裂縫反演問題的線性抽樣法

秦藝濛，陳博

裂縫反演問題的線性抽樣法

秦藝濛，陳博

（中國民航大學(xué) 理學(xué)院，天津 300300）

在無損檢測等應(yīng)用領(lǐng)域，經(jīng)常需要借助聲波檢測物體的內(nèi)部裂縫，在裂縫反演過程中需要建立求解算法，其中一類重要的算法是線性抽樣法．結(jié)合前期的一些研究工作，介紹頻域和時(shí)域裂縫反演問題的線性抽樣法，并在此基礎(chǔ)上介紹半空間內(nèi)裂縫反演問題的求解思路．

裂縫反演問題；線性抽樣法；頻域；時(shí)域

無損檢測，也叫無損探傷，是在不損害被檢測對象的前提下，采用射線、超聲等技術(shù)，并結(jié)合儀器對材料、設(shè)備進(jìn)行缺陷和物理參數(shù)檢測的技術(shù)．

在聲波檢測中， 根據(jù)選取聲波類型的不同， 可以得到頻域和時(shí)域２類問題． 當(dāng)聲波選取為時(shí)諧波時(shí)， 波的震動(dòng)隨時(shí)間的變化是規(guī)律的，通過技術(shù)處理可以消除時(shí)間變量的影響，從而得到與Helmholtz方程相關(guān)的頻域問題[1-3]．當(dāng)聲波選取為時(shí)間相關(guān)的、非時(shí)諧的聲波時(shí)，則會得到波動(dòng)方程相關(guān)的時(shí)域問題[4-6]． 對于裂縫反演問題，文獻(xiàn)[7]給出了頻域問題求解的線性抽樣法，文獻(xiàn)[8]給出了時(shí)域問題求解的線性抽樣法．

本文以文獻(xiàn)[7-8]的研究為基礎(chǔ)，簡單介紹頻域和時(shí)域裂縫正反散射問題，以及反散射問題求解的線性抽樣法．此外，雖然頻域和時(shí)域裂縫反演問題都已經(jīng)有了較為成熟的研究結(jié)果，但這些研究都還沒有被推廣到對應(yīng)的半空間問題上．作為未來研究的啟發(fā)，結(jié)合前期半空間問題研究經(jīng)驗(yàn)[9]和時(shí)域問題分析基礎(chǔ)[10]， 對時(shí)域半空間內(nèi)裂縫反演問題進(jìn)行簡單的介紹．

1　頻域問題

頻域問題的研究起步較早，近幾十年來，國內(nèi)外研究人員對眾多頻域散射和反散射問題進(jìn)行了較為深入的研究， 其理論體系已相對成熟． 作為時(shí)域研究的基礎(chǔ)，對頻域裂縫正反散射問題給出簡單的介紹， 更多頻域問題的相關(guān)理論基礎(chǔ)可以查閱文獻(xiàn)[1]．

頻域問題常需要考慮的漸近行為是

對于反散射問題的求解，頻域線性抽樣法的核心為遠(yuǎn)場方程[7]280．引入遠(yuǎn)場算子

頻域線性抽樣法的求解方案為：

2　時(shí)域問題

時(shí)域問題是指含有時(shí)間變量的問題，這里考慮聲波為非時(shí)諧的、時(shí)間相關(guān)的，此時(shí)，聲波波場滿足波動(dòng)方程．

2.1　時(shí)域問題描述

定義線源入射形成的柱面入射波為

時(shí)域正散射問題常采用推遲勢邊界積分方程方法進(jìn)行求解，其中的位勢函數(shù)理論對于時(shí)域線性抽樣法的理解和“爆破性”的證明非常關(guān)鍵．因此，先介紹本文用到的單層位勢函數(shù)和位勢算子的定義，作為反問題求解的基礎(chǔ)．

一般情況下，時(shí)域單層位勢函數(shù)被定義為

時(shí)域位勢函數(shù)和位勢算子是時(shí)域問題分析的基礎(chǔ)， 對于正問題邊界積分方程的建立和反問題線性抽樣法的分析都至關(guān)重要．

2.2 時(shí)域線性抽樣法

對于時(shí)域反散射問題的求解，使用時(shí)域線性抽樣法．雖然線性抽樣法是非常經(jīng)典的成像方法，但時(shí)域問題的線性抽樣法直到近年來才受到人們的關(guān)注，這是由于時(shí)域問題的分析和計(jì)算都相對復(fù)雜，特別是對正問題時(shí)間變量的數(shù)值處理，需要借助于CQ方法等數(shù)值手段．時(shí)域線性抽樣法的理論建立在正問題位勢函數(shù)理論的基礎(chǔ)之上．

時(shí)域線性抽樣法以近場算子和檢驗(yàn)函數(shù)為基礎(chǔ)，通常將近場算子定義為

定義檢驗(yàn)函數(shù)

在近場算子和檢驗(yàn)函數(shù)的基礎(chǔ)之上，建立近場方程

之后， 根據(jù)

