GeoGebra隨機(jī)模擬法應(yīng)用案例分析

周建剛　李文東

隨機(jī)模擬法又稱為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，是以概率論和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法。人們利用隨機(jī)模擬法可以解決很多概率計(jì)算問題，主要步驟如下：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，獲得問題的近似解。隨機(jī)事件的概率是一個(gè)確定值，但現(xiàn)實(shí)中，有些概率不易計(jì)算。為解決這一問題，概率統(tǒng)計(jì)方法被提出并應(yīng)用，即借助“大量”試驗(yàn)，以頻率估計(jì)概率。在一定條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，n_A為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，如果隨著n逐漸增大，頻率????逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則數(shù)值p稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率。在課堂上完成“大量”試驗(yàn)不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且效果不佳?，F(xiàn)在，人們應(yīng)用GeoGebra軟件模擬能高效解決這一問題。GeoGebra是自由且跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，載有幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)和微積分等功能。為了體現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，筆者用GeoGebra產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)和均勻隨機(jī)數(shù)的功能，分別執(zhí)行“區(qū)間隨機(jī)數(shù)”和“均勻分布隨機(jī)數(shù)”兩個(gè)指令，它們分別對(duì)應(yīng)古典概型和幾何概型。另外，模擬過程中還需用到“序列”和“條件計(jì)數(shù)”等指令。下面，筆者以圓周率估計(jì)、天氣預(yù)報(bào)、會(huì)面問題和曲邊梯形面積4個(gè)問題為例，闡述如何利用GeoGebra軟件進(jìn)行模擬和運(yùn)算。

一、用隨機(jī)模擬法估計(jì)圓周率π的近似值

如圖1所示，如何利用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算邊長(zhǎng)為2的正方形的內(nèi)切圓面積，并估計(jì)π的近似值？

利用GeoGebra模擬的步驟如下。第一步，作正方形及其內(nèi)切圓：在指令欄內(nèi)輸入“多邊形[（1，-1），（1，1），4]”后確認(rèn)，作出中心在原點(diǎn)且邊長(zhǎng)為2的正方形;在指令欄內(nèi)輸入“x^2+y^2=1”，作出上述正方形的內(nèi)切圓。第二步，建立動(dòng)態(tài)參數(shù)：?jiǎn)螕簟皡?shù)”工具，設(shè)置參數(shù)n（撒豆數(shù)），最小值0，最大值3000，增量50。第三步，撒豆：在指令欄內(nèi)輸入“序列[（均勻分布隨機(jī)數(shù)（-1，1），均勻分布隨機(jī)數(shù)（-1，1）），i，1，n]”，得到n個(gè)有序數(shù)對(duì)（集合C）。這些點(diǎn)隨機(jī)出現(xiàn)在正方形內(nèi)。第四步，計(jì)數(shù)和估計(jì) ：在指令欄內(nèi)輸入“條件計(jì)數(shù)[x（i）^2+y（i）^2<1，i，C]”，其值為n₁;輸入“4*n₁/n”，即得π的估計(jì)值。

上述程序運(yùn)行結(jié)果如下（如圖2）。

說明：用“多邊形”命令可畫出任意正多邊形，如輸入“多邊形[（1，-1），（1，1），5]”可作以A（1，-1）、B（1，1）連線為一邊的正五邊形。輸入隨機(jī)函數(shù)“均勻分布隨機(jī)數(shù)（-1，1）”可產(chǎn)生-1～1的隨機(jī)數(shù)。GeoGebra還有一個(gè)“區(qū)間隨機(jī)數(shù)[a，b]”，學(xué)生可用它產(chǎn)生a～b的隨機(jī)整數(shù)。下面的舉例中會(huì)用到這一隨機(jī)函數(shù)。

