巧處理“閱讀與思考”環(huán)節(jié)真落實文化育人功能

雷紅艷 喻悅

摘要：“閱讀與思考”是人教版初中數(shù)學(xué)教材的特色欄目，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化育人的重要載體，但往往被初中數(shù)學(xué)教師忽視.在HPM視角下，以人教版“勾股定理”為例，呈現(xiàn)了將“閱讀與思考”的數(shù)學(xué)史類素材有機融入“情境創(chuàng)設(shè)”“新知探究”“新知應(yīng)用”和“課后拓展”等教學(xué)環(huán)節(jié)的四種處理方式.

關(guān)鍵詞：閱讀與思考；文化育人；勾股定理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（簡稱課標(biāo)）在2022年4月22日正式頒布，課標(biāo)指出：“在教材內(nèi)容編寫時，要注重教材創(chuàng)新，就要拓展視野，如教材中介紹數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)發(fā)展前沿等，內(nèi)容設(shè)計要反映數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大數(shù)學(xué)家，特別是中國古代與現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家，以及他們的數(shù)學(xué)成果在人類文明發(fā)展中的作用，增強學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感”[1].為此，“閱讀與思考”等成為各版本教材不可或缺的欄目.

在實際教學(xué)過程中，“閱讀與思考”等類似欄目的設(shè)置初衷并沒有得到有效落實，主要原因包括不少教師忽視欄目價值、缺少應(yīng)用指導(dǎo)等.為有效落實數(shù)學(xué)文化的育人功能，本文中以人教版“勾股定理”教學(xué)設(shè)計為例，分析了HPM視角下“閱讀與思考”在情境創(chuàng)設(shè)、新知探究、新知應(yīng)用和課后拓展等不同環(huán)節(jié)的四種處理方式.

1 人教版教材中“閱讀與思考”的統(tǒng)計分析

“閱讀與思考”欄目是人教版初中數(shù)學(xué)教材凸顯數(shù)學(xué)文化育人的特色欄目.筆者對人教版教材涉及到數(shù)學(xué)史素材的“閱讀與思考”進(jìn)行了統(tǒng)計：共26個“ 閱讀與思考”欄目，涉及數(shù)學(xué)史素材的有12個，占比將近一半.數(shù)與代數(shù)中包括：從算術(shù)發(fā)展到代數(shù)歷史；《九章算術(shù)》中的“正負(fù)術(shù)”；方程的起源與發(fā)展；《九章算術(shù)》比例算法；引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機；《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”；勾股定理的三種證明方法；托勒密《天文學(xué)大成》.圖形與幾何中包括：幾何學(xué)的起源；金字塔《畫法幾何》；《周脾算經(jīng)》徑一周三、劉徽“割圓術(shù)”.

這表明，作為落實數(shù)學(xué)文化綜合育人價值的重要載體，數(shù)學(xué)史素材是“閱讀與思考”欄目的重要組成內(nèi)容.這些素材是教材編寫者集體智慧的結(jié)晶.教師不應(yīng)輕易脫離教材去重新選擇其他素材，應(yīng)深入研究這些素材，以達(dá)到綜合育人的價值與實現(xiàn)途徑.對此欄目教師可以有效改進(jìn)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受古人智慧的魅力，養(yǎng)成民族自豪感.

2 HPM視角下的四種處理方式

汪曉勤[2]提出了將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方式——附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式.

“勾股定理”位于人教版八年級下冊第17章，包含“勾股定理的證明”“費馬大定理”兩個“閱讀與思考”欄目.在上述四種處理方式的指導(dǎo)下，以“勾股定理”教學(xué)為例，本文中分別展現(xiàn)“勾股定理的證明”在情境創(chuàng)設(shè)、新知探究、新知應(yīng)用和課后拓展等教學(xué)環(huán)節(jié)的四種創(chuàng)新應(yīng)用.

2.1 附加式——巧用數(shù)學(xué)故事，創(chuàng)設(shè)問題情境

“情境創(chuàng)設(shè)”是數(shù)學(xué)教學(xué)的起始環(huán)節(jié).適當(dāng)?shù)那榫呈剑ㄒ詳?shù)學(xué)故事、歷史事件、生活情境等）導(dǎo)入，學(xué)生更能投入到問題情境中，為新知探究做好鋪墊.但是，對于問題情境的有效創(chuàng)設(shè)，不少教師出現(xiàn)平鋪直敘和一味追求創(chuàng)新性兩種極端，導(dǎo)致情境與學(xué)生認(rèn)知、興趣并不匹配，反而令教學(xué)效果大打折扣.在教學(xué)實踐中，合適的數(shù)學(xué)故事蘊含豐富的數(shù)學(xué)文化信息，有利于學(xué)生更好地體會故事中的數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵，升華學(xué)生的情感態(tài)度以及價值觀念.