線性抽樣法是經(jīng)典的數(shù)值反演方法，在裂縫、障礙體和可穿透介質(zhì)的反演中具有廣泛的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)物理研究的重要組成部分，在無損探傷、醫(yī)學(xué)成像和海底聲吶等領(lǐng)域都具有廣闊的應(yīng)用前景．其作用原理建立在抽樣法的框架之下，關(guān)鍵在于找到一個(gè)指示函數(shù)，其值在散射體區(qū)域和其它區(qū)域有明顯的不同．線性抽樣法“爆破性”的證明方案已經(jīng)非常成熟，可以在理論上驗(yàn)證該方法的可行性，然而，對于近場方程的構(gòu)造機(jī)制和時(shí)間偏移參數(shù)的作用原理等深層問題，目前還都沒有完善的結(jié)論，有待研究人員做進(jìn)一步的探索．

2.3　時(shí)域半空間問題

前面所講的頻域和時(shí)域問題都建立在二維全空間的條件下，接下來，考慮在半空間內(nèi)的時(shí)域散射和反散射問題．對于半空間問題的求解，一個(gè)很大的難點(diǎn)是半空間的邊緣是無界的，因此，不論是正散射問題求解的邊界積分方程方法還是反散射問題求解的線性抽樣法，都需要首先處理無界邊界的問題．

對半空間問題，直接用線性抽樣法求解是不可行的，這是因?yàn)榘肟臻g邊界對波場也會造成散射，全空間問題的Green函數(shù)方法不能直接推廣到半空間問題上來．因此，采用對稱延拓的方法，將半空間問題轉(zhuǎn)化為全空間內(nèi)的對稱問題．

有

半空間問題的具體理論分析建立在半空間內(nèi)Green函數(shù)的基礎(chǔ)之上，其理論特征和全空間問題有所差別．即使轉(zhuǎn)化為全空間內(nèi)的對稱散射問題，其對稱特性也會對散射問題的分析造成一定的影響，在數(shù)值反演時(shí)，反演圖像在上下半空間分界線上也有明顯的半空間問題特征，這里不做具體的論述．

3　結(jié)語

本文簡單介紹了頻域和時(shí)域裂縫散射和反散射問題．對頻域和時(shí)域問題，分別給出了問題模型，介紹了反散射問題求解的線性抽樣法，并對時(shí)域半空間內(nèi)裂縫反演問題的求解進(jìn)行了簡單的說明．

[1] Colton D，Kress R．Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory[M]．3rd ed．Berlin：Springer press，2013．

[2] Colton D，Kress R．Integral Equation Methods in Scattering Theory[M]．New York：John Wiley，1983．

[3] Colton D，Monk P．Recent developments in inverse acoustic scattering theory[J]．Siam Review，2000，3：369–414．

[4] Sayas F J．Retarded Potentials and Time Domain Boundary Integral Equations：A Road-Map[M]．Switzerland：Springer press，2016．

[5] Banjai L，Sauter S．Rapid solution of the wave equation in unbounded domains[J]．SIAM Journal on Numerical Analysis，2008， 1：227–249．

[6] Chen Q，Haddar H，Lechleiter A，et al．A sampling method for inverse scattering in the time domain[J]．Inverse Problems，2010（8）：085001．

[7] Cakoni F，Colton D．The linear sampling method for cracks[J]．Inverse Problems，2003（2）：279–295．

[8] Yue Y，Ma F，Chen B．Time domain linear sampling method for inverse scattering problems with cracks[J]．East Asian Journal on Applied Mathematics，2022，12（1）：96–110．

[9] Chen B，Ma F，Guo Y．Time domain scattering and inverse scattering problems in a locally perturbed half-plane[J]．Applicable Analysis，2017，96（8）：1303–1325．

[10] Chen B，Guo Y，Ma F，et al．Numerical schemes to reconstruct three-dimensional time-dependent point sources of acoustic waves[J]．Inverse Problems，2020（7）：075009．

linear sampling methods for the reconstruction of cracks

Qin Yimeng，Chen Bo

（School of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

In the application fields of nondestructive testing，it is often necessary to detect the internal cracks of objects with the help of acoustic waves．In the process of crack inversion，it is necessary to establish a solution algorithm，one of which is the linear sampling method．Combined with some previous research work，the linear sampling method of frequency domain and time domain crack inversion is introduced．On this basis, the solution idea of fracture inversion in half space is introduced．

reconstruction of cracks；linear sampling method；frequency domain；time domain

1007-9831（2022）04-0009-05

O241.8

A

10.3969/j.jssn.1007-9831.2022.04.003

2021-12-02

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12101603）；中國民航大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（202110059070）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目中國民航大學(xué)專項(xiàng)（3122021072）；中國民航大學(xué)國家自然科學(xué)基金配套專項(xiàng)（3122022PT19）

秦藝濛（2001-），女，湖北襄陽人，在讀本科生．E-mail：1016355743@qq.com

陳博（1990-），男，河南南陽人，講師，博士，從事偏微分方程反問題數(shù)值解法研究．E-mail：charliecb@163.com