例析二元一次方程（組）的應(yīng)用

陳永華

摘要：培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要教學(xué)目標(biāo)，特別是在解決實(shí)際問(wèn)題中尤為突出.本文中以二元一次方程（組）為載體，在展現(xiàn)初中數(shù)學(xué)二元一次方程（組）基本解題思路的同時(shí)，探究二元一次方程（組）的應(yīng)用，提升學(xué)生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：二元一次方程（組）；核心素養(yǎng)；題型；變式

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中形成的，在教學(xué)中教師要注重對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng).因此，在課堂教學(xué)中，教師要善于利用典型例題激發(fā)學(xué)生的思維.筆者借助二元一次方程（組）在解題中的應(yīng)用進(jìn)行探究以供研討.

1 例題分析

例1若|x+y+1|與（x-y-3）2互為相反數(shù)，則（3x+y）3的值為（ ）.

A.-1B.1C.-27D.27

分析：本題只給出一個(gè)條件“|x+y+1|與（x-y-3）2互為相反數(shù)”，學(xué)生要在充分理解“互為相反數(shù)”的前提下才能得到“|x+y+1|+（x-y-3）2=0”，進(jìn)而根據(jù)非負(fù)性特點(diǎn)列方程并解出，最后才能求出（3x+y）3的值.

解：由|x+y+1|與（x-y-3）2互為相反數(shù)，得

|x+y+1|+（x-y-3）2=0.

又因?yàn)閨x+y+1|≥0，（x-y-3）2≥0，所以x+y+1=0，x-y-3=0.

于是有

x+y=－1，

x－y=3.

解之得

x=1，

y=－2.

所以（3x+y）3=[3×1+（-2）]3=1 .

故本題選：B.

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)問(wèn)題中出現(xiàn)了相等關(guān)系，而未知數(shù)難以直接求出，那么可以借助一元二次方程組解決[1].但是，這樣的解題方法常與相反數(shù)、絕對(duì)值、同類(lèi)項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合在一起.這樣一來(lái)，很多學(xué)生在沒(méi)有牢固掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，順利解題的難度較大.因此，牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)非常關(guān)鍵.

例2若關(guān)于x，y的方程組ax+2y=10，

3x+2y=0有整數(shù)解，則正整數(shù)a的值為.

分析：本題給出的方程組中有未知系數(shù)，所以直接解方程并不是最佳方法.不妨先將未知系數(shù)看成已知，按照常規(guī)方法解出方程，再根據(jù)題目給出的“有整數(shù)解”“正整數(shù)a”進(jìn)行討論.

解：將兩個(gè)方程相減，得

（ax+2y）-（3x+2y）=10-0.

即（a-3）x=10.

所以x=10a－3（a≠3）.

因?yàn)榉匠探M有整數(shù)解，且a是正整數(shù)，所以在滿足x為整數(shù)的前提下，a=1，2，4，5，8，13.

因?yàn)閥=－15a－3，所以在滿足y為整數(shù)的前提下，a=2，4，8.

因?yàn)榉匠探M的整數(shù)解指的是x，y同時(shí)是整數(shù)，所以a=2，4，8.

點(diǎn)評(píng)：分類(lèi)討論多伴隨不定方程（組）而出現(xiàn)，這時(shí)需要根據(jù)一些限制條件對(duì)所有解的可能性進(jìn)行分類(lèi)討論，從而獲得滿足題意的可行性方案[2].當(dāng)給定的條件是自然數(shù)、非負(fù)整數(shù)等時(shí)，需要從0開(kāi)始分析；當(dāng)給定的條件是正整數(shù)等時(shí)，那么就需要從1開(kāi)始分析.

例3小明看中了一套新款春裝準(zhǔn)備進(jìn)貨，成本共500元，專(zhuān)賣(mài)店店員告訴他在上市時(shí)通常將上衣按百分之五十的利潤(rùn)定價(jià)，褲子按百分之四十的利潤(rùn)定價(jià).由于新年將至，為吸引顧客，兩件衣服均按九折出售，這樣專(zhuān)賣(mài)店共獲利157元，但店員有事走開(kāi)了，你能幫他算出每件上衣的成本嗎？

分析：本題是與實(shí)際生活高度結(jié)合的應(yīng)用題，數(shù)字較多，且它們之間的關(guān)系也比較復(fù)雜.面對(duì)這種問(wèn)題，應(yīng)該將各種量及其數(shù)值用表格的方式列舉并對(duì)應(yīng)，從而幫助學(xué)生梳理題中信息.另外，不難從題中看出，共有兩條列方程的主線.其一是“成本共500元”；其二是“共獲利157元”.所以，只需根據(jù)這兩個(gè)條件，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)列出方程并解出即可.

解：能.設(shè)每件上衣成本為x元，每條褲子成本為y元，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)下表.

依題意可得

x+y=500，

［0.9（1+50%）x-x］+［0.9（1+40%）y－y］=157.

解之得x=300.

答：每件上衣的成本是300元.