在“勾股定理”教學(xué)伊始，教師可將“勾股定理的證明”加工成蘊含豐富中國元素的數(shù)學(xué)故事，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)歷史故事的興趣并引發(fā)數(shù)學(xué)思考.

師：若未來技術(shù)可以實現(xiàn)黑洞穿越，我們回到西周開國時期的朝堂上，同學(xué)們可以聽到周公與商高討論勾股測量的對話.來看一段據(jù)《周髀算經(jīng)》記載的對話視頻.展示視頻內(nèi)容[3]（以動畫展示）：

（周公知商高精通數(shù)學(xué)，謙虛詢問其如何測定“日高”和“地寬” ，商高答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以為句 （同勾）廣三，股修四，徑隅五.既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五.兩矩共長二十有五，是謂積矩”.）展示故事中的“勾廣三，股修四，徑隅五”的圖形（圖1、圖2和圖3）.

師：同學(xué)們，視頻中有哪些數(shù)學(xué)知識點呢？

生1：在測量“日高”時，提到句 （同勾）廣三，股修四，徑隅五，這是刻畫某個圖形的關(guān)系量.

師：生1提到的視頻中的勾廣三，股修四，徑隅五，其實，這是我們今天要學(xué)習(xí)的新知識——勾股定理.什么是勾股定理呢？又如何證明它呢？

全班學(xué)生陷入了思考……

設(shè)計意圖：首先，教師以情境導(dǎo)入數(shù)學(xué)故事，并用多媒體展示其內(nèi)容，從教學(xué)起始就抓住學(xué)生的感知，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考.其次，以問題驅(qū)動的形式“提取”視頻中的關(guān)鍵內(nèi)容，精準(zhǔn)定位學(xué)生要學(xué)習(xí)的目標(biāo)與任務(wù).

2.2 重構(gòu)式——巧設(shè)驅(qū)動問題，引導(dǎo)新知探究

“探究新知”是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié).一個好的探究過程是學(xué)生高效掌握知識、實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的基本保障.探究過程的科學(xué)設(shè)計，既需要分析教材與學(xué)情，注重數(shù)學(xué)知識的邏輯線與學(xué)生的認(rèn)知線的統(tǒng)一，還需要注意認(rèn)知負(fù)荷理論的運用，不能給與學(xué)生過多的額外認(rèn)知負(fù)擔(dān).

在“勾股定理證明”的教學(xué)過程中，證明思路的自然獲得是教學(xué)難點，不少教師選擇趙爽弦圖（圖 4）.該方法涉及到的基本圖形數(shù)量、拼圖情況都較多，給學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)帶來較大困難.以人教版“閱讀與思考”中勾股定理的第三種證明方法——美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證法為素材，筆者對其進(jìn)行重構(gòu)，改進(jìn)了傳統(tǒng)的探究過程.

拼接圖師：同學(xué)們，你們能用手中的兩個全等三角形來證明剛剛的猜想嗎？

（學(xué)生利用課前準(zhǔn)備的兩個相同的直角三角形分組嘗試不同的拼接方法，得到如圖5所示的圖形.）

師追問：圖5中的白色三角形的面積與兩個陰影直角三角形的面積之和之間有什么關(guān)系[3]？

生2：我認(rèn)為白色三角形的面積等于兩個陰影直角三角形的面積之和.（其他學(xué)生肯定生2的回答.）

師：為什么呢？

生3：要想證明生2的猜測，首先必須把圖形中相關(guān)的邊標(biāo)出，假設(shè)兩個直角三角板的直角邊分別是a和b，斜邊為c，則兩個直角三角形面積之和是ab.然后很容易證明出兩頂點連接的白色三角形是等腰直角三角形，其面積為12c2.再根據(jù)整體圖形面積，即兩個三角板和白色三角形組成的直角梯形，其面積為12a+b2，因此，白色三角形的面積為

12c2=12a+b2－ab=12a2+12b2.

師：生3詳細(xì)地展示了證明過程，但最后的結(jié)果并不是面積相等，而是得到了 c2=a2+b2，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即得到并證明了勾股定理.

設(shè)計意圖：課前讓學(xué)生準(zhǔn)備教具（2個相同的直角三角形），引發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)內(nèi)容的積極性和好奇心.利用兩個相同三角形拼接的方法，既符合數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式，還降低了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，提高了教學(xué)效益.同時，學(xué)生經(jīng)歷了完整的“問題—猜想—證明”的過程，有效提升了合情推理與演繹推理素養(yǎng).

