不同類型溫度導(dǎo)熱模型的開發(fā)與運用

王墨南，呂立華

（寶山鋼鐵股份有限公司中央研究院 智能制造所，上海 201999）

加熱/冷卻過程是鋼鐵生產(chǎn)工藝的重要環(huán)節(jié)，連鑄、加熱爐、熱處理過程都涉及到鋼鐵生產(chǎn)溫度的改變，加熱/冷卻質(zhì)量直接影響鋼鐵產(chǎn)品的最終質(zhì)量。鋼鐵生產(chǎn)中物料對象的溫度計算依靠溫度跟蹤在線模型反應(yīng)，溫度模型的準(zhǔn)確性一直是重要研究課題。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，產(chǎn)品越來越多、質(zhì)量要求越來越高，對溫度模型的準(zhǔn)確度要求也越來越高。近年來計算機應(yīng)用技術(shù)和模型優(yōu)化算法等得到迅速發(fā)展，可以應(yīng)用這些先進(jìn)科學(xué)技術(shù)為生產(chǎn)服務(wù)。

本文針對不同種類、形狀的鋼鐵產(chǎn)品，基于不同類型的導(dǎo)熱模型，設(shè)計溫度在線跟蹤模型，查看鋼鐵產(chǎn)品在生產(chǎn)中的溫度狀態(tài)，滿足了生產(chǎn)單位的各種功能要求，得到了較高的精度。

1 溫度跟蹤模型基本情況介紹

1.1 功能概述

溫度跟蹤模型具有下列功能：

根據(jù)控制系統(tǒng)給出的尺寸信息、位置信息、時間信息、鋼種信息等，結(jié)合現(xiàn)場熱電偶溫度信息，運用溫度計算模型模塊計算出對象物料各個區(qū)域的實時溫度。

1.2 模型系統(tǒng)框架

溫度計算模型模塊通過數(shù)據(jù)庫得到對象物料在線跟蹤數(shù)據(jù)（位置信息、幾何信息、類型、激勵電文、時間信息等）和熱電偶實時溫度數(shù)據(jù)，再把物料實時溫度計算結(jié)果更新至數(shù)據(jù)庫中，更新后的數(shù)據(jù)在軟件畫面上展示出來（見圖1）。

圖1 溫度跟蹤模型系統(tǒng)框架圖

2 溫度計算模型介紹

溫度計算模型一般由導(dǎo)熱計算模塊和邊界計算模塊兩部分組成。

受熱物料除了外部邊界受到傳熱以外，內(nèi)部的溫度分布通過導(dǎo)熱傳熱進(jìn)行。導(dǎo)熱的計算可以根據(jù)傅里葉方程確定，不同形狀的物料導(dǎo)熱方程的建立略有不同。

2.1 矩形導(dǎo)熱模型

鋼鐵生產(chǎn)過程中最常見的是矩形物料，如板坯、厚板等。可以在笛卡爾直角坐標(biāo)系下建立離散網(wǎng)格劃分，同時為了簡化模型，工程上常用的導(dǎo)熱模型僅考慮物料內(nèi)部厚度和寬度方向的二維熱傳導(dǎo)（見圖2），網(wǎng)格數(shù)量i×j。

圖2 笛卡爾坐標(biāo)系下離散化網(wǎng)格劃分示意圖

根據(jù)熱平衡方程，物料內(nèi)節(jié)點（m，n）虛線區(qū)域的二維熱傳導(dǎo)方程可以描述為式（1）：

式中：ρ—物料密度，kg/m3

c—物料比熱，J/（kg·℃）

λ—物料導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）

Δx—寬度方向物料一小段網(wǎng)格的距離，m

Δy—厚度方向物料一小段網(wǎng)格的距離，m

Δτ—時間步長，s

t—板坯溫度，K，t1為當(dāng)前時刻溫度，t2為下一時刻溫度

m、n—板坯內(nèi)某個結(jié)點的坐標(biāo)位置

若采用半顯式半隱式的交替算法（ADI算法），不但能夠快速準(zhǔn)確計算，同時又能提高方程穩(wěn)定性，收斂判定條件也會略寬松。

分別在寬度和厚度方向各交替做一次顯式和隱式計算，第（m，n）點的方程為式（2）、式（3）：

式（2）、式（3）無法像顯式方法那樣直接迭代求解，必須聯(lián)立i×j個節(jié)點上各個類似式（2）、式（3）的熱平衡方程組求解，即基于追趕法（TDMA方法）計算，得到下一時刻的板坯溫度分布。

2.2 圓形導(dǎo)熱模型

鋼鐵生產(chǎn)過程中圓柱形、圓形、扇形物料也非常常見，如圓棒、鋼管等。需要在極坐標(biāo)系下建立離散網(wǎng)格劃分，同時為了簡化模型，導(dǎo)熱模型僅考慮物料內(nèi)部弧度和角度方向的二維熱傳導(dǎo)，并且考慮圓的對稱性，一般只需要考慮1/2圓即可（見圖3），網(wǎng)格數(shù)為i×j。