上述過程也可以利用Excel實(shí)現(xiàn)。操作步驟如下：第一步，在Excel中選定A1格，輸入“=RAND （ ）”，按回車鍵，產(chǎn)生（0，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并將A1格復(fù)制到A2至A1000，產(chǎn)生1000個(gè)（0，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù);第二步，在Excel中選定B1格，輸入“=2*A1-1”，按回車鍵，產(chǎn)生（-1，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并將B1格復(fù)制到B2至B1000，產(chǎn)生1000個(gè)（-1，1）內(nèi)的隨機(jī)數(shù);第三步，在Excel中選定C1格，輸入“=B1^2”，按回車鍵，并將C1格復(fù)制到C2至C1000，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方;第四步，在Excel中D、E、F列中重復(fù)上述一至三步，得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方;第五步，在Excel中G1格輸入“=C1^2+F1^2”，按回車鍵，并將G1格復(fù)制到G2至G1000;第六步，在Excel中H1格輸入“=FREQUENCY（G1：G1000，1）”，按回車鍵，得到1000個(gè)點(diǎn)中落入圓x²+y²=1內(nèi)的個(gè)數(shù);第七步，在Excel中I1格輸入“=4*H1/1000”，按回車鍵，得到的數(shù)值即為圓周率π的近似值（如圖3）。

可見，用Excel操作不僅復(fù)雜，而且結(jié)果只能以數(shù)值顯示，不如GeoGebra簡(jiǎn)便、直觀。

二、用隨機(jī)模擬法估計(jì)天氣預(yù)報(bào)下雨的概率

天氣預(yù)報(bào)，今后三天，每一天下雨的概率均為40%。這三天中恰有兩天下雨的概率大約是多少？

解題思路：三天中下雨的天數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量ζ，它服從二項(xiàng)分布B（3，0.4），因此三天中恰有兩天下雨的概率為P（ζ= 2）=C?0.4²×0.6 = 0.288。我們也可以用如下的思路來(lái)模擬得到這個(gè)概率的近似值：產(chǎn)生0～9這10個(gè)隨機(jī)數(shù)字，用0，1，2，3，表示下雨，用4，5，6，7，8，9表示不下雨，這樣可以體現(xiàn)下雨的概率是40%。時(shí)間為3天，以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為1組，產(chǎn)生三位數(shù)的隨機(jī)數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)中恰有2個(gè)數(shù)字小于等于3代表恰有兩天下雨的情況。

筆者帶領(lǐng)學(xué)生利用GeoGebra進(jìn)行模擬，步驟如下。第一步，點(diǎn)擊工具欄建立滑動(dòng)條n，用于控制試驗(yàn)次數(shù)，設(shè)置總次數(shù)為3000。第二步，建立含有n個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間A，每個(gè)樣本點(diǎn)（x，y，z）中的變量為區(qū)間[0，9]內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)，指令：A=序列[（區(qū)間隨機(jī)數(shù)[0，9]，區(qū)間隨機(jī)數(shù)[0，9]，區(qū)間隨機(jī)數(shù)[0，9]），m，1，n]。第三步，完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，輸出樣本點(diǎn)中恰有2個(gè)變量不超過3的頻數(shù)，指令：a=條件計(jì)數(shù)[（（x（m）≤3）∧（y（m）≤3）∧（z（m）>3））∨（（x（m）≤3）∧（y（m）>3）∧（z（m）≤3））∨（（x（m）>3）∧（y（m）≤3）∧（z（m）≤3）），m，A]。第四步，頻率計(jì)算，指令：p=a/n。

上述程序運(yùn)行結(jié)果如下（如圖4）。

三、用隨機(jī)模擬法估計(jì)會(huì)面的概率

假設(shè)小明家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在6：30～7：30將報(bào)紙送到小明家，小明的父親離開家去工作的時(shí)間在7：00～8：00，則小明的父親在離開家前收到報(bào)紙的概率是多少？

