粒間摩擦和層厚比對二維分層顆粒系統(tǒng)底部響應(yīng)的影響

雷云， 劉源， 徐同桐， 何子苗

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘭州 730070)

顆粒系統(tǒng)由大量離散形式的顆粒粒子通過接觸作用構(gòu)成，由于顆粒粒子獨(dú)特的變形及運(yùn)動特點(diǎn)，顆粒系統(tǒng)具有極強(qiáng)的多變性及動態(tài)性[1]，而顆粒物質(zhì)的離散性質(zhì)通常導(dǎo)致其出現(xiàn)各向異性力鏈[2]和空間不均勻的應(yīng)力分布[3-6]，所以顆粒系統(tǒng)力學(xué)性能的復(fù)雜性很難運(yùn)用傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論進(jìn)行解釋[7-8]。

顆粒系統(tǒng)的力鏈結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性受多方面因素影響，包括顆粒材料的內(nèi)稟性質(zhì)(如楊氏彈性模量、泊松比和粒間摩擦系數(shù)等)、顆粒體系的力學(xué)條件(如初始條件、邊界條件和外加荷載分布等)以及顆粒系統(tǒng)的初始構(gòu)建方式等。其中，粒間摩擦系數(shù)和顆粒物質(zhì)體積分?jǐn)?shù)是決定顆粒介質(zhì)靜力學(xué)[9-18]、流動形態(tài)[19-20]和顆粒破碎[21-22]等的重要參數(shù)。孫其誠等[9]認(rèn)為對重力作用下的單分散靜態(tài)顆粒系統(tǒng)，摩擦系數(shù)影響了接觸力分布曲線形態(tài)以及接觸力與重力的夾角。Barreto等[10]發(fā)現(xiàn)當(dāng)顆粒材料受到各向異性應(yīng)力作用時，強(qiáng)力鏈傳遞相對較大的力，形成平行于主應(yīng)力方向的力鏈結(jié)構(gòu)，摩擦力對提高強(qiáng)力鏈的穩(wěn)定性有明顯作用。周玉縣等[12]通過數(shù)值模擬得出顆粒接觸剛度比和粒間摩擦系數(shù)對巖土顆粒材料的剪切強(qiáng)度影響較大。劉源等[15]詳細(xì)討論了無缺陷顆粒系統(tǒng)和有缺陷顆粒系統(tǒng)的底部接觸力特征：摩擦系數(shù)影響了單分散顆粒系統(tǒng)底部接觸力的分布形態(tài)；在有缺陷顆粒系統(tǒng)中，缺陷尺寸對系統(tǒng)底部接觸力有顯著影響。楊舒涵等[16]通過數(shù)值模擬改變粒間滑動摩擦系數(shù)，發(fā)現(xiàn)了強(qiáng)接觸網(wǎng)絡(luò)中參與形成“力鏈”的顆粒數(shù)目基本不變，但影響了粒間法向接觸力大小及各向異性的強(qiáng)弱，顆粒系統(tǒng)抗剪強(qiáng)度 隨之改變；摩擦系數(shù)會明顯改變?nèi)踅佑|網(wǎng)絡(luò)的配位數(shù)分布，對顆粒體系剪脹程度的改變影響顯著。Fang等[17]采用在光彈性顆粒介質(zhì)中放置兩根鋼柱的二維加載模型，探討了顆粒介質(zhì)中拱效應(yīng)的特征及其形成規(guī)律。王怡舒等[18]通過離散單元法分析了不同子接觸網(wǎng)絡(luò)的組構(gòu)張量在剪切過程中的演變規(guī)律，并探究了抗轉(zhuǎn)動系數(shù)對子接觸網(wǎng)絡(luò)的各向異性演變規(guī)律及對宏觀應(yīng)力的貢獻(xiàn)程度的影響。劉宏偉等[19]對不同級配顆粒材料進(jìn)行了滑動摩擦試驗(yàn)，探究了粒徑、質(zhì)量配比等級配因素對顆粒材料底面動摩擦系數(shù)的影響。蔣明杰等[20]基于大型靜止側(cè)壓力系數(shù)試驗(yàn)儀建立三維仿真模型，探究了摩擦系數(shù)、孔隙率、剛度等細(xì)觀參數(shù)對粗粒土的影響規(guī)律。張海濤[21]通過一維壓縮試驗(yàn)研究了三種不同顆粒材料在高壓條件下的力學(xué)特性。Kang等[22]將連續(xù)理論與非連續(xù)理論相結(jié)合，模擬了在復(fù)雜級配與應(yīng)力影響下顆粒系統(tǒng)中力鏈演變及顆粒破碎，探討了力鏈演變與顆粒破碎之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)機(jī)理。

