒，分析承載人員的最大體重。（身高體重按照體質(zhì)指數(shù)BMI 為22 來測(cè)算）

2 模型假設(shè)

（1）人體和椅子密度分布均勻；

（2）底座接觸面積為圓形；

（3）假設(shè)靠背、坐墊均為直線段，連接處均為直線段連接；

（4）坐墊位于水平方向；

（5）假設(shè)人坐在椅子上，雙手放在把手上，腳剛好接觸地面；

（6）假設(shè)椅子質(zhì)量均勻分布；

（7）假設(shè)椅子底座與地面接觸面積為圓；

（8）靠背，重力分布沿線性變化；

（9）座位，重力分布沿拋物線變化；

（10）總的重心坐標(biāo)不超過底盤圓半徑。

3 符號(hào)說明

對(duì)本文需要的符號(hào)進(jìn)行如表1 說明。

表1 符號(hào)說明

4 問題分析

4.1 問題一分析

針對(duì)問題一，見圖2 以靠背與水平坐墊交線的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立座椅側(cè)面的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)力學(xué)原理確定重力在轉(zhuǎn)椅靠背的面上的分布情況，確立座椅靠背的重心坐標(biāo)，在轉(zhuǎn)椅靠背擺動(dòng)的過程中，靠背的重心坐標(biāo)也隨之變化，使用重心計(jì)算公式，計(jì)算出在椅子靠背轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，重心位置與傾斜角的函數(shù)關(guān)系，以此來描述椅背的動(dòng)態(tài)變化情況。

圖2

4.2 問題二分析

針對(duì)問題二，隨著生活水平的提升，我國的男女超重率為63.06%，肥胖率19.82%[3]同時(shí)綜合考慮通過使用人體結(jié)構(gòu)與“0.618 黃金分割率”[4]將人的身體分為兩個(gè)部分，上半身體重占人體總體重的38.2%，下半身占人體總體重的61.8%。在座椅材料密度為1150kg/m3的情況下，得出靠背重心與體重m1、傾斜角度β 的關(guān)系，隨著傾斜角度β 的變化，整體重心的投影恰好落在底盤支撐面邊緣時(shí)，為轉(zhuǎn)椅歪倒失穩(wěn)的臨界點(diǎn)。當(dāng)坐著身高H=175cm，體重m1=70kg，體型正常的人時(shí)，失穩(wěn)時(shí)x=-0.05，此時(shí)的傾斜角度，即為轉(zhuǎn)椅能傾斜的最大角度。以物體向某方向翻倒的最大傾斜角的正切函數(shù)值來定量描述物體穩(wěn)度。在BMI 值為22 且轉(zhuǎn)椅靠背處于最大傾斜角度的情況下，利用約束條件可求出轉(zhuǎn)椅穩(wěn)度的取值范圍。

在問題一的基礎(chǔ)上，隨著靠背角度的變化，確定轉(zhuǎn)椅整體的重心在直角坐標(biāo)系中的位置。當(dāng)重心在地面上的投影落在底座形成的支撐面內(nèi)，此時(shí)轉(zhuǎn)椅處于穩(wěn)定狀態(tài)，不會(huì)發(fā)生側(cè)翻。當(dāng)重心在地面的投影落在支撐面邊緣上，此時(shí)轉(zhuǎn)椅靠背傾斜的角度為最大值。在傾斜角度最大條件下，引入穩(wěn)度條件，以此來計(jì)算最大承載體重。

5 模型建立

5.1 立體模型平面化

以轉(zhuǎn)椅側(cè)視圖為基準(zhǔn)面，靠背和坐墊的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，各線段長度與角度，見圖3 所示。