2.3 順應(yīng)式——巧設(shè)活動支架，體會數(shù)學(xué)精神

“新知應(yīng)用”是促進(jìn)學(xué)生對新知的深入理解和檢驗學(xué)生掌握知識的重要環(huán)節(jié).例題和練習(xí)題的有效設(shè)置與變式是傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢.在這里，緊跟“新知探究”環(huán)節(jié)，可以繼續(xù)運用數(shù)學(xué)史素材，在新知應(yīng)用中融入數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生親身體會數(shù)學(xué)故事所蘊含的精神.

師：剛才已經(jīng)證明了勾股定理.如果已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為7 cm和12 cm，那么斜邊的長度是多少？（題目較簡單，多數(shù)同學(xué)可知.）

師：接下來，請同學(xué)們思考如下問題.三個邊長分別為a，b，c的正方形，拼接為如右圖6所示的圖形，其中∠C=90°.連接BF，CD，過點C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L，連接CL.證明正方形ADEB的面積等于正方形AFHC與正方形BIGC的面積之和.

全班學(xué)生再次陷入深思……

題目難度稍大，學(xué)生不能直接想到解題思路.教師適時引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中三個正方形的位置和數(shù)量關(guān)系，尋找合適的支架，將上面兩個正方形和下面的正方形進(jìn)行聯(lián)結(jié)，思考是否可以利用三角形的性質(zhì)來研究正方形的性質(zhì).

學(xué)生分組討論之后，派代表回答，由此證明了結(jié)論a2+b2=c2，得出勾股定理.

設(shè)計意圖：勾股定理的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致無理數(shù)的誕生，產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機，《幾何原本》記載了西方畢達(dá)哥拉斯對勾股定理的證明.利用數(shù)學(xué)史中有趣且真實的數(shù)學(xué)故事，融入新知應(yīng)用的課堂中，學(xué)生更能從中領(lǐng)會數(shù)學(xué)精神，感受教學(xué)背后的數(shù)學(xué)史價值.同時，由易到難、層層推進(jìn)的練習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握新知，激發(fā)起學(xué)生更高知識水平的求知欲.

2.4 復(fù)制式——巧設(shè)拓展項目，提升文化修養(yǎng)

“課后拓展”是檢驗教師教學(xué)效果、拓展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.從古至今，勾股定理不僅應(yīng)用廣泛，最重要的是它貼近人們的實際生活，因此對它的證明從未停止探索.新的證法不斷出現(xiàn)，其證明方法至今已有500余種.由此，教師可拓展課后學(xué)習(xí)項目，布置拓展項目作業(yè)：查閱相關(guān)資料，探究勾股定理的證明方法（至少兩種）.通過在教室設(shè)置“勾股定理展覽區(qū)”、勾股定理證明方法微視頻或PPT、講故事等方式進(jìn)行展示匯報.

設(shè)計意圖：通過拓展項目作業(yè)的完成過程，學(xué)生可以跨越時空，與古代數(shù)學(xué)家隔空“對話”，從中感受數(shù)學(xué)史帶來的文化沖擊，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，了解數(shù)學(xué)史背后蘊含的價值，培養(yǎng)良好的資料檢索、表達(dá)交流等能力.

3 結(jié)語

著名數(shù)學(xué)史家李文林 [4]曾提出“為教育而歷史”.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育，具有深刻的教育價值.基于教材“閱讀與思考”中的“勾股定理”一節(jié)內(nèi)容，以數(shù)學(xué)史作為輔助教學(xué)工具，形象展示了數(shù)學(xué)知識形成的背景以及發(fā)展過程.筆者以“勾股定理”中融入數(shù)學(xué)史的四種方式，巧妙地處理“閱讀與思考”環(huán)節(jié)并進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究新知的好奇心、體會數(shù)學(xué)精神、提升數(shù)學(xué)修養(yǎng)，真正地落實數(shù)學(xué)文化育人功能；同時，還可提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其內(nèi)在專業(yè)知識結(jié)構(gòu)也能不斷得到更新和豐富；對數(shù)學(xué)課程也具有一定的實用價值，一些優(yōu)秀案例可為數(shù)學(xué)課程增添教學(xué)素材，實現(xiàn)其教學(xué)價值.一線教師切不可忽視教材中的“閱讀與思考”欄目，合理運用并將其中的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中，是當(dāng)代教師課堂教學(xué)研究的重中之重.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：95.

［2］汪曉勤.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（1）：8-14.

［3］羅綿景.運用項目式學(xué)習(xí)，有效開展數(shù)學(xué)實驗活動——以“探索勾股定理”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（18）：41-42.

［4］李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].3版.北京：高等教育出版社，2011.2.