小議折疊問題

■姚 潔

平面圖形的折疊問題是高考的?？碱}型,解答這類問題的關(guān)鍵是要分清折疊前后圖形(折疊前的平面圖形和折疊后的空間圖形)的各元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

一、折疊成四面體求體積

例1 將長、寬分別為4 和3 的長方形ABCD沿對角線AC折成二面角,得到四面體A-BCD,則四面體A-BCD的外接球的體積為____。

評注：求球的體積的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件以及圖形的性質(zhì)找到球心,確定球的半徑。

二、折疊成正方體,求異面直線所成的角

例2 一個正方體的展開圖如圖1 示,A,B,C,D為原正方體的頂點,則在原來的正方體中,AB與CD所成的角為( )。

圖1

A.30° B.45°

C.60° D.90°

解：把展開圖中的各正方形按圖2 所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原,得到圖3所示的直觀圖。

圖2

圖3

在圖3 中,因為BE//CD,所以∠ABE就是AB與CD所成的角。因為△ABE為等邊三角形,所以∠ABE=60°。應(yīng)選C。

評注：判斷異面直線的兩種方法:判定定理法,平面外一點與平面內(nèi)一點的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線;反證法,證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面,從而可得兩直線異面。

三、折疊成四棱錐,證明面面平行

例3 如圖4,矩形ABCD中,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE。若M為線段A1C的中點,N為DC的中點,則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中,平面A1DE與平面MNB的位置關(guān)系是( )。

圖4

A.垂直 B.相交不垂直

C.平行 D.無法確定

解：因為M為線段A1C的中點,N為DC的中點,所以MN//A1D。因為MN?平面A1DE,A1D?平面A1DE,所以MN//平面A1DE。同理可得,NB//平面A1DE。

又因為MN∩NB=N,所以平面MNB//平面A1DE。應(yīng)選C。

評注：證明面面平行的五種常用方法:利用面面平行的定義;利用面面平行的判定定理,如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化。

四、折疊成三棱錐,證明線面垂直

例4 如圖5,在正方形SG1G2G3中,E,F分別是G1G2,G2G3的中點,D是EF的中點,現(xiàn)沿SE,SF及EF把這個正方形折成一個幾何體,使G1,G2,G3三點重合于點G?，F(xiàn)給出下列五個結(jié)論:①SG⊥平面EFG;②SD⊥平面EFG;③GF⊥平面SEF;④EF⊥平面GSD;⑤GD⊥平面SEF。

圖5

其中正確的結(jié)論是( )。

A.①③ B.②⑤ C.①④ D.②④

解：因為在折疊過程中,始終有SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,所以SG⊥GE,SG⊥GF,可得SG⊥平面EFG,①正確,②錯誤。因為SG⊥GF,SG⊥GD,所以GF不垂直于SF,GD不垂直于SD,即GF不垂直于平面SEF,GD不垂直于平面SEF,③⑤錯誤。因為EF⊥GD,EF⊥SG,GD∩SG=G,所以EF⊥平面GSD,④正確。應(yīng)選C。

評注：證明線面垂直的三種常用方法:利用線面垂直的定義,直線a與平面α內(nèi)的任何直線都垂直,則a⊥α;判定定理1,m,n?α,m∩n=A,l⊥m,l⊥n?l⊥α;判定定理2,若a//b,a⊥α,則b⊥α。

五、折疊成四棱錐,求直線與平面所成角

例5 如圖6,在平面五邊形EABCD中,已知BCDE是邊長為4 的正方形,△ABE是正三角形。

圖6

把△ABE沿BE折起得到四棱錐A-BCDE,使得點A在平面BCDE上的投影是正方形BCDE的中心(如圖7),則AB與平面BCDE所成角的正切值是____。

圖7

解：依題意可知,把△ABE沿BE折起,使得點A在平面BCDE上的投影是正方形BCDE的中心,則得到的四棱錐A-BCDE是正四棱錐。

評注：求直線與平面所成角就是求直線與平面的射影所成的角,一般需要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行求解。

如圖8,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,E,F分別是AB,PD的中點。

圖8

求證:AF//平面PCE。