探求線面平行中平行關(guān)系的尋找方法

■甄新鋒

線面平行是指直線與平面平行,是一種常見的空間位置關(guān)系。證明直線與平面平行,關(guān)鍵是在所給平面內(nèi)尋找一條與已知直線平行的直線。下面就線面平行中平行關(guān)系的尋找方法進行歸納,以期對同學(xué)們探索線面平行有所幫助。

一、利用三角形的中位線定理尋找線線平行

在證明線面平行時,可以構(gòu)造合適的三角形,利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理證明線面平行。

例 1 如圖 1 所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D為AC的中點。求證:AB1//平面BC1D。

圖1

證明：設(shè)B1C與BC1交于點O。

因為平面BCC1B1是平行四邊形,所以O(shè)是BC1的中點。

又D是AC的中點,所以O(shè)D是△ACB1的中位線,所以O(shè)D//AB1。

因為OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D,所以AB1//平面BC1D。

方法點撥：在構(gòu)造三角形的中位線時,要注意關(guān)注中點、線段的垂直平分線、三角形的重心等信息,結(jié)合圖形的特征尋找中位線。

二、利用平行四邊形的性質(zhì)尋找線線平行

在證明線面平行時,大膽平移,合理猜想,構(gòu)造平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)證明直線與直線平行,即得直線與平面平行。

例2 如圖2,在四棱錐P-ABCD中,AD//BC,AD=2BC,M為PD的中點,證明:CM//平面PAB。

圖2

因為CM?平面PAB,BN?平面PAB,所以CM//平面PAB。

方法點撥：通過直觀觀察,若平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線長度相等,一般猜想構(gòu)造平行四邊形,這時利用平行四邊形對邊平行得出線線平行,進而得到線面平行。

三、利用相似比尋找線線平行

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊,這也是得到線面平行的一種有力工具。

1.4 光照。蠶豆是喜光的長日照作物，對光照的反應(yīng)有一定的適應(yīng)性。適宜的日照（一般為12～14小時以上），能夠有效促進植株開花結(jié)實。蠶豆光合生產(chǎn)率有兩個高峰期，一是在開花結(jié)莢期，一是在鼓粒灌漿期。

圖3

方法點撥：利用比值關(guān)系,尋找線線平行,進而得到線面平行。

四、利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行

利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到直線與直線平行,進而得到直線與平面平行。

例4 如圖4 所示,ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH,求證:GH//平面PAD。

圖4

證明：設(shè)AC與BD交于點O。

在△APC中,MO是△APC的中位線,所以MO//PA。因為PA?平面MBD,MO?平面MBD,所以PA//平面MBD。

因為平面GAP∩平面BDM=GH,PA?平面GAP,所以PA//GH。

又GH?平面PAD,PA?平面PAD,所以GH//平面PAD。

方法點撥：先證明線面平行,再利用線面平行的性質(zhì)定理,得到線線平行,進而得到線面平行。

1.在三棱錐A-BCD中,E,F分別是AB和BC上的點,若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,則直線AC與平面DEF的位置關(guān)系是( )。

A.平行

B.相交

C.直線AC在平面DEF內(nèi)

D.不能確定

提示：由AE∶EB=CF∶FB=2∶5,可得EF//AC。因為EF?平面DEF,AC?平面DEF,所以AC//平面DEF。應(yīng)選A。

提示：利用特殊化法求四棱錐B-APQC的體積。取三棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱,且P,Q為側(cè)棱中點,如圖5所示。

圖5