也談數(shù)學多選題的命制方式

吳青平

2020年是山東、海南實行綜合改革后的首次高考，新高考數(shù)學在題型上把選擇題分成單選題和多選題，“多選題的引入，為數(shù)學基礎和數(shù)學能力在不同層次的學生提供了發(fā)揮空間，同時能夠更加精準地發(fā)揮數(shù)學科考試的區(qū)分選拔功能.”[1]

其實，對于多選題我們并不陌生，回顧以往的高考試題，在選擇題和填空題中都能找到多選題的影子，它們基本上都是以判斷命題是否正確的形式出現(xiàn)，新高考I卷第9題（II卷第10題）、第11題（n卷第12題）、第12題，新高考II卷第9題便是這種形式，有學者針對新高考的多選題，提出四種命制方式，即“相同或不同知識塊命題的多樣性”，“一個數(shù)學對象屬性的多樣性”，“相同條件下可推出的結論的多樣性”，“條件削弱導致的結論的多樣性”等，[2]所展示的試題大致也都是判斷命題真假的結構，這些試題或者以同一數(shù)學對象為載體，考查該數(shù)學對象的不同性質或不同表示方式;或者考查不同數(shù)學對象的相同性質，這樣便為我們提供了多樣的試題命制方式.

1 數(shù)學對象屬性的多樣性

高中數(shù)學所學習的許多數(shù)學對象都可以作為考查的對象，如函數(shù)主題下的集合、函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列;幾何與代數(shù)主題下的空間幾何對象及圖形、解析幾何中的直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，從數(shù)學結構看，高中數(shù)學主要研究一個數(shù)學對象的特征，或兩個數(shù)學對象的關系，試題的命制也主要圍繞這兩個方面展開.

1.1 一個數(shù)學對象的特征研究

該類試題，主要是給定一個數(shù)學對象，設置不同性質以判斷其真假，是多選題命制的主要方式，數(shù)學對象可以由代數(shù)形式給出，如函數(shù)的解析式、曲線的方程、數(shù)列的通項公式等，有時代數(shù)形式中也會含有參數(shù)，需要對參數(shù)進行討論;數(shù)學對象也可以由幾何圖形展示，考查學生從圖形中提取有用信息的能力，下面通過不同的試題加以說明，

題1關于函數(shù)f（x）= sinx+cosx，下列結論正確的是（ ）.

A.f（x）的最小正周期是2π

B.f（x）的最大值是2

c.f（x）在（π/4，3π/4）上單調遞增

D.f（x）的圖象關于直線x=π/4對稱

答案：AD.

與單選題考查數(shù)學對象單一的性質比較，多選題能夠更好地考查學生對數(shù)學對象各個方面的性質的理解，從而更精準地測試和區(qū)分了不同層次學生的數(shù)學能力水平.[1]題1設計的四個選項全面考查了三角函數(shù)的周期性、單調性、對稱性及最值問題，除此之外，還可以考查三角函數(shù)的其它性質，如奇偶性、圖象變換、在給定區(qū)間的值域、與其它函數(shù)圖象的交點等.函數(shù)的形式可以是直接給出的的正弦型函數(shù)（f（x）= Asin（ωX+φ）），也可以是通過三角恒等變換后得到正弦型函數(shù)，如題1的f（x）= sinx+cosx;或者需要利用降冪公式化為正弦型函數(shù)，如f（x）= sin（sinx+cosx）;還可以是多項式函數(shù)與三角函數(shù)的復合，如f（x）= cosxsin2x （2013年全國高考大綱卷）.通過這樣的設計，按考查目標要求便可以編制大量的多選題，

對于函數(shù)及圓錐曲線，可以按類似的方式編制試題，題目從容易題到難題，有很大的選擇空間，我們舉一個與圓有關的簡單問題：

題2已知方程X2+ y2—2ax - 2ay=0表示圓，則下列結論正確的是（ ）.

A.圓心在直線y=x上

B.圓心在直線y=-x上

C.圓經(jīng)過原點

D.圓的半徑為√2a

答案：AC.

題2以圓的方程為載體，考查點（圓心）與直線、點與圓的位置關系以及圓的半徑等最基本的知識內容，圓心及半徑會隨著參數(shù)而改變，在變化中存在著不變的性質，這便是本題考查的實質，當然，從這些不變的性質出發(fā)，可以拓展考查直線與圓的位置關系，如弦長、切線等，按這樣的思路可以編制大量與圓有關的多選題，

題3己知等比數(shù)列{an}的公比為g，則下列結論正確的是（ ）.

A.若{an}為遞增數(shù)列，則a1>0

B.若{an）為遞增數(shù)列，則q>0

C.若q>1，則{an}為遞增數(shù)列

D.若a1

答案：BD.

