培養(yǎng)問題意識，提升活動課的有效性

陳飛

綜合實(shí)踐活動課是激發(fā)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的重要途徑.因此綜合實(shí)踐活動課已經(jīng)得到了越來越多教師的重視，那么如何才能提高活動課的有效性呢？在日常教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，綜合實(shí)踐活動課的教學(xué)或是流于形式，表面熱鬧，或是應(yīng)付任務(wù)，按部就班，大大削弱了活動課的有效性，也浪費(fèi)了教學(xué)時間.筆者在教學(xué)中進(jìn)行了一些實(shí)踐和思考，下面以折紙類綜合實(shí)踐活動課為例，談一談如何進(jìn)行有效地教學(xué)，與各位同仁討論交流.

1 折紙實(shí)踐活動課設(shè)計(jì)

1.1 用矩形紙片折等腰三角形——認(rèn)識軸對稱的性質(zhì)（1）嘗試將一張矩形A4大小的紙片按照圖1-1的方法進(jìn)行折疊，請問折疊之后形成重疊的△BED是等腰三角形嗎？

解析：由折疊可知，∠1和∠2相等，因?yàn)锳B和CD平行，所以∠1和∠3相等.通過等量轉(zhuǎn)換可以得到∠2和∠3相等，由此DE和BE相等，所以△BED是等腰三角形.

（2）再將一張矩形A4大小的紙片ABCD按照圖1-2中的方法進(jìn)行折疊，請問折疊之后形成重疊的△ECF是等腰三角形嗎？

解析1：通過第（1）題的證明方法可以得到△ECF是等腰三角形.

解析2：根據(jù)折疊可以得到AD與CD′相等，又AD與BC相等，可以得到CD′與CB相等.由折疊可以得到∠D和∠D′都是直角，且∠B也等于90°，∠ECD′與∠A，∠BCD都等于90°，因此∠D′CF與∠BCE相等.由此可以得到△D′CF與△BCE全等（ASA），所以CF與CE相等，因此△CEF是等腰三角形.

同樣第（1）題也可以由全等三角形得到結(jié)論.

（3）圖1-1中的△BED和圖1-2中△ECF的面積相等嗎？請說明你的理由.

解析：猜想△BED和△ECF的面積相等.假設(shè)BC和DC的長度分別是a和b.圖1-1中，DE和BE相等，設(shè)為x，則A′E等于b－x，在Rt△A′DE中，根據(jù)勾股定理，可得x=a2+b22b，即DE的長度為a2+b22b.圖1-2中，設(shè)CF的長度為y，則DF與D′F相等為b－y，在Rt△FCD′中，根據(jù)勾股定理可得y=a2+b22b，即CF的長度為a2+b22b.因此由面積公式可以得到△BED和△ECF的面積相等.

設(shè)計(jì)意圖：通過折疊矩形紙片的活動來進(jìn)行等腰三角形的研究，可以讓學(xué)生在動手操作中體會軸對稱的性質(zhì).在折疊操作之后繼續(xù)進(jìn)行追問，使學(xué)生意識到實(shí)踐活動并不只是簡單的動手操作，還需要進(jìn)行觀察思考和理論證明，由此加深之前動手操作形成的不夠清晰的認(rèn)識或者糾正在頭腦中形成的片面的認(rèn)識，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論有更加深入的理解，提升邏輯推理能力，培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?

1.2 巧用數(shù)學(xué)習(xí)題，用正方形折出分?jǐn)?shù)13

（1）如圖2，正方形紙片ABCD，邊長為1，各邊的黃金分割點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，已知AE小于EB，BF小于FC，CG小于GD，DH小于HA，沿AF，BG，CH和DE進(jìn)行折疊，得到正方形IJKL，請問正方形IJKL的面積是多少？

解析：因?yàn)镋I平行于BJ，點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，所以AEEB=AIIJ=5－12.設(shè)IJ的長度為x，則AI的長度為5－12x.同樣的方法可以得到BJ的長度為5－12x.在Rt△ABJ中，根據(jù)勾股定理可以得到x2=13，則正方形IJKL的面積為13.

