建立虛功模型處理平衡問題

王磊 陳建文

摘 ? 要：虛功原理是理論力學(xué)中的經(jīng)典理論，應(yīng)用虛功原理可以簡化一些物理問題的處理。通過分析虛功原理的簡要發(fā)現(xiàn)歷程，構(gòu)建不同類型的物理模型，展示了虛功原理在平衡問題、圓周運動問題和電學(xué)問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：虛功;力學(xué);平衡;虛位移

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2022）4-0060-3

1 ? ?虛功原理的背景

虛功原理是在機械模型中逐漸被認(rèn)識到的。早在古希臘時期，哲學(xué)家亞里士多德在研究杠桿機械模型時受到圓周運動的啟發(fā)得到這樣的結(jié)論：當(dāng)杠桿兩端重物的運動速度與其重量成反比時杠桿平衡（圖1）。速度反比即為位移反比[1]，這個結(jié)論本質(zhì)上已經(jīng)接近于虛功原理，因兩邊重力做功相互抵消。

2 ? ?虛功原理在中學(xué)物理問題中的應(yīng)用

例1 ?如圖3所示，一個半徑為R的四分之一光滑圓柱面固定在水平桌面上，柱面上有一條單位長度質(zhì)量為λ的均勻繩索。繩索因A端受到水平拉力F作用而平衡，繩索另一端B剛好與桌面接觸，求水平拉力F的大小。

例2 如圖4所示，一均勻的柔軟粗繩，單位長度質(zhì)量為λ。穿過半徑為R的滑輪，繩的兩端吊在天花板的兩顆釘子A、E上，AE之間距離為2R，滑輪軸上掛一個重物，重物與滑輪的總質(zhì)量為M，不計摩擦力。求繩最低點C處的張力。

例3 如圖5所示，一直角三棱柱，其斜邊水平固定在地面上，三棱柱的一個底角為θ。一條質(zhì)量均勻分布的軟繩跨過直角兩邊，不計一切摩擦，三棱柱的頂端圓滑。證明當(dāng)繩平衡時它兩邊的端點M、N必在同一水平面上。

解析：設(shè)繩總長為l，繩的單位長度質(zhì)量為λ，斜面左側(cè)繩長為s，則右側(cè)繩長為l-s，故有左側(cè)繩受重力為m1g=λsg，右側(cè)繩受重力為 m2g=λ（l-s）g。設(shè)繩平衡后左邊沿斜面下滑一微小位移Δx，則左側(cè)繩重心下降高度為Δxsinθ，右側(cè)繩重心上升高度為Δxcosθ。根據(jù)虛功原理有λsgΔxsinθ=λ（l-s）gΔxcosθ，整理得ssinθ=（l-s）cosθ，故M、N等高。

解析：以整個轉(zhuǎn)動系統(tǒng)為參照系，A、B兩球受到的慣性離心力FA=FB=mω2lsinα。設(shè)輕桿繞O點產(chǎn)生一個微小的角位移Δα，則A、B兩球在水平方向的微小位移為Δx=lΔαcosα，豎直方向的微小位移為Δy=lΔαsinα，物塊C豎直向上移動的距離為2Δy，在轉(zhuǎn)動系統(tǒng)參照系下應(yīng)用虛功原理，有FAΔx+FBΔx=mAgΔy+mBgΔy+Mg2Δy，整理可得2mω2lsinα·lΔαcosα=2mglΔαsinα+Mg2lΔαsinα，進(jìn)一步整理得α=arccos。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡娜.力學(xué)原理的真理性反思——以虛功原理為例[J].自然辯證法研究，2016，32（5）：95-100.

[2]張朝良.例談虛功原理在靜力學(xué)問題中的效用[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2019，48（5）：91.

（欄目編輯 ? ?蔣小平）