等不到的公交車

許旭

你一定有過等公交車的經(jīng)歷，少數(shù)情況下公交車很快就來了，大多時候苦等十幾甚至幾十分鐘都等不到需要的那班車，可是看看站臺上的車目表，發(fā)車時間間隔通常僅為5～10分鐘！為什么我這么倒霉，每次都要等上這么長時間呢？別急，其實這種現(xiàn)象很常見。

等車時間如何算：（A）簡化的巴士時刻表（B）等車時間的第一種計算方法，不夠準(zhǔn)確（C）公車到站時刻的圓餅圖（D）等車時d58a42ae1bce9523078c53e35b91bd23間的正確計算方法。

苦等公交車時，你一定深深懷疑過公交車的發(fā)車時間間隔，如果它真的按照要求的時間發(fā)車，怎么可能需要等上這么長時間呢？讓我們來檢查一下，公交車是否真的按時發(fā)車了。

假設(shè)公交車的發(fā)車間隔是10分鐘，也就是說，每兩輛車都會間隔10分鐘到達(dá)站臺。這樣的話，上一班公交車可能在你到達(dá)前5分鐘離開，那么你需要等5分鐘，也可能車子剛剛離開，你要等上10分鐘，還有的時候可能剛剛好趕上下一班公交車，可以算出，理想情況下，平均等車時間為5分鐘。但是我們知道，真實生活中，公交車會遇上堵車、意外而遲到或者因乘客較少而早到的情況，到站間隔時間不可能正好為10分鐘，這些時候我們的等車時間會怎樣變化呢？

因為發(fā)車時間為10分鐘，1小時里一定會有6輛公交車出發(fā)，我們可以認(rèn)為，1小時里每一個站臺都一定會來6輛車。但這些車的到達(dá)時間并不一致，假設(shè)其中4輛到達(dá)間隔為5分鐘，另外兩輛到達(dá)間隔就為20分鐘，我們既可能遇到到得快的車，也可能遇上到得慢的車。在第一種情況中，乘客們的平均等車時間可以算出是2.5分鐘，第二種情況則平均需要等10分鐘。也許你還會想，第一種情況的車更多，因此我們遇上快車的幾率更大，平均等車時間會比5分鐘更少。

事實真的如此嗎？看看鐘表，你更能搞清楚真相。雖然慢車只有兩輛，但它們的到達(dá)時間間隔為20分鐘，這意味著在整整40分鐘的時間里，僅有兩輛駛得慢的公交車到站，要遇上快車，則需要在另20分鐘到達(dá)車站。那么，你到達(dá)車站的時候，是遇上快車的幾率大還是慢車的呢？很明顯，遇上慢車的幾率為40/60，遇上快車的幾率則僅有20/60?？紤]到等到兩種車的幾率大小后，我們可以算出等車的平均時間了：2.5×20/60+10×40/60=7.5分鐘。如果繼續(xù)假設(shè)其他間隔時間，我們可以發(fā)現(xiàn)，慢車的到達(dá)時間越長，算出的平均等車時間也會更長，甚至能達(dá)到數(shù)十分鐘。

這就解釋了為什么公交車明明準(zhǔn)點發(fā)車，乘客卻苦苦等不到車的原因：當(dāng)有一輛車到達(dá)時間晚點時，人們的平均等待時間會變長。而且，由于多數(shù)人會出現(xiàn)在等待時間更長的時段里，也就會有更多人感覺自己的等車時間很長。

苦等公交車背后的數(shù)學(xué)規(guī)律被統(tǒng)計學(xué)家稱為檢查悖論，指的是觀察量的出現(xiàn)概率與觀察量自身相關(guān)，導(dǎo)致得出的結(jié)果有所偏差的現(xiàn)象。類似的故事在現(xiàn)實生活中還有很多：兩條公路總是選到堵車的那條、走到路口時總是遇到紅燈、選擇隊伍總是排到更長的一隊等，我們?yōu)槭裁纯偸沁@么“倒霉”？

當(dāng)你站在一個岔路口時，你面臨著向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)的選擇，而你選擇左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)的概率有多大呢？你可能會認(rèn)為這是一個隨機(jī)的選擇，兩個方向的選中概率是均等的。但是，在日常生活中，我們對道路的選擇實際上依賴于過往的經(jīng)驗，我們會判斷哪條路能更快到達(dá)終點、遭遇堵車的可能性是否更大等，依據(jù)判斷，選中其中一個方向的概率就會遠(yuǎn)大于另一個方向。而大多數(shù)人對道路的判斷是相似的，也就是說，會有更多的人選中同一道路，這樣的話，堵車的概率不就比不堵車的要高得多嗎？統(tǒng)計學(xué)告訴我們，大多數(shù)人都會行駛在有更多車的路上，當(dāng)我們再去詢問人們，是否常常遭遇堵車時，也就會有更多人的答案是肯定的，平均來看，人們的堵車概率就大大增加了。同樣的道理，在路口遇到紅燈、選中更長的隊伍的人更多也不足為奇。

調(diào)查悖論不僅能幫助我們理解“霉運”，運用這個規(guī)律，我們還能追蹤疾病的傳播源頭。根據(jù)檢查悖論，你的朋友往往比你本人擁有更多的朋友：假設(shè)有9個人，其中6人每人有4個朋友，另外3人每人有12個朋友。你一開始并不認(rèn)識這9個人，要與他們成為朋友，哪幾個人的概率更大一些？與等公交車相似，并不是朋友數(shù)量較少而總?cè)藬?shù)較多的那6人更容易成為你的朋友，而是另外3人。想想很簡單，你更有可能跟朋友更多的人交朋友，因為他們的人際關(guān)系網(wǎng)范圍更大，容易結(jié)識更多的人，成為你的朋友的概率更高。

那么，如何運用這個規(guī)律追蹤傳染疾病源頭呢？科學(xué)家們曾經(jīng)在美國哈佛大學(xué)的學(xué)生中做過一個實驗，隨機(jī)選擇一群人，再由這些人各自選擇一位朋友，這群朋友構(gòu)成第二群人。根據(jù)檢查悖論，第二群人的朋友要比第一群人多，他們的交際活動更多，據(jù)此推斷，第二群人在流行病爆發(fā)的時候更容易或更早被感染。流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果證實了這一推斷，流行病在第二群人中爆發(fā)的時間比第一群人的確實早了大約兩周。更早找出疾病源頭，這對于流行病預(yù)防和免疫研究具有重大意義。

生活中，類似“等不到的公交車”這樣的錯覺還有很多，它們可能會在不知不覺中改變我們的心態(tài)，影響我們的生活。但其實，這些所謂的“倒霉事”背后不過是簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律，改變自己慣常的認(rèn)知習(xí)慣，運用數(shù)學(xué)規(guī)律，可以幫助我們解決大問題。