圖3 圓柱坐標(biāo)系下離散化網(wǎng)格劃分示意圖

根據(jù)熱平衡方程，物料內(nèi)節(jié)點（m，n）虛線區(qū)域的二維顯示熱傳導(dǎo)方程可以描述為式（4）：

式中：Δr—徑向物料一小段網(wǎng)格的距離，m

Δφ—弧度方向物料一小段網(wǎng)格的角度，m

rm—點（m，n）到圓心的距離，m

采用半顯式半隱式的交替算法（ADI算法），分別在徑向和角度方向各交替做一次顯式和隱式計算，第（m，n）點的方程為式（5）、式（6）：

2.3 組合型導(dǎo)熱模型

除了以上兩種形狀的物件外，鋼鐵生產(chǎn)過程中也有可能出現(xiàn)形狀較為特殊的物件，既包含矩形也包含圓形，如鋼錠、連鑄外殼、卷鐵心等，如圖4所示，無法用一個單一的坐標(biāo)系建立離散網(wǎng)格劃分。這時，可以考慮通過直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系拼接的方式建立離散網(wǎng)格劃分。同時為了簡化模型，導(dǎo)熱模型僅考慮物料內(nèi)部矩形處厚度和寬度、圓形處弧度和角度方向的二維熱傳導(dǎo)，并且考慮對稱性，一般只需要考慮1/4即可，如圖5所示，由兩個直角坐標(biāo)系和一個極坐標(biāo)系組成，網(wǎng)格數(shù)為i×p。

圖4 鋼錠3D示意圖

圖5 直角和圓柱坐標(biāo)系拼接下的離散化網(wǎng)格劃分示意圖

在兩種網(wǎng)格的非交界處，對矩形和扇形分別劃分網(wǎng)格，注意矩形厚度方向和扇形徑向劃分網(wǎng)格數(shù)要一致且對應(yīng)。非交界處依然按照原有坐標(biāo)方式在各個節(jié)點處建立導(dǎo)熱微分方程。這里不再重復(fù)介紹。

在兩種網(wǎng)格的交接處需要特殊處理，直角坐標(biāo)系下的單元節(jié)點與極坐標(biāo)系下的單元節(jié)點需要合并處理，交界處的單元體積需要兩個坐標(biāo)系下的相關(guān)體積合并，熱流也需要合并計算。

兩種坐標(biāo)系交界處節(jié)內(nèi)點（m，n）為圖5虛線區(qū)域、圖6實線區(qū)域，其中一半?yún)^(qū)域為矩形一半?yún)^(qū)域為扇形，該區(qū)域上的二維熱傳導(dǎo)方程可以描述為式（7）：

圖6 直角和圓柱坐標(biāo)系交界處的節(jié)點熱單元示意圖

該方法同樣也可采用收斂條件更加寬松的半顯式半隱式的交替算法。

2.4 邊界條件

在加熱或冷卻過程中，物件在溫度變化時主要通過對流與輻射完成與外界的換熱。

對流方程如式（8）：

式中：Q（i）—物件表面節(jié)點i處的熱流量，W

Ai—物件表面節(jié)點i處的受熱面積，m2

h—對流系數(shù)，通過實驗或經(jīng)驗公式獲得，W/（K·m2）

T（i）—物件表面節(jié)點i處的溫度，K

Te—外界環(huán)境溫度，K

此外，物件在加熱爐或熱處理爐等高溫工藝的傳熱方式主要是通過熱輻射來獲取熱量，當(dāng)高溫環(huán)境足夠廣大時，簡易的輻射方程如式（9）：

式中：ε—發(fā)射率

σ—斯忒潘-玻耳茲曼常數(shù)，5.67×10-8W/（m2·K4）

該方法簡單有效，在實際運用中廣為使用。

輻射熱流也可根據(jù)各個輻射對象之間建立輻射網(wǎng)絡(luò)方程精確計算。具體熱平衡關(guān)系由式（10）～式（12）體現(xiàn)。

式中：下標(biāo)i，k—分別表示系統(tǒng)內(nèi)不同輻射體i和輻射體k

φ—輻射體的輻射角系數(shù)

S—輻射體的有效輻射表面積

J—輻射體的有效輻射量

R、ε—分別為輻射體的反射率和發(fā)射率

H—外界向輻射體投入的輻射總量

E—輻射體的黑體輻射量，E=σT4，其中，T為輻射體表面絕對溫度，通過測溫裝置測量

n—輻射體個數(shù)

聯(lián)立方程計算出的有效輻射J，也就是輻射熱量Q。

2.5 相變問題

在有些鋼鐵生產(chǎn)過程中，如連鑄，在冷卻過程中會出現(xiàn)凝固的相變過程，同時釋放潛熱。可以根據(jù)固液相線，采用等效比熱法，在相變過程中通過計算對象在不同溫度下改變比熱的數(shù)值從而間接表示釋放潛熱。該模型已被證實方便、簡單、有效，適用范圍廣。

3 結(jié)論與應(yīng)用案例

各類導(dǎo)熱模型在鋼鐵工藝計算中運用廣泛，包括連鑄、熱軋、鋼管的生產(chǎn)等，尤其是相關(guān)溫度跟蹤模型被大規(guī)模在線運用，測試表明長期運行穩(wěn)定。

根據(jù)物件對象形狀的不同選擇合適的導(dǎo)熱模型可以提高溫度計算的精度。邊界條件除了需要理論計算外還需結(jié)合實驗與實踐經(jīng)驗，計算出的對象溫度才可以更好地反應(yīng)實際生產(chǎn)情況。

圖7為0.5 m×0.25 m的矩形和半徑為0.25 m的半圓從室溫20℃，上表面受到1 h時長的、1 000℃溫度加熱后的對流傳熱（對流系數(shù)、物性參數(shù)相同）的升溫曲線，包括表面升溫曲線和平均溫度升溫曲線。可以看出，在類似條件下，矩形和半圓形的升溫曲線相差較大，尤其是平均溫度在加熱1 h后相差185℃，表面溫度相差略小，為67℃。

圖7 矩形和半圓形升溫曲線圖

圖8為熱軋加熱爐在線跟蹤畫面，可實時輸出爐內(nèi)各板坯溫度，方便工藝人員控制加熱爐溫度。

圖8 加熱爐在線跟蹤畫面