基于Kriging模型的高速列車(chē)齒輪箱箱體裂紋識(shí)別*

王靖銘 寧 靜 趙 飛 陳春俊

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031）

1 引言

高速列車(chē)作為一種高度集成的復(fù)雜系統(tǒng)［1］，各部件故障會(huì)對(duì)其運(yùn)行安全性產(chǎn)生不同程度的影響。齒輪箱作為高速列車(chē)走行部的關(guān)鍵部件，是保證高速列車(chē)正常運(yùn)行的A類(lèi)關(guān)鍵部件，其主要作用是傳遞扭矩、改變速度和扭矩方向［2］。其結(jié)構(gòu)損傷既影響列車(chē)運(yùn)行速度，同時(shí)也影響列車(chē)轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)性能，嚴(yán)重時(shí)可能引發(fā)列車(chē)事故［3］。箱體裂紋作為齒輪箱系統(tǒng)的常見(jiàn)損傷，嚴(yán)重影響列車(chē)運(yùn)行安全性。因箱體裂紋而造成列車(chē)事故的情況在國(guó)內(nèi)外均有出現(xiàn)。自2012年國(guó)內(nèi)某型號(hào)動(dòng)車(chē)組首次出現(xiàn)齒輪箱箱體疲勞裂紋以來(lái)，截至目前，已累計(jì)發(fā)生疲勞失效百余起［4］。因此，如何進(jìn)行箱體裂紋的有效判斷和識(shí)別，對(duì)保證列車(chē)安全運(yùn)行具有重要的研究意義。

近年來(lái)，隨著人們對(duì)于計(jì)算機(jī)技術(shù)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的深入研究和應(yīng)用，代理模型技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。在代理模型方法研究方面，目前已發(fā)展了包括Kriging模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、徑向基函數(shù)等多種代理模型方法。其中，Kriging模型首次提出是在1951年南非地質(zhì)學(xué)家Krige的碩士論文中，作為一種無(wú)偏估計(jì)模型被用來(lái)估計(jì)方差最小化［5］。20年后，此方法于1971年被Matheron首次命名為Kriging方法［6］。Cressie在總結(jié)Kriging技術(shù)研究的基礎(chǔ)上，詳細(xì)闡述了其原理［7］。隨后，Currin等［8］和Sacks等［9］將Kriging方法應(yīng)用到實(shí)際工程問(wèn)題的優(yōu)化中。至此，Kriging方法開(kāi)始正式步入工程領(lǐng)域，至今已發(fā)展為最具代表性和應(yīng)用潛力的代理模型方法之一［10］。

隨著Kriging代理模型技術(shù)被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，部分學(xué)者開(kāi)始將其應(yīng)用到結(jié)構(gòu)裂紋識(shí)別領(lǐng)域，并取得不錯(cuò)的效果。高海洋等提出了一種基于Kriging代理模型的裂紋識(shí)別方法，結(jié)果表明，該方法能有效地識(shí)別裂紋參數(shù)，與基于有限元的方法相比，極大地提高了識(shí)別效率，并且具有良好的抗噪性［11］。魯志文將Kriging代理模型用于運(yùn)行狀態(tài)下轉(zhuǎn)子裂紋參數(shù)的量化識(shí)別，結(jié)果表明，與基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法相比，在保證裂紋位置和深度識(shí)別的準(zhǔn)確性的情況下，該方法需要的樣本量更少，且對(duì)噪聲魯棒性較強(qiáng)［12］。王丹陽(yáng)基于Kriging代理模型，結(jié)合改進(jìn)的NSGA-Ⅲ實(shí)現(xiàn)了在轉(zhuǎn)子運(yùn)行狀態(tài)下識(shí)別裂紋的位置、深度和類(lèi)型［13］。

