基于NURBS曲線的輪胎胎面纏繞仿真算法①

石 樂(lè),沈精虎,彭 婷

(青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,青島 266071)

隨著輪胎行業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)愈演愈烈,提高生產(chǎn)效率,降低生產(chǎn)成本是企業(yè)發(fā)展的必經(jīng)之路,因此引進(jìn)計(jì)算機(jī)開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)化胎面生產(chǎn)過(guò)程、縮短研發(fā)周期、提高胎面質(zhì)量具有重要意義.其中,胎面纏繞仿真是計(jì)算機(jī)開(kāi)環(huán)控制輪胎胎面纏繞生產(chǎn)的核心,由于目前的纏繞仿真軟件內(nèi)置的算法使用直線與圓弧對(duì)纏繞過(guò)程中的曲線進(jìn)行仿形,仿真結(jié)果與實(shí)際纏繞結(jié)果偏差較大,得到的仿形結(jié)果很難應(yīng)用到生產(chǎn)中去,故目前生產(chǎn)中的輪胎胎面纏繞多根據(jù)工程師的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)來(lái)調(diào)整,因此以設(shè)計(jì)一種能夠精準(zhǔn)擬合纏繞過(guò)程中的曲線、精確控制膠條位置的算法用于纏繞仿真軟件具有重要意義[1].

2018年,楊瑞林提出了輪胎胎面纏繞機(jī)組及纏繞控制方法.在胎面纏繞生產(chǎn)線上,經(jīng)過(guò)冷卻裝置降溫后的膠條有可能發(fā)生微小的形變,通過(guò)在輪胎纏繞機(jī)上安裝帶有按壓輪的氣缸,對(duì)膠條進(jìn)行再次處理即可保證膠條質(zhì)量與形狀穩(wěn)定,提高輪胎胎面對(duì)稱(chēng)性,延長(zhǎng)輪胎的使用壽命[2].

2020年,天津賽象科技股份有限公司介紹了一種工程機(jī)械子午線輪胎成型機(jī)組胎面纏繞機(jī)的數(shù)學(xué)模型及其結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了一套新算法,該算法通過(guò)預(yù)先計(jì)算纏繞機(jī)頭的運(yùn)行軌跡函數(shù)來(lái)確定膠條的準(zhǔn)確位置.該算法通過(guò)分析工程機(jī)械子午線輪胎外型參數(shù),根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)原理,計(jì)算最大充型體積.根據(jù)最大充型體積得到截面數(shù)據(jù)設(shè)立方程,通過(guò)變分學(xué)中的等周問(wèn)題計(jì)算出曲線軌跡方程,計(jì)算曲線軌跡方程的斜率來(lái)控制纏繞機(jī)頭軸線和纏繞曲線法線的夾角,再根據(jù)輪胎具體參數(shù)得出纏繞機(jī)頭運(yùn)行軌跡函數(shù),從而控制纏繞過(guò)程[3].

2020年張鵬[4]運(yùn)用B 樣條曲線對(duì)輪胎胎面進(jìn)行仿形,得到較為精確的仿形結(jié)果并且運(yùn)用到生產(chǎn)中去,但B 樣條曲線存在無(wú)法擬合除拋物線外的二次曲線、對(duì)曲線控制不靈活且纏繞效率較低的問(wèn)題,故在此基礎(chǔ)上選用NURBS曲線對(duì)輪胎胎面纏繞算法進(jìn)行改進(jìn).

NURBS曲線是近些年計(jì)算機(jī)用來(lái)處理幾何圖形、設(shè)計(jì)以及數(shù)據(jù)交換的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)曲線.相比于B 樣條曲線[5-7],NURBS曲線解決了B 樣條曲線無(wú)法擬合除拋物線外的二次曲線問(wèn)題,同時(shí)通過(guò)增加權(quán)重因子來(lái)靈活的控制各控制點(diǎn)對(duì)曲線整體形狀的影響,可以更好的擬合不同情況下的曲線,因此本文提出運(yùn)用NURBS曲線對(duì)胎面輪廓線和膠條輪廓線進(jìn)行精準(zhǔn)仿形,使用基于粒子群優(yōu)化的仿生學(xué)算法確定膠條起點(diǎn)從而合理排布膠條位置的算法,并選取胎面工藝參數(shù)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證.