（2）如圖3，正方形紙片ABCD的邊長為1，邊CD的中點(diǎn)為E，將△AED沿AE折疊，得到△AEF，再沿EF折疊，折線與邊BC交于點(diǎn)G，求BG的長.

解析：如圖4，連接AG，則可以得到∠B等于∠AFG等于90°，并且AB與AF相等，由此可以得到Rt△ABG與Rt△AFG全等，所以BG與FG相等.設(shè)BG和FG的長度為x，則CG的長度為1－x，EG的長度為12+x.在Rt△CEG中，根據(jù)勾股定理可以求得x的值為13，即BG的長度為13.

變式如圖5，正方形紙片ABCD，邊CD的中點(diǎn)為E，將△AED沿AE折疊，得到△AEF，再沿AF折疊，折線與邊BC交于點(diǎn)G，則CGGB等于多少？

（3）如圖6，正方形紙片ABCD的邊長為1，現(xiàn)將其進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD的中點(diǎn)M重合，邊AB折疊后與邊BC相交于點(diǎn)G，求BG的長為多少？

解析：設(shè)DE的長為x，則EA與EM的長為1－x.在Rt△DEM中，根據(jù)勾股定理可以解得x的值為38，即DE的長度為38.由△DEM與△CMG相似，DM與CM等于12及DE的長度為38，可以得到CG的長度為23，則BG的長度為13.

設(shè)計(jì)意圖：正方形紙片的折疊會產(chǎn)生直角三角形，因此要引導(dǎo)學(xué)生利用直角三角形的勾股定理解決數(shù)量關(guān)系.這樣的活動，使學(xué)生建立了知識間的聯(lián)系，將方程和勾股定理等知識進(jìn)行融合，提升了學(xué)生解決問題的能力.本例中的活動設(shè)計(jì)是根據(jù)試題進(jìn)行的改編，體現(xiàn)了試題對學(xué)生綜合思維能力的考查，而通過這樣的實(shí)踐活動不僅培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，也促使學(xué)生認(rèn)識到如何解決復(fù)雜問題.

1.3 用矩形紙片折出方程的解，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用（1）用紙片折出方程ax=b（a>1，b>0）的解.

如圖7，有一張矩形紙片ABCD，其中AB和BC的長分別為a和b，在邊AB上取一點(diǎn)E，使AE的長度為1，過點(diǎn)E將紙片進(jìn)行折疊，使EF與AB垂直，再沿著AC折疊，使AC與EF相交于點(diǎn)P，則方程ax=b（a>1，b>0）的解為PE的長.請證明這個結(jié)論.

解析：由PE與BC平行，可得△AEP與△ABC相似，因此PE與CB的比值等于AE與AB的比值，所以PE的長為ba，即方程ax=b（a＞1，b＞0）的解為PE的長.

（2）用紙片折出方程ax=b（a＞0，b＞0）的解.

如圖8，有一張矩形的紙片ABCD，在邊AB上取一點(diǎn)E，使AE的長度為1，AF的長度為a，在邊AD上取AG的長度等于b.過點(diǎn)E將紙片進(jìn)行折疊，使EH與AB垂直，過點(diǎn)F折疊，使FI與AB垂直，過點(diǎn)G折疊，使GJ與AD垂直，GJ與FI相交于點(diǎn)K，再沿著AK折疊紙片，使AK與EH相交于點(diǎn)P，因此方程ax=b（a＞1，b＞0）的解為PE的長.請證明這個結(jié)論.

解析：由PE與KF平行，可以得到△AEP與△AFK相似，則KF與PE的比值等于AF與AE的比值，可以得到PE的長為ba，即方程ax=b（a＞1，b＞0）的解為PE的長.

（3）用一張紙片折出方程x2=a（a>1）的解.