由上可知，雖然Kriging代理模型技術(shù)的應(yīng)用已經(jīng)開(kāi)始涉及到裂紋識(shí)別領(lǐng)域，但相比于工程領(lǐng)域的其他方面，可謂微不足道。且大多局限于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)（如梁、板以及轉(zhuǎn)子等）裂紋識(shí)別研究。針對(duì)于此，本文開(kāi)展基于Kriging代理模型的非運(yùn)行條件下高速列車(chē)齒輪箱箱體裂紋識(shí)別研究。通過(guò)少量的箱體裂紋損傷樣本與其結(jié)構(gòu)響應(yīng)，直接構(gòu)造裂紋參數(shù)與其結(jié)構(gòu)響應(yīng)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的Kriging代理模型，在保證識(shí)別精度與效率的情況下實(shí)現(xiàn)箱體裂紋識(shí)別。

2 Kriging代理模型技術(shù)

Kriging模型作為一種半?yún)?shù)化的插值技術(shù)，由多項(xiàng)式和隨機(jī)分布兩部分組成，故可表示為如下數(shù)學(xué)形式：

其中，β是回歸系數(shù)；f(x)是x的多項(xiàng)式，用于設(shè)計(jì)空間中提供全局近似模擬；z(x)為隨機(jī)分布的誤差，模擬局部誤差近似，具有以下統(tǒng)計(jì)特性：

式中，xi、xj是訓(xùn)練樣本中任意兩點(diǎn)；R(θ，xi，xj)是帶有參數(shù)θ的相關(guān)函數(shù)，用于表征訓(xùn)練樣本點(diǎn)間的空間相關(guān)性。

對(duì)于給定訓(xùn)練樣本集S=[x1，x2，…，xn]及其響應(yīng)集Y=[y1，y2，…，yn]，在式（1）給定的模型基礎(chǔ)上，可通過(guò)已知訓(xùn)練樣本響應(yīng)值Y的線(xiàn)性組合來(lái)估計(jì)任意一個(gè)待測(cè)點(diǎn)xnew的響應(yīng)值，即：

此式即可表征待測(cè)點(diǎn)與各樣本點(diǎn)間的空間相關(guān)性。

上式中的差值系數(shù)c可通過(guò)最小化響應(yīng)預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)方差來(lái)確定，即

由上可知，只需求得參數(shù)β、θ以及即可?？赏ㄟ^(guò)最大化響應(yīng)值的似然估計(jì)來(lái)計(jì)算：

3 基于Kriging模型的裂紋識(shí)別步驟

裂紋識(shí)別問(wèn)題本質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，即在所建立的Kriging代理模型基礎(chǔ)上，利用尋優(yōu)算法確定滿(mǎn)足目標(biāo)函數(shù)的裂紋參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)裂紋識(shí)別。假設(shè)已測(cè)得結(jié)構(gòu)響應(yīng)y(x*)，則目標(biāo)函數(shù)可表示為

式中，Wj為加權(quán)參數(shù)；為測(cè)試點(diǎn)x*在模型中所對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)響應(yīng)的第j個(gè)分量；lb和ub為裂紋無(wú)量綱參數(shù)的上限和下限，N為y^(x*)的長(zhǎng)度。

如圖1所示，基于Kriging代理模型的裂紋識(shí)別步驟可總結(jié)如下。

圖1 基于Kriging代理模型的裂紋識(shí)別步驟

1）根據(jù)裂紋結(jié)構(gòu)特性，確定可描述裂紋位置和大小的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，從而構(gòu)建設(shè)計(jì)空間。

2）利用合適的抽樣方法抽樣生成裂紋參數(shù)初始樣本點(diǎn)，本文采用拉丁超立方體抽樣。利用有限元仿真得到樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

3）基于初始樣本點(diǎn)及其響應(yīng)值構(gòu)建Kriging模型，在所構(gòu)建的代理模型基礎(chǔ)上使用尋優(yōu)算法進(jìn)行尋優(yōu)識(shí)別。

4）基于尋優(yōu)識(shí)別結(jié)果驗(yàn)證Kriging代理模型的計(jì)算精度，若滿(mǎn)足精度要求，則輸出識(shí)別結(jié)果。