1 輪胎胎面纏繞仿真原理

輪胎胎面由纏繞系統(tǒng)聯(lián)動(dòng)控制纏繞機(jī)與纏繞鼓,將膠條纏繞貼合到輪胎胎胚上而成,纏繞鼓承載輪胎胎胚做角速度為ω的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),纏繞機(jī)沿x軸移動(dòng)將膠條貼到輪胎胎胚上,纏繞原理如圖1所示[8].

圖1 纏繞原理圖

輪胎胎面斷面圖如圖2所示.

圖2 輪胎胎面斷面圖

2 NURBS曲線

給定控制點(diǎn)Pi,整數(shù)p,單調(diào)不減的節(jié)點(diǎn)矢量u,即可確定一條p次的NURBS曲線,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中,C(u)為曲線上位置向量;ωi為權(quán)因子;Ni,p(u)為基函數(shù).

取胎面截面數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行NURBS曲線擬合時(shí),NURBS曲線的權(quán)因子ωi取1,此時(shí)NURBS曲線的求導(dǎo)公式為:

式中,ui為節(jié)點(diǎn)矢量值.

此時(shí),NURBS曲線上任一點(diǎn)(xa,ya)的法線方程為:

(1)NURBS曲線擬合

計(jì)算出輪胎胎面輪廓線和膠條輪廓線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)后,采用全局插值法擬合出上述曲線[9-11].全局插值法通過(guò)向心參數(shù)化計(jì)算各數(shù)據(jù)的參數(shù)值uk,并采用取平均值的方法計(jì)算出節(jié)點(diǎn)矢量U,建立式(5)所示線性方程組,求解該方程組得出NURBS曲線的控制點(diǎn)從而擬合出NURBS曲線.

式中,Pi為未知的曲線控制點(diǎn).

以擬合輪胎基線為例,仿真效果如圖3所示.

圖3 輪胎基線擬合圖

(2)NURBS曲線拼接算法

膠條下底曲線是由前一根膠條部分上底曲線和部分輪胎基線拼接獲得,現(xiàn)有的NURBS曲線拼接算法需要處理連接點(diǎn)的連續(xù)性問(wèn)題,計(jì)算較為繁雜,因此提出了一種基于等弧長(zhǎng)原則離散NURBS曲線算法的NURBS曲線拼接算法,該算法首先將兩端曲線等弧長(zhǎng)離散成一系列離散點(diǎn),隨后將離散點(diǎn)擬合為一條NURBS曲線,計(jì)算示意圖如圖4所示.算法步驟如下:

圖4 NURBS曲線離散節(jié)點(diǎn)u 求解示意圖

步驟1.計(jì)算NURBS曲線離散段弧長(zhǎng),需要先使用式(6)計(jì)算曲線總弧長(zhǎng)L:

式中,L為總弧長(zhǎng);lj為節(jié)點(diǎn)矢量u∈(uj,uj+1)段對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng).

得到總弧長(zhǎng)L之后,按照指定的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)N,將NURBS曲線劃分為每段弧長(zhǎng)為L(zhǎng)n=L/N的曲線段.

步驟2.根據(jù)曲線離散段弧長(zhǎng)得出每一個(gè)離散點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)矢量值u所在范圍.在上述步驟1 可以得到節(jié)點(diǎn)矢量每個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)lj,第n+1 個(gè)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為Σla,通過(guò)迭代計(jì)算,當(dāng)Σla大于Σlm小于Σlm+1時(shí),說(shuō)明第n+1 個(gè)離散點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)矢量在(um,um+1)范圍內(nèi).

步驟3.確定離散點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)矢量所在區(qū)間,計(jì)算離散點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)矢量u值.

步驟4.將得出的節(jié)點(diǎn)矢量u值帶入NURBS曲線公式(1)得出離散點(diǎn)坐標(biāo).

步驟5.利用全局插值擬合算法將離散點(diǎn)擬合為一條NURBS曲線.

以擬合第二根膠條下底為例,該算法的仿真結(jié)果如圖5所示.從圖中可以看出,將兩段曲線離散后可擬合為一條較好曲線.

