圓錐曲線統(tǒng)一焦半徑定比公式

賴平民 黃藝超

通過極坐標系可以完美實現(xiàn)高中數(shù)學中三個圓錐曲線方程的統(tǒng)一，當然極坐標系不止方便了對圓錐曲線的研究，也可以研究很多“美麗”的曲線，比如對數(shù)螺線、玫瑰線、心臟線、雙紐線等等，這里不做介紹，高中教材對極坐標系中三個曲線方程的統(tǒng)一形式的要求較低，研究并沒有深入，一些教師也并不重視，很多學生幾乎都忘了有這個知識點，其實該知識點不只是在原來高考中選考部分應用，在選擇題、填空題中一些中檔偏難的題目涉及圓錐曲線的焦半徑的考查也很常見的，因此一些學有余力或?qū)?shù)學特別喜歡的學生對圓錐曲線統(tǒng)一方程可以進行一些更深入的探討及延伸，不僅對一些題目可以起到簡化解題過程、另辟蹊徑的效果，也加深了學生對圓錐曲線及極坐標方程的認識，本文引用圓錐曲線在極坐標系下統(tǒng)一方程的結(jié)論，進一步推導統(tǒng)一圓錐曲線焦半徑定比公式，并進行簡單的應用.

1.圓錐曲線統(tǒng)一方程

2.焦半徑定比公式

由以上四個類型的方程，我們可以進一步研究直線過曲線焦點的各種情況，并得到焦半徑之比與離心率和極角之間的關(guān)系，圓錐曲線焦點弦交曲線所得焦半徑定比公式有多種形式，特別是雙曲線焦半徑定比公式有所不同，以直線所過焦點為極點，右方向為極軸，建極坐標系，根據(jù)不同曲線及極點所在的不同位置有多種情況，不妨設(shè)焦半徑之比

3 焦半徑定比公式的統(tǒng)一

以上四種情況所得到的關(guān)系式對拋物線及過焦點的直線與雙曲線兩個交點在同一支時同樣適用，但當直線l交雙曲線于兩支時有所不同，情況比較復雜，由極坐標方程推導定比關(guān)系式也不盡相同，具體又有另外八種情況，現(xiàn)以焦點在x軸，中心在原點的雙曲線右焦點為極點的兩種情況為例，設(shè)傾斜角為a的直線l與雙曲線左右支的兩個交點

①雙曲線的右焦點F為極點，若直線l過極點且傾斜角a∈（0，β）時與雙曲線的左右兩支交于A，B兩點如圖3，則：

②雙曲線右焦點F為極點，若直線l過極點且傾斜角α∈（π-β，π）時與雙曲線兩個交點在左右兩支時如圖4，則：

4 焦半徑定比公式的應用

例1 （2020年高考福建省質(zhì)檢.10）設(shè)曲線E的方程為y= 6x2，曲線E的弦AB過焦點F，|AF|=3|BF|，過A，B分別作E的準線的垂線，垂足分別是A'，B'，則四邊形AA'B'B的面積等于（ ）.

A. 4√3

B. 8√3

C. 16√3

D. 32√3

分析本題考查過定點的直線與己知拋物線的位置關(guān)系、直角梯形的面積，拋物線的定義等知識點，一般采用的解題方法是假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，由|AF|=3|BF|，通過根與系數(shù)關(guān)系求直線方程，進一步求A，B兩點的坐標解題，作為一道選擇題此法運算偏繁瑣;也可過B點作AA'的垂線，把梯形分解為矩形和直角三角形，由拋物線定義結(jié)合幾何關(guān)系解題，線段間的關(guān)系轉(zhuǎn)換比較多，以下通過焦半徑定比公式解題，

分析 本題主要考查學生數(shù)學運算、邏輯推理能力，一般解題策略是假設(shè)過P點的直線方程，設(shè)A，B兩點的坐標，聯(lián)立拋物線方程，由線段PA與PB乏間的關(guān)系通過坐標運算求A，B兩點的坐標求解，運算相對費時費力，變形過程技巧較多，以下簡單介紹焦半徑定比公式的解題方法，

例3 （2020年高三第三次質(zhì)檢福州卷.16）已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD= 45°，以A，D為焦點的雙曲線Γ經(jīng)過B，C兩點，若|CD|=7 |AB|，則Γ的離心率為____.

分析 本題考查運算能力、推理能力;考查數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，綜合性較強，常規(guī)的聯(lián)立方程根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系解法過程相對繁瑣，以下介紹用焦半徑定比公式進行解題的方法，

關(guān)于圓錐曲線在極坐標系中的研究及定比公式的統(tǒng)一形式，不應該作為一種結(jié)論直接讓學生記憶，一味提倡學生盲目地模仿、機械地解題，膚淺地強調(diào)進行所謂“秒殺”題目，而應該研究各種方程在極坐標下的統(tǒng)一過程，直線與曲線的各種不同相交情形下的焦半徑定比公式的推導以及統(tǒng)一形式的過程，引導學生共同推演，逐步完善，是一個很有趣的思維拓展過程，可以提升學生邏輯推理、直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，增強對數(shù)學知識拓展的興趣，豐富解題手段的多樣性，

參考文獻

[1]周和卿.再探圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標方程[J].數(shù)學學習與研究，2012 （17）：88-90

[2]王樹禾.普通高中實驗教科書：數(shù)學（選修4-4坐標系與參數(shù)方程）[M].長沙：湖南教育出版社，2009

[3]趙篤全.關(guān)于方程p=ep/1-ecosθ的推廣[J].中學數(shù)學教學參考，1994（8）：32

[4]程德吾.有關(guān)極坐標系雙曲線方程的探討[J].中學數(shù)學教學，1982（02）：16-21