5）若不滿(mǎn)足精度要求，則需進(jìn)行Kriging代理模型修正，即將識(shí)別結(jié)果作為樣本點(diǎn)加入初始樣本集重構(gòu)樣本集，從新構(gòu)建Kriging代理模型。

6）重復(fù)上述步驟3），直到滿(mǎn)足精度要求。

4 基于Kriging模型的箱體裂紋識(shí)別

4.1 基于模態(tài)分析的箱體裂紋參數(shù)抽樣

模態(tài)是機(jī)械結(jié)構(gòu)固有的振動(dòng)特性，每階模態(tài)都有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型［14］。通過(guò)模態(tài)分析可了解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，為結(jié)構(gòu)故障診斷和預(yù)防以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。本文通過(guò)對(duì)箱體進(jìn)行模態(tài)分析可了解到箱體結(jié)構(gòu)本身的固有屬性，從而掌握箱體結(jié)構(gòu)易損部位，為后續(xù)箱體裂紋參數(shù)抽樣提供參考。

由于箱體結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜，為了便于有限元分析，因此在建立箱體模型時(shí)，不考慮上下箱體結(jié)合部、軸承端蓋與箱體結(jié)合部的影響，忽略箱體局部尺寸較小或者影響甚微的部位，如箱體的泄油孔、螺栓孔等［15］。本文借助Pro/E建立箱體三維模型，并將之導(dǎo)入ABAQUS中進(jìn)行箱體模態(tài)分析。箱體材料采用鑄造鋁合金，材料密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為75Gpa，泊松比為0.3。經(jīng)模態(tài)分析計(jì)算，箱體前六階模態(tài)振型和頻率分別如圖2和表1所示。

圖2 齒輪箱箱體前六階振型

表1 齒輪箱箱體前六階固有頻率

從箱體前6階模態(tài)頻率可以看出，箱體的固有頻率多集中在高頻階段，應(yīng)力集中多發(fā)生在窺油孔周?chē)拖潴w底座以及端部。結(jié)合箱體實(shí)際產(chǎn)生裂紋實(shí)例如圖3所示，選取箱體底座和端部為研究對(duì)象。假設(shè)箱體表面有一裂紋，裂紋平面與軸心位于同一平面上，且假設(shè)裂紋縱向深度不超過(guò)箱體壁厚，裂尖位置徑向上不超出輸出軸軸孔，以裂紋在軸心圓所在的方位（角度）θ、徑向?qū)挾圈烈约拜S向深度β為裂紋參數(shù)，構(gòu)建一個(gè)具有三維變量的設(shè)計(jì)空間，則有θ∈[240，360]、α∈[0，30]、θ∈[0，12]。利用拉丁超立方抽樣抽取裂紋參數(shù)樣本如表2所示。

圖3 齒輪箱箱體裂紋實(shí)例

表2 齒輪箱箱體裂紋參數(shù)樣本

4.2 基于ABAQUS的裂紋箱體結(jié)構(gòu)響應(yīng)提取

結(jié)合前文抽取的裂紋參數(shù)樣本，利用ABAQUS進(jìn)行箱體裂紋建模，基于建立的裂紋箱體模型進(jìn)行模態(tài)分析，從而提取所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。約束邊界條件如下：箱體與C型支架連接平面為固定約束，大軸承孔處采用耦合約束，約束除繞車(chē)軸旋轉(zhuǎn)自由度以外的其他自由度［16］。本文采用云圖積分定制箱體裂紋，圖4為樣本點(diǎn)12的箱體裂紋模型。圖5示為12號(hào)樣本點(diǎn)箱體裂紋模型的第13階模態(tài)振型圖，從圖中可以看出所定制裂紋的位置出現(xiàn)明顯的箱體裂紋，這也證明了所建立的裂紋模型的準(zhǔn)確性。