圖5 擬合第二根膠條下底曲線

(3)基于PSO 算法的NURBS曲線求交

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是基于群體智能理論的優(yōu)化算法[12,13].使用PSO 算法計(jì)算曲線交點(diǎn)相比于迭代法和遺傳算法求交點(diǎn)規(guī)則簡(jiǎn)單,不需要“交叉”和“變異”操作,編程簡(jiǎn)單,計(jì)算效率高.PSO 算法從隨機(jī)解出發(fā),通過(guò)迭代尋找最優(yōu)解.初始時(shí)(k=0),隨機(jī)地確定每個(gè)粒子的位置和速度,隨后按下列公式對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行更新:

式中,ω為慣性權(quán)重;rand()為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù);c1和c2為學(xué)習(xí)因子;V為粒子的速度;X為粒子的位移;P為粒子的位置.

合理排布膠條的核心是確定膠條的起點(diǎn)位置,通過(guò)觀察可知,膠條的起點(diǎn)位置始終是前一根膠條的上底曲線與胎面分層曲線的交點(diǎn).本文選用基于PSO 算法求此交點(diǎn),取兩條NURBS曲線C1(u)和C2(v)上點(diǎn)和的距離為第i個(gè)粒子k時(shí)刻的適應(yīng)度函數(shù),即式(8):

當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大且滿足篩選條件時(shí),所得出的全局最優(yōu)位置看作兩條曲線的交點(diǎn).

3 基于NURBS 和PSO 的胎面纏繞仿真算法

基于NURBS 和PSO 的胎面纏繞仿真算法實(shí)現(xiàn)流程如圖6所示.

圖6 算法實(shí)現(xiàn)流程

(1)繪制胎面輪廓曲線

胎面輪廓曲線由輪胎基線和理想胎面曲線組成.其中輪胎基線由測(cè)量的輪胎基線數(shù)據(jù)點(diǎn)結(jié)合全局插值擬合算法擬合得出;理想胎面曲線根據(jù)輸入的工藝參數(shù)設(shè)計(jì)算法計(jì)算得出.

理想胎面曲線的工藝參數(shù)為基線上不同弧長(zhǎng)處到理想胎面曲線的高度.計(jì)算理想胎面曲線分為兩步:

①計(jì)算理想胎面曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn).首先利用式(6)和式(7)求出工藝參數(shù)表上各弧長(zhǎng)處對(duì)應(yīng)的基線上的節(jié)點(diǎn)矢量值并得到坐標(biāo)值.其次使用式(5)計(jì)算出各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的法線方程,最后使用直線上兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算出相應(yīng)的理想胎面曲線數(shù)據(jù)點(diǎn).

②利用得出的理想胎面曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn),通過(guò)全局插值法求出控制點(diǎn),得出理想胎面曲線,理想胎面曲線仿真結(jié)果如圖7所示.

圖7 理想胎面曲線仿真圖

(2)分層設(shè)置

在實(shí)際的纏繞過(guò)程中,理想胎面曲線太高時(shí),在纏繞過(guò)程中膠條會(huì)出現(xiàn)膠條堆疊現(xiàn)象,膠條堆疊會(huì)使膠條與輪胎胎胚粘連部分太少造成膠條脫空.因此需要設(shè)置分層曲線,其中分層數(shù)目根據(jù)工藝要求,且通過(guò)每一層纏繞后的胎面曲線即為下一層的纏繞基線,以分兩層為例如圖8所示.

圖8 分層實(shí)例示意圖

分層時(shí)從第一跟膠條起始點(diǎn)纏繞開(kāi)始,保存每一根膠條上底和分層曲線的交點(diǎn)之間的曲線如P1P2.將曲線上所有的上底型值點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行記錄保存,第一場(chǎng)纏繞結(jié)束后,將所有記錄的型值點(diǎn)通過(guò)NURBS曲線反求控制點(diǎn)的方法,求得分層后的曲線方程,以該方程與最終的理想胎面方程為基準(zhǔn),即可完成全部纏繞過(guò)程.

(3)繪制膠條

繪制膠條首先要確定膠條的起點(diǎn).第一根膠條的起點(diǎn)是輪胎基線的起點(diǎn),計(jì)算后續(xù)膠條的起點(diǎn)采用基于PSO 的NURBS曲線算法求交前一根膠條上底曲線與分層曲線的交點(diǎn).當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí),設(shè)置篩選條件選出合適的交點(diǎn)做為膠條起點(diǎn).

其次繪制膠條下底曲線.計(jì)算示意圖如圖9所示,d 點(diǎn)為第二根膠條的起點(diǎn),b 點(diǎn)為前一根膠條上底曲線終點(diǎn),當(dāng)db 弧段長(zhǎng)度小于膠條下底弧長(zhǎng)時(shí),截取基線上bc 弧長(zhǎng),dbc 弧長(zhǎng)即為膠條下底.利用NURBS曲線拼接算法擬合出膠條下底,最后根據(jù)膠條工藝參數(shù)值計(jì)算得到膠條上底曲線.