解題思路：這是一道典型的幾何概型的題目。設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x，小明爸爸離家去工作的時(shí)間為y，記小明爸爸離家前能得到報(bào)紙為事件A。以橫坐標(biāo)表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)表示小明爸爸離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系。小明爸爸離家前能得到報(bào)紙的事件構(gòu)成區(qū)域如圖5所示。隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)有同等可能性，符合幾何概型的條件。只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示小明爸爸在離開家前能得到報(bào)紙，即事件A發(fā)生，所以p（A）?=????=0.875。

筆者讓學(xué)生借助GeoGebra進(jìn)行模擬，步驟如下。第一步，建立滑動(dòng)條n，用于控制試驗(yàn)次數(shù)，指令：n=滑動(dòng)條[0，3000]。第二步，建立含有n個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間A，指令：A=序列[（均勻分布隨機(jī)數(shù)[6.5，7.5]，均勻分布隨機(jī)數(shù)[7，8]），m，1，n]。第三步，完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，輸出樣本點(diǎn)中滿足y≥x的頻數(shù)，即小明父親離家時(shí)間晚于送報(bào)人送報(bào)時(shí)間，指令：a=條件計(jì)數(shù)[y（m）≥x（m），m，A]。第四步，頻率計(jì)算，指令：p=a/n。

上述程序運(yùn)行結(jié)果如下（如圖6）。

四、用隨機(jī)模擬法估算曲邊梯形的面積

如何利用隨機(jī)模擬的方法計(jì)算y=1與y=x²所圍成部分的面積？

解題思路：應(yīng)用定積分的知識(shí)，計(jì)算y=1與y=x²所圍成的部分的面積，即

GeoGebra模擬步驟如下。第一步，建立滑動(dòng)條n，用于控制試驗(yàn)次數(shù)，指令：n=滑動(dòng)條[0，3000]。第二步，建立含有n個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間A。每個(gè)樣本點(diǎn)落在以A（-1，0）、B（-1，1）、C（1，1）、D（1，0）為頂點(diǎn)的矩形區(qū)域內(nèi)，指令：A= 序列[（均勻分布隨機(jī)數(shù)[-1，1]，均勻分布隨機(jī)數(shù)[0，1]），m，1，n]。第三步，完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，輸出落在陰影區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的頻數(shù)，指令：a=條件計(jì)數(shù)[y（m）≥x（m）^2，m，A]。第四步，數(shù)值計(jì)算：矩形面積為2，a/n是隨機(jī)點(diǎn)落在陰影區(qū)域的頻率，二者乘積即為所求，指令：S=2a/n。

上述程序運(yùn)行結(jié)果如下（如圖7）。

上述模擬方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要編程，教師在指令欄內(nèi)輸入相應(yīng)的指令（可在右下角的“指令說明”列表中雙擊獲得）即可演示。這種模擬的直觀性體現(xiàn)在隨機(jī)點(diǎn)的數(shù)形同步上，即數(shù)顯示在代數(shù)區(qū)的“集合A”中，形顯示在繪圖區(qū)中。應(yīng)用GeoGebra進(jìn)行計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，這種方法易于掌握，操作步驟簡(jiǎn)單。教師拖動(dòng)滑動(dòng)條，可以動(dòng)態(tài)演示隨著試驗(yàn)次數(shù)增加試驗(yàn)結(jié)果的變化情況，這是用計(jì)算器等工具無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)用GeoGebra進(jìn)行數(shù)學(xué)探索，熱情高漲。學(xué)生應(yīng)用GeoGebra模擬運(yùn)算，不僅加深了他們對(duì)于問題本身和解決問題的思想方法的理解，而且在探究過程中獲得很好的體驗(yàn)，他們的觀察能力、動(dòng)手能力和探究能力都得以提高。

注：本文系2020年度廣東省教育研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)研究專項(xiàng)課題“基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：GDJY-2020-A-s124）和廣東省中山市2020年度教育科研課題“新課標(biāo)下高中生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐與探究”（編號(hào)：B2020141）的階段性研究成果。

責(zé)任編輯：祝元志