題3以等比數(shù)列為背景考查數(shù)列的單調性，從充分條件和必要條件兩個角度設計問題，學生要正確解決問題，需要掌握等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列等價于（ ）

.以此題為范例，可以編制考查數(shù)列（如等差數(shù)列、可給定遞推公式的數(shù)列）的性質的多選題，

如果在函數(shù)的解析式或曲線的方程中引入?yún)?shù)，則可考查的面就更加的寬廣了，模仿新高考I卷第9題（n卷第10題），編制如下與函數(shù)性質有關的多選題：

題4己知函數(shù)f（x）：ax+b/x（ab≠0），下列結論正確的是（ ）.

A.f（x）的定義域為{xlx≠0}

B.f（x）是奇函數(shù)

C.當ab<0時，f（x）的值域為{y|y≠0}

D.當ab>0時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增

答案：AB.

題4所給的函數(shù)，有些性質是共通的，如定義域、奇偶性，有些性質與參數(shù)a，b的取值有關，如值域、單調性，因此對函數(shù)性質的考查是全面而且深刻的，本題可以對參數(shù)a，b進行賦值，得到不同的函數(shù)形式，則考查函數(shù)的性質將更加豐富，

由上可見，一個數(shù)學對象的特征研究是多選題編制的源泉.

1.2兩個數(shù)學對象的關系研究

除了一個數(shù)學對象的特征研究外，兩個數(shù)學對象之間的關系，也是高中數(shù)學研究的重點，如函數(shù)的圖象變換、兩個函數(shù)之間的關系、直線與圓錐曲線的位置關系等，是試題命制的主要依據(jù)，下列結論正確的是（ ）.

A.函數(shù)f（x），g（x）都是偶函數(shù)

B.函數(shù)g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)

C.[g（x）]2一[f（x）]2=l

D.[f（x）]2+[g（x）]2=g（2x）

答案：BCD.

題5是源于教材而高于教材的試題，主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性（一個數(shù)學對象的特征研究）以及兩個函數(shù)之間的運算關系，考查學生對指數(shù)冪的運算性質和指數(shù)函數(shù)的性質的掌握程度，以及運用化歸與轉化的思想進行推理論證的能力，

題6已知點P（a，b），直線l：ax +by=1，圓O：x2+ y2 =1，則下列結論正確的是（ ）.

A.若點P在直線，上，則點P在圓O上

B.若點P在圓p上，則直線，與圓O相切

C.若直線，與圓O有兩個公共點，則點O在圓內

D.若直線l與圓O相切，則切點為P

答案：ABD.

題6全面考查了點、直線與圓的位置關系，直線l與圓P相切，切點就是點P，這個結論顯得簡潔而優(yōu)美，無論從代數(shù)形式（點的坐標，直線、圓的方程）還是幾何特征，都要給人賞心悅目的直觀感受.

1.3數(shù)學圖形的研究

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學，不僅通過代數(shù)形式研究一個數(shù)學對象的特征和兩個數(shù)學對象的關系，而且也重視通過圖形直觀來研究數(shù)學對象的特征及關系，高中數(shù)學尤其重視對圖形的研究，如函數(shù)的圖象，直線、圓錐曲線的幾何表示，統(tǒng)計圖表等，通過圖形考查學生的識圖及信息整理能力，

題7如圖1，A（2，0），B（1，1），C （-1，1），D（-2，0），DC，CB，B分別是以OD，BC，O為直徑的圓的一段圓弧，三段圓弧構成曲線Q，則下列說法正確的是（ ）.

A.曲線Q的長度為2π

B.曲線Q與x軸圍成的面積為3π/2

C.直線x+y - 2√2=0與CB，BA都相切

D.圓x2+y2 =3與曲線Ω有4個交點

答案：AD.

題7的圖形來源于2019年全國Ⅲ卷高考試題，借助圖形考查曲線Q的幾何特征（長度、面積）以及直線與曲線Q、圓與曲線Q的位置關系（相切及交點個數(shù)），考查目標明確且多樣，優(yōu)美的圖形為試題錦上添花，

不僅如此，題7還為我們提供了編制該類試題的模板，我們也可以尋找一些優(yōu)美的圖形，設計考查幾何特征及與其它曲線（主要是直線或圓）的關系（可以是位置關系，也可以是數(shù)量關系）.更進一步，還可以給出曲線的方程，讓學生畫圖后再進行判斷，題8是源于教材的一道試題，與題7有異曲同工之妙，這也是我們在題7的基礎上編制的多選題，并提供兩種備選項，以此說明試題命制的多樣性：

題8對于曲線Ω：x2+ y2-|x|-|y|=0，下列說法正確的是（ ）.

備選1：A.曲線Q是中心對稱圖形

B.曲線Ω有且僅有兩條對稱軸

C.曲線Ω的長度為4π

D.曲線Ω圍成圖形的面積為π+2

答案：AD.

備選2：A.連接曲線Ω圍成圖形的內部任意兩點的線段在曲線Ω的內部

B.P，Q為曲線Ω上兩點，則|PQ|的最大值為2√2

C.若直線y=a與曲線Ω有公共點，則

D.若圓x2+y2=r2（r>0）與曲線Ω有4個交點，則r=√2

答案：BC.