圖4 樣本點(diǎn)12箱體裂紋模型

圖5 12號(hào)樣本點(diǎn)箱體裂紋模型第13階模態(tài)振型

根據(jù)表2所抽取20組裂紋參數(shù)樣本點(diǎn)，并利用ABAQUS建立對(duì)應(yīng)箱體裂紋模型，通過(guò)模態(tài)分析提取裂紋參數(shù)樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率。為保證結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)裂紋參數(shù)的變化相對(duì)靈敏，同時(shí)確保計(jì)算效率，通過(guò)對(duì)比分析，本文選取各裂紋參數(shù)樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的12階、14階、16階和18階固有頻率作為裂紋參數(shù)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，見(jiàn)表3。

4.3 Kriging代理模型構(gòu)建與箱體裂紋識(shí)別

根據(jù)表3的裂紋參數(shù)樣本以及其對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)構(gòu)建Kriging代理模型。結(jié)合箱體模態(tài)分析與箱體裂紋實(shí)例，在箱體模型上利用ABAQUS軟件模擬四種裂紋工況，進(jìn)行Kriging代理模型精度驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如表4所示。由表4可以看出，四種工況下各裂紋參數(shù)的識(shí)別精度均低于工程誤差限值5%。

表3 各裂紋參數(shù)樣本及其所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)

表4 模擬的四種工況裂紋參數(shù)與識(shí)別結(jié)果對(duì)比

其中，表示裂紋軸心圓方位的參數(shù)θ識(shí)別精度最高，其識(shí)別誤差均低于2%。此外，雖然表示裂紋徑向?qū)挾鹊膮?shù)α以及軸向深度的參數(shù)β識(shí)別精度相對(duì)偏低，但其識(shí)別誤差也均低于4%。這說(shuō)明所構(gòu)建的Kriging代理模型滿(mǎn)足精度要求，無(wú)需通過(guò)加點(diǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行模型修正。同時(shí)，通過(guò)裂紋識(shí)別結(jié)果可以看出，率為結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的關(guān)系具有明顯的優(yōu)勢(shì)，其僅需在建模以及模型驗(yàn)證時(shí)調(diào)用少量有限元計(jì)算（本文共調(diào)用24次），就可得到能代表無(wú)數(shù)次有限元分析計(jì)算裂紋識(shí)別模型。在保證裂紋識(shí)別精度的條件下，大大減少了計(jì)算成本，提高了裂紋識(shí)別的效率。

5 結(jié)語(yǔ)

隨著我國(guó)高鐵事業(yè)的飛速發(fā)展，高速列車(chē)的相關(guān)研究也因此蓬勃發(fā)展。然而，目前對(duì)高速列車(chē)齒輪箱箱體裂紋識(shí)別研究卻微乎其微。此外，近年來(lái)雖然有學(xué)者將Kriging代理模型應(yīng)用于裂紋識(shí)別領(lǐng)域，但基本上都局限于板、梁等簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)?；谝陨锨樾?，本文針對(duì)某型高速列車(chē)齒輪箱箱體發(fā)生裂紋故障從而影響列車(chē)運(yùn)行的安全性問(wèn)題，結(jié)合當(dāng)下應(yīng)用廣泛且最具應(yīng)用潛力的Kriging代理模型，初步探析了非運(yùn)行條件下高速列車(chē)齒輪箱箱體的裂紋識(shí)別。主要結(jié)論如下：

1）利用結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)結(jié)構(gòu)的固有屬性發(fā)生變化這一特性，利用有限元分析軟件ABAQUS建立箱體的裂紋模型，并基于模態(tài)分析得到裂紋箱體的各階固有頻率，從中選出四階聯(lián)合作為裂紋箱體結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而構(gòu)建Kriging代理模型，實(shí)現(xiàn)非運(yùn)行條件下箱體裂紋識(shí)別，并通過(guò)模擬四種工況驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

2）根據(jù)識(shí)別結(jié)果表明，與基于信號(hào)處理和基于數(shù)值分析的裂紋識(shí)別相比，該方法在保證識(shí)別精度的情況下，極大地提高了識(shí)別效率，同時(shí)還可實(shí)現(xiàn)微小裂紋識(shí)別以及裂紋定位識(shí)別。