圖3

5.2 力的分布平面化

設(shè)轉(zhuǎn)椅材料厚度為1。

靠背質(zhì)量：m2=ρ×b1×b2×1

坐墊質(zhì)量：m3=ρ×a1×a2×1

整體重心 （x，y，z）

根據(jù)人體黃金比例：0.618，將人體的各部分質(zhì)量按如表2 的比例分配：

表2

轉(zhuǎn)椅整體的受力分布分為5 個(gè)部分：轉(zhuǎn)椅靠背和坐墊產(chǎn)生的重力沿各自長度方向均勻分布；靠背所受人體背部產(chǎn)生的外力的大小，沿靠背長度方向呈線性分布；坐墊所受人體下部產(chǎn)生的外力的大小，沿坐墊長度方向呈拋物線分布；把手所受手臂產(chǎn)生的外力大小，沿把手長度方向均勻分布。分布情況見圖4。

圖4

轉(zhuǎn)椅各部位荷載集度見表3。

表3 轉(zhuǎn)椅各部分載荷集度

表4 各部分重心位置及合力符號(hào)表示

5.3 模擬坐墊的重心位置

5.4 問題一求解

根據(jù)重心計(jì)算公式：

5.5 問題二求解

根據(jù)重心計(jì)算公式：

式中ρ 根據(jù)大量常規(guī)使用材料的密度數(shù)據(jù)，確立ρ=1150kg/m3

隨著傾斜角度β 的變化，整體重心的投影恰好落在底盤支撐面邊緣時(shí)，為轉(zhuǎn)椅歪倒失穩(wěn)的臨界點(diǎn)，即x=a1/2-R。當(dāng)坐著身高H=175cm，體重m1=70kg，體型正常的人時(shí)，失穩(wěn)時(shí)x=-0.05，此時(shí)的傾斜角度，即為轉(zhuǎn)椅能傾斜的最大角度。

計(jì)算得出：βmax=157.84°

影響轉(zhuǎn)椅穩(wěn)定性的因素：重心位置。

重心的高度：越低越穩(wěn)定。

重心的垂線是否落在轉(zhuǎn)椅底盤與地面接觸形成的支撐面范圍內(nèi)：越靠近支撐面中心越穩(wěn)定；支撐面越大越穩(wěn)定。

支撐面上物體的穩(wěn)定程度叫做穩(wěn)度，以物體向某方向翻倒的最大傾斜角的正切函數(shù)值來定量描述物體穩(wěn)度。η=r/h，其中η 表示物體在某方向的穩(wěn)度，r 表示這一方向的翻轉(zhuǎn)半徑，h 表示重心距離水平面高度，穩(wěn)度η 與翻轉(zhuǎn)半徑r 成正比，與重心高度h 成反比。

根據(jù)中國成年人人體尺寸見表5。

表5 中國成年人身體尺寸

膝高比例取平均值α=29.28%，身高體重按照體質(zhì)指數(shù)BMI 為22 來測(cè)算：

當(dāng)身高H=175cm，體重m1=70kg 的人坐著時(shí)，此時(shí)穩(wěn)度η1=R/（y0+αH）,為了保證在最大角度時(shí)保持轉(zhuǎn)椅的穩(wěn)定性，給出如下約束條件：

聯(lián)立以上求解可得：m1≤67.33

即轉(zhuǎn)椅位于最大傾斜角度βmax時(shí)，保持穩(wěn)定性的情況下，所能承受的最大體重為：67.33kg。

6 模型總結(jié)

6.1 模型優(yōu)點(diǎn)

（1）本文模型基于力學(xué)受力分析以及平面直角坐標(biāo)系，模型的結(jié)構(gòu)簡單有效，與實(shí)際產(chǎn)品的穩(wěn)性，承重能力聯(lián)系緊密。

（2）本文引入穩(wěn)度，重心等參數(shù)，在約束條件下計(jì)算出問題的求解。該方法通過合理設(shè)置參數(shù)，從而避免結(jié)果發(fā)生局部最優(yōu)的情況。

（3）將座椅受重分為多個(gè)部分，獨(dú)立分析各部分的受力特點(diǎn)以及重心變化規(guī)律，使得求解更加貼合實(shí)際。

6.2 模型缺點(diǎn)

（1）在建模過程中，過度簡化了人體各部位的重量分布情況。

（2）本模型的構(gòu)建，主要通過受力分析以及數(shù)據(jù)分析兩種方法，數(shù)據(jù)的總量小，模型的普適性較差。