題7給出圖形，考查學生的識圖能力，這是由形思數(shù)的直觀想象;題8則考查學生的畫圖、識圖能力（也可以直接由方程來討論其相關性質），這是以數(shù)助形的角度看問題，著重考查直觀想象數(shù)學核心素養(yǎng)，備選1考查一個數(shù)學對象的特征——曲線Ω的對稱性、長度、面積，屬于容易題;備選2則考查兩個數(shù)學對象的關系——曲線Ω上的點，曲線Ω與直線、圓的相交問題，屬于中難題，模仿題7與題8，可以設計一系列有關方程與函數(shù)的問題，從易到難，隨心所欲，

題9 2020年兩會“部長通道”工信部部長表示，中國每周大概增加1萬多個5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會發(fā)展的關鍵動力，下圖是某機構對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預測圖，則下列說法正確的是（ ）.

A. 2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高

B. 2022年我國5G用戶規(guī)模年增長戶數(shù)最多

C.這十年我國的5G用戶規(guī)模，后5年的平均數(shù)大于前5年的平均數(shù)

D.這十年我國的5G用戶規(guī)模，后5年的方差大于前5年的方差

答案：AC.

題9要求學生對所給圖形（折線圖及條形圖）中蘊含信息進行提取、加工，總結規(guī)律性的結論，考查學生對現(xiàn)實生活中實際數(shù)據(jù)的分析處理并做出統(tǒng)計推斷的能力，對統(tǒng)計圖表中提供的數(shù)據(jù)進行分析和處理在近年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，它們都可以改編成多選題.

2 不同數(shù)學對象具有相同屬性

從數(shù)學對象的性質看，不同數(shù)學對象的一些性質可以是相同的，因此命題時可以把相通的性質作為題干，選項則設計為不同的數(shù)學對象，這也是多選題命制的重要方式，之前那些題干設問為“可以是”的開放性試題（結論不唯一），便可以改編成多選題，下面舉例加以說明：

題10己知數(shù)列{an}的前4項分別為2，0，2，0，下列各式可以作為數(shù)列{an}的通項公式的是（ ）.

答案：ABC.

給出數(shù)列的前幾項，它的通項公式不一定是唯一的，有時會有多種表達形式，題10中的擺動數(shù)列就是典型的例子，

題11下面四個條件中，使“實數(shù)x，y中至少有一個數(shù)大于0”成立的充分而不必要的條件是（）.

A. x+y>0

B. xy>0

C.x-|y|>0

D.|x|-y>0

答案：AC.

一個結論成立的充分或必要條件也是不唯一的，這樣的試題與讓學生判斷兩個條件之間的充分必要關系相比，更加深刻地考查了學生對充分必要條件的理解與掌握程度.

題12如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)，函數(shù)y=f（x）/x在區(qū)間D上是減函數(shù)，則稱函數(shù)y=f（x）是區(qū)間D上的“緩增函數(shù)”，下列函數(shù)在（0，1）上是緩增函數(shù)的是（ ）.

A.f（x）=x+1

B.f（x）=x2+1

C.f（x）=ex

D.f（x） = Inx

答案：ABC.

把函數(shù)（或曲線）的性質作為題干出發(fā)探究滿足相關性質的函數(shù)（或曲線），是“一個數(shù)學對象的特征研究”的逆向問題，也是命制多選題的主要素材，題12以函數(shù)的單調性為載體，展示了這類試題編制的模板，由此出發(fā)，考查函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、最值等;或者把若干性質綜合考查，可以得到大量的多選題，選項中的函數(shù)也具有多樣性，根據(jù)考查知識及目標進行選擇，全面考查函數(shù)的基本概念及其性質特征，

比較大小是函數(shù)單調性的具體表現(xiàn)形式，新高考全國I卷第11題（n卷第12題）的選項ACD都指向ab與1/4的關系比較（由題干可得ab≤1/4），因此該題也可以歸于相同屬性的不同表達形式，題13對不等式性質的考查，正是這類試題的共性：

題13己知a>b>c，則下列不等式一定成立的是（ ）.

A.a+b> 2c

B.a-b>b-c

C. ac >bc

D.1/a-c<1/b-c

答案：AD.

3結語

本文并非旨在對多選題進行分類，只是在探究試題命制的過程中，為了較為有條理地闡述筆者的思考，而不自覺地按分類的習慣予以呈現(xiàn)，以上的“歸類”不一定是全面的，也不一定是準確的，但按這樣的脈絡，對數(shù)學多選題的命制便有了清晰的認識，在平時命制多選題時便不會無從下手，更為重要的是，按這樣的思路，我們可以進一步探究數(shù)學多選題的育人價值，以及關鍵能力的考查及課堂評價，值得嘗試，

參考文獻

[1]教育部考試中心.以評價體系引領內容改革以科學情境考查關鍵能力——2020年高考數(shù)學全國卷試題評析[J].中國考試，2020（8）：29-34

[2]金鐘植.淺談數(shù)學多選題的四種命制方式[J].高中數(shù)理化， 2020（7）：10-12