細(xì)化算式結(jié)構(gòu) 提升運(yùn)算效率

廣東 陳宇航

《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱說明》(理科)，明確把應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力列為高考考查的五大能力之一。學(xué)生若要順利的解決物理問題往往需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底，而運(yùn)算能力則是數(shù)學(xué)功底中最重要的一環(huán)。沒有好的運(yùn)算能力，就意味著沒有好的思維能力。提高運(yùn)算的效率，是提高學(xué)生成績的關(guān)鍵。

物理學(xué)科的學(xué)習(xí)有其固有的規(guī)律，不同的物理原理和思考方法都對應(yīng)著不同特征的數(shù)學(xué)表達(dá)。通過對高中階段物理學(xué)習(xí)中相關(guān)題目的梳理，筆者發(fā)現(xiàn)在不同知識點(diǎn)的考查應(yīng)用中，某些算式結(jié)構(gòu)出現(xiàn)頻率較高。通過對這些算式結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可以幫助學(xué)生認(rèn)識不同原理的出題規(guī)律，同時(shí)在熟悉算式結(jié)構(gòu)的過程中增強(qiáng)對運(yùn)算的信心。

【例1】(2019年全國卷Ⅲ第16題)用卡車運(yùn)輸質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖1所示。兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°。重力加速度為g。當(dāng)卡車沿平直公路勻速行駛時(shí)，圓筒對斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則

圖1

( )

【解析】對圓筒進(jìn)行受力分析如圖2所示。根據(jù)平衡條件有

圖2

【總結(jié)】以上方程組中常見于牛頓定律的應(yīng)用當(dāng)中。牛頓定律是高中物理的核心內(nèi)容之一，當(dāng)對物體的狀態(tài)進(jìn)行分析時(shí)，牛頓第二定律是常用的切入手段，而對于水平和豎直方向進(jìn)行受力分析列式就會得到含有三角函數(shù)的方程組。其解法為利用sin2θ+cos2θ=1消元。

如上述方程：①×sinθ+②×cosθ

可得A=C1sinθ+C2cosθ

或①×cosθ-②×sinθ

可得B=C1cosθ-C2sinθ

圖3

( )

A.20 B.18 C.9.0 D.3.0

【解析】由題意可知，當(dāng)摩托車在a點(diǎn)動(dòng)能為E1時(shí)，有

【總結(jié)】上述方程組一般在平拋(類平拋)題型中出現(xiàn)。求解過程比較簡單，通常是先在一次方程中求解t，然后代入其他公式中求解其他量。因此就不再贅述了。

【例3】(海南省2020年普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試第17題)(節(jié)選)如圖4所示，光滑的四分之一圓弧軌道PQ豎直放置，底端與一水平傳送帶相切，一質(zhì)量ma=1 kg的小物塊a從圓弧軌道最高點(diǎn)P由靜止釋放，到最低點(diǎn)Q時(shí)與另一質(zhì)量mb=3 kg小物塊b發(fā)生彈性正碰(碰撞時(shí)間極短)。已知圓弧軌道半徑R=0.8 m，傳送帶的長度L=1.25 m，傳送帶以速度v=1 m/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g=10 m/s2。求：

圖4

(1)碰撞前瞬間小物塊a對圓弧軌道的壓力大??；

(2)碰后小物塊a能上升的最大高度。

【解析】(1)設(shè)小物塊a下滑到圓弧最低點(diǎn)未與小物塊b相碰時(shí)的速度為va，

代入數(shù)據(jù)解得va=4 m/s

小物塊a在圓弧軌道最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有

代入數(shù)據(jù)解得FN=30 N

根據(jù)牛頓第三定律可知，碰撞前瞬間小物塊a對圓弧軌道的壓力大小為30 N。

設(shè)碰后小物塊a上升的最大高度為h，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

解得h=0.2 m

【總結(jié)】此方程組常見于彈性碰撞的情境當(dāng)中。幾乎所有的碰撞都能列出動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律各一條方程式，而對這樣的方程組通常會使用移項(xiàng)降次的方式求解。

再由⑧÷⑦，得v0+v1=v2⑨

四、(F-Δmg)Δt=Δmvt-Δmv0 ⑩ 掌握難度：中等

【例4】2021年7月4日，神舟十二號航天員劉伯明、湯洪波從空間站天和核心艙節(jié)點(diǎn)艙成功出艙，身上穿著我國自主研制的“飛天”艙外航天服，航天服內(nèi)置微型噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)和操縱系統(tǒng)，相當(dāng)于微型載人航天器，未來有一天，航天員登陸月球，在月球表面懸停。已知航天服連同人和裝備的總質(zhì)量為m，噴氣口的橫截面積為S，氣體的密度為ρ，且氣體噴出前的速度為零，月球的質(zhì)量為M，月球的半徑為R，引力常量為G。要使航天員能在月球表面懸停，則單位時(shí)間內(nèi)噴射的氣體的質(zhì)量為

( )

設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)，從噴口噴出的氣體的速度為v，體積為ΔV，質(zhì)量為Δm，則

Δm=ρΔV，ΔV=SvΔt

設(shè)航天員對氣體的作用力為F′，月球表面的重力加速度為g，對Δt時(shí)間內(nèi)噴射出來的氣體，

由動(dòng)量定理可得(F′+Δmg)Δt=Δmv-0

上式中ΔmgΔt很小，可忽略

根據(jù)牛頓第三定律有F=F′

【總結(jié)】此式主要是在豎直方向上應(yīng)用動(dòng)量定理的問題中出現(xiàn)。其關(guān)鍵技巧在于ΔmgΔt這個(gè)無窮小量可忽略。雖然這類問題在動(dòng)量應(yīng)用中常見，但由于難以與其他章節(jié)結(jié)合，所以在平時(shí)訓(xùn)練中出現(xiàn)的頻率不高。

五、教學(xué)建議