第一步：如圖9，在矩形紙片ABCD的邊上AB取點(diǎn)E和點(diǎn)F，使AE和EF的長度分別為1和a.過點(diǎn)E將紙片折疊，使AE落在BE上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為H，那么GE將AH垂直平分，再經(jīng)過點(diǎn)H折疊，使HI與AB垂直.

第二步：如圖10，過點(diǎn)F折疊紙片，使點(diǎn)A落在HI上，折痕FJ與EG相交于點(diǎn)P，那么方程x2=a（a＞1）的解為PE的長.

解析：如圖11，連接AK，設(shè)AK與FJ相交于點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′E垂直于AB.因?yàn)锳P′與P′K相等，所以P′E與KH平行.因?yàn)锳H的中點(diǎn)為E′，所以E與E′重合.因此P′與P重合，所以AK經(jīng)過點(diǎn)P，AK被FJ平分.在Rt△AFP中，根據(jù)射影定理可得，PE2=AE×EF=a.由此方程x2=a（a＞1）的一個解為PE的長，另一個解是它的相反數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：解方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生熟悉的題型，通過將折紙與方程相結(jié)合，提升了問題的難度，增加了挑戰(zhàn)性，也是對學(xué)生思維的一次訓(xùn)練.教師可以在操作前進(jìn)行示范，引導(dǎo)學(xué)生觀察折疊之后的邊角關(guān)系，幫助學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用到折紙的操作中去，從而巧妙地將折紙和解方程相結(jié)合.這樣的活動可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，也是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，提升學(xué)生解決問題的能力.

2 折紙類綜合實(shí)踐活動的教學(xué)反思

綜合實(shí)踐活動課需要學(xué)生的積極參與.因此，首先需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究的好奇心.在教學(xué)中教師可以通過問題串的設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在解決問題中再次提出問題，觸發(fā)思維的生長點(diǎn).其次，綜合實(shí)踐活動課需要有明確的教學(xué)目標(biāo)，活動環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)需要由淺入深、層層遞進(jìn)，這樣才能一步步實(shí)現(xiàn)活動的目標(biāo).筆者認(rèn)為在開展這類活動時有以下幾點(diǎn)需要引起注意.

（1）聯(lián)系教材，提升思維

綜合實(shí)踐活動課的目的是為了鞏固所學(xué)知識，提升思維能力.本課中通過折紙活動，結(jié)合教材中的等腰三角形的判定、解方程、幾何圖形的性質(zhì)等知識解決問題，既能提升學(xué)生運(yùn)用知識的能力，又將操作實(shí)踐與思維發(fā)展相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了活動目標(biāo)和活動內(nèi)容的統(tǒng)一，提升了活動的有效性.

（2）活動形式豐富多樣，增強(qiáng)教學(xué)的實(shí)效性

通過實(shí)踐活動進(jìn)行探索并在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行理論證明，是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的重要途徑，二者相輔相成，互相促進(jìn).通過折紙實(shí)踐活動，學(xué)生進(jìn)一步深入認(rèn)識幾何圖形，理解幾何圖形中邊、角之間的關(guān)系;在分析和證明的過程中，進(jìn)一步掌握分析問題和解決問題的方法，理解數(shù)學(xué)折疊問題的實(shí)質(zhì).

（3）設(shè)計(jì)活動科學(xué)合理，關(guān)注分層教學(xué)

提高數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課的有效性需要關(guān)注到全體學(xué)生，針對不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)有效的活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓不同的學(xué)生都能感受到收獲的喜悅.在教學(xué)中可以通過有效的問題推進(jìn)教學(xué)活動，注意變式訓(xùn)練，通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓每一位學(xué)生都能真正得到發(fā)展.

總之，綜合實(shí)踐活動課的開展要圍繞以下幾個問題進(jìn)行思考：開展什么內(nèi)容的綜合實(shí)踐活動？如何設(shè)計(jì)綜合實(shí)踐活動？怎樣才能更好地開展活動？怎樣才能真正提升活動的有效性，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)？