點(diǎn)評(píng)：像二元一次方程（組）的實(shí)際問(wèn)題中往往有著層次分明的兩個(gè)條件，如“第一次運(yùn)輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車(chē)車(chē)廂和15輛汽車(chē)”和“第二次運(yùn)輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車(chē)車(chē)廂和10輛汽車(chē)”，有著非常明顯的兩層意思，而這就給解題者提供了“列一元二次方程（組）”解決問(wèn)題的思路.

例4某化肥廠第一次運(yùn)輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車(chē)車(chē)廂和15輛汽車(chē)；第二次運(yùn)輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車(chē)車(chē)廂和10輛汽車(chē).每節(jié)火車(chē)車(chē)廂與每輛汽車(chē)平均各裝多少噸化肥？

分析：本題是學(xué)生比較常見(jiàn)的一元二次方程（組）與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的問(wèn)題.首先通過(guò)分析題意不難發(fā)現(xiàn)，題中有兩層信息“第一次運(yùn)輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車(chē)車(chē)廂和15輛汽車(chē)”“第二次運(yùn)輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車(chē)車(chē)廂和10輛汽車(chē)”.它們正好對(duì)應(yīng)了兩個(gè)方程.當(dāng)然，要列出這兩個(gè)方程，學(xué)生要有善于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).

解：設(shè)每節(jié)火車(chē)車(chē)廂平均裝x噸化肥，每輛汽車(chē)平均裝y噸化肥.

依題意可得

6x+15y=360，

8x+10y=440.

解之得

x=50，

y=4.

答：每節(jié)火車(chē)車(chē)廂平均裝50噸化肥，每輛汽車(chē)平均裝4噸化肥.

點(diǎn)評(píng)：本題需要學(xué)生用敏銳的數(shù)感去發(fā)覺(jué)題中所給出的兩層信息，而這些數(shù)感正是來(lái)源于生活感悟和解題訓(xùn)練.所以，日常的觀察、感悟及解題訓(xùn)練非常重要.

2 應(yīng)用策略說(shuō)明

二元一次方程（組）是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是考試中的高頻考點(diǎn)，其考查形式多種多樣，本文中研究的二元一次方程（組）的應(yīng)用就是其中之一.如何有效解決這一類(lèi)問(wèn)題，筆者就其策略提出如下幾點(diǎn)建議.

（1）分析題意，找出題中含有“兩層”意思的語(yǔ)句，用序號(hào)①②進(jìn)行標(biāo)注，培養(yǎng)學(xué)生抓住題中重要信息的能力.

（2）利用表格將題中分層的題意更直觀地體現(xiàn)出來(lái)，讓數(shù)據(jù)之間存在的數(shù)量關(guān)系更加明顯.

（3）按照解方程應(yīng)用題的設(shè)、解、答等步驟完成接下來(lái)的過(guò)程.

（4）分類(lèi)討論是解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題非常重要的方法，但是學(xué)生對(duì)這種方法的掌握情況不容樂(lè)觀[3].作為一線數(shù)學(xué)教師，不僅要注重發(fā)散思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生多從幾個(gè)角度思考問(wèn)題，而且要經(jīng)常性地利用練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生的思維，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分類(lèi)討論的重要性，繼而通過(guò)一步步訓(xùn)練提高他們的思維能力[4].

（5）教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)應(yīng)靈活呈現(xiàn)各種類(lèi)型的二元一次方程問(wèn)題，為學(xué)生順利解題不斷積累經(jīng)驗(yàn).

（6）與二元一次方程（組）應(yīng)用結(jié)合的問(wèn)題比較多，且大多內(nèi)容比較基礎(chǔ).所以，學(xué)生要想靈活解答這些問(wèn)題，還必須牢固掌握與二元一次方程（組）有關(guān)的知識(shí)點(diǎn).只有這樣，才能為分析和解決實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

教師不僅要注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和基本技能的訓(xùn)練與提升，而且要幫助學(xué)生在學(xué)與練的過(guò)程中形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和獲得基本思想.所以，教師可以放手讓學(xué)生對(duì)常見(jiàn)題型及其變式進(jìn)行歸類(lèi)，從而讓他們?cè)诮忸}和應(yīng)用方面不斷靈活“切換”.

參考文獻(xiàn)：

[1]賴璽艷， 王賽英. 基于變式理論的二元一次方程組復(fù)習(xí)課例及評(píng)析[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2012（27）：19-21.

[2]雷玉娟. 分層變式，改編課例——《“二元一次方程組應(yīng)用題”教學(xué)建議》有感[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)）， 2019（22）：8-10.

[3]顧亞平. 關(guān)注復(fù)習(xí)課教學(xué)重點(diǎn)：從“紙上”到“課中”——對(duì)一節(jié)二元一次方程組復(fù)習(xí)課的評(píng)析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)， 2020（10）：40-41，91.

[4]邢成云. 先行組織，全景統(tǒng)攝——《二元一次方程組》章節(jié)起始課教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J]. 教育研究與評(píng)論（課堂觀察）， 2020（1）：43-46.