例說與球有關(guān)的切、接問題

■譚先美

與球有關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點(diǎn),也是同學(xué)們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。為了更好地學(xué)好這部分內(nèi)容,下面歸納幾種常見題型,供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

一、錐體的外接球問題

例1 已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別為AB,BC,CD的中點(diǎn),則正四面體ABCD的外接球被平面EFG所截的截面面積是( )。

解：將正四面體ABCD放入正方體中,如圖1所示。

圖1

因?yàn)镋,G分別為AB,CD的中點(diǎn),所以E,G分別為左右側(cè)面的中心,所以正方體的外接球即為正四面體的外接球,其球心為線段EG的中點(diǎn),所以正四面體ABCD的外接球被平面EFG所截的截面即為大圓。

二、柱體的外接球問題

例2 已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2 的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為( )。

評(píng)注：所有圓柱都有外接球,其球心是上下兩底面圓的圓心連線的中點(diǎn)。

三、臺(tái)體的外接球問題

圖2

四、錐體的內(nèi)切球問題

解：如圖3,過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D,AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E。

圖3

在正三棱錐P-ABC中,因?yàn)椤鰽BC是正三角形,所以AE是BC邊上的高和中線,D為△ABC的中心,PD為正三棱錐的高,內(nèi)切球的球心O在正三棱錐的高上。

五、柱體的內(nèi)切球問題

圖4