圖9 后續(xù)膠條曲線計(jì)算示意圖

4 實(shí)例分析

為測(cè)試本文提出算法的有效性和可行性,選取某型號(hào)胎面工藝參數(shù)和膠條工藝參數(shù)對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試,膠條型號(hào)如圖10所示.通過(guò)纏繞后胎面與理想胎面曲線對(duì)比,判斷算法準(zhǔn)確性,通過(guò)左右胎肩高度對(duì)比,判斷胎面對(duì)稱(chēng)性.

圖10 膠條截面

(1)實(shí)例1

如表1、表2所示,給定的進(jìn)給膠條速度為16 m/min,給定的膠條膠料密度為0.94 g/cm3.

表1 輪胎基線坐標(biāo)值

表2 理想胎面曲線工藝參數(shù)表

基于本文提出的算法,采用上述工藝參數(shù),得到的胎面纏繞仿真結(jié)果如圖11所示.

圖11 纏繞仿真結(jié)果圖

纏繞完成后的胎面效果如圖11所示,紅色輪廓為理想胎面曲線,黑色邊界即為實(shí)際纏繞胎面.根據(jù)胎面所用膠條總長(zhǎng)度和膠條截面面積計(jì)算出輪胎的總重量為37.71 kg,在HG/T 4958-2016 行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)與國(guó)內(nèi)某合作企業(yè)要求37.31±0.56 kg 的范圍內(nèi).纏繞完成后,根據(jù)計(jì)算胎肩兩側(cè)的高度分別為左側(cè)141.1 mm,右側(cè)為141.5 mm,右胎肩高度比左胎肩高度高0.2%,對(duì)稱(chēng)性滿足要求.生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)根據(jù)胎面纏繞所需膠條的總長(zhǎng)度以及進(jìn)給膠條速度計(jì)算得到大約為10 min.

(2)實(shí)例2

如表3、表4所示,給定的進(jìn)給膠條速度為16 m/min,給定的膠條膠料密度為0.94 g/cm3.

表3 輪胎基線坐標(biāo)值

表4 理想胎面曲線工藝參數(shù)表

基于本文提出的算法,采用上述工藝參數(shù),得到的胎面纏繞仿真結(jié)果如圖12所示.

圖12 纏繞仿真結(jié)果圖

纏繞完成后的胎面效果如圖12所示,紅色輪廓為理想胎面曲線,黑色邊界即為實(shí)際纏繞胎面.根據(jù)胎面所用膠條總長(zhǎng)度和膠條截面面積計(jì)算出輪胎的總重量為30.10 kg,在HG/T 4958-2016 行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)與國(guó)內(nèi)某合作企業(yè)要求30.00±0.31 kg 的范圍內(nèi).纏繞完成后,根據(jù)計(jì)算胎肩兩側(cè)的高度分別為左側(cè)53.9 mm,右側(cè)為54.1 mm,右胎肩高度比左胎肩高度高0.3%,對(duì)稱(chēng)性滿足要求.生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)根據(jù)胎面纏繞所需膠條的總長(zhǎng)度以及進(jìn)給膠條速度計(jì)算得到大約為8 min.

5 結(jié)論

針對(duì)計(jì)算開(kāi)環(huán)控制的胎面纏繞生產(chǎn)系統(tǒng)中配置的胎面纏繞系統(tǒng)算法性能差的問(wèn)題,本文提出了一種基于NURBS曲線的胎面纏繞仿真算法.該算法對(duì)胎面纏繞過(guò)程中的曲線仿形效果較好,其中基于PSO 的NURBS曲線求交算法能快速穩(wěn)定的計(jì)算出合理的膠條起點(diǎn),具有編程簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn).相比與以往的胎面纏繞,本算法不再側(cè)重于纏繞精度的問(wèn)題,而在保證纏繞精度的基礎(chǔ)上大幅提高了纏繞的效率.通過(guò)兩次實(shí)例實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖表明,纏繞后的胎面形狀較好,滿足胎面的對(duì)稱(chēng)性要求,輪胎重量符合行業(yè)要求,生產(chǎn)總時(shí)長(zhǎng)大幅降低,能有效的提高生產(chǎn)效率.