對于二維復(fù)合顆粒系統(tǒng)，剛性層通常會促進(jìn)接觸力的傳播，減小剛度比可以增大復(fù)合顆粒系統(tǒng)的力學(xué)響應(yīng)范圍，增強(qiáng)了系統(tǒng)的彈性；而軟弱層對力的傳播有耗散作用；剛軟層的比例對顆粒系統(tǒng)底部應(yīng)力分布特征有顯著影響[11,13-14]。在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到由不同材料組成的復(fù)雜顆粒系統(tǒng)，與單分散顆粒系統(tǒng)相比，對其在系統(tǒng)內(nèi)力的傳遞研究并不成熟。已有的工作雖然對二維分層顆粒系統(tǒng)的力學(xué)性能已經(jīng)展開了探索[14]，并指出粒間摩擦是決定復(fù)雜顆粒系統(tǒng)力學(xué)響應(yīng)的一個重要參數(shù)，但并未深入探討，缺乏不同層厚比在不同粒間摩擦下對系統(tǒng)中力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行的詳細(xì)探討?，F(xiàn)建立二維分層顆粒模型，主要考慮粒間摩擦和軟硬層厚比對該系統(tǒng)底部力學(xué)響應(yīng)的影響，以期揭示二維分層顆粒系統(tǒng)中力鏈的傳遞規(guī)律，為該系統(tǒng)的實(shí)際力學(xué)應(yīng)用提供參考。

1 數(shù)值模型

建立與文獻(xiàn)[15]等尺寸參數(shù)相似的30×20的規(guī)則排列模型，顆粒半徑r=0.005 m，密度ρ=7 850 kg/m3，硬顆粒法向和切向接觸剛度分別為：kn1=1.0×107N/m，ks1=0.8kn1；軟顆粒法向和切向接觸剛度分別為：kn2=0.01kn1，ks2=0.8kn2。集中荷載F=10 N，顆粒與邊界間的摩擦系數(shù)μ2=0.2。為了研究上下分層雙分散顆粒系統(tǒng)底部受力情況，構(gòu)建如圖1所示的雙分散顆粒系統(tǒng)：上軟下硬雙分散顆粒系統(tǒng)[圖1(a)]和上硬下軟雙分散顆粒系統(tǒng)[圖1(b)]。引入層厚比定義為

(1)

(2)

m為硬顆粒層數(shù)；n為軟顆粒層數(shù)圖1 上下分層雙分散顆粒系統(tǒng)的模型示意圖Fig.1 Model diagram of upper and lower layered double disperse granular system

式中：γ1為硬層厚比；γ2為軟層厚比；m為硬顆粒層數(shù)；n為軟顆粒層數(shù)。

2 計算結(jié)果

2.1 上軟下硬雙分散顆粒系統(tǒng)的計算結(jié)果

首先建立γ1=0.5的上軟下硬型顆粒系統(tǒng)，改變粒間摩擦系數(shù)μ1的取值范圍，探究μ1對該系統(tǒng)底部響應(yīng)的影響，如圖2所示。從圖2中可以觀察到系統(tǒng)底部力分布均為對稱分布，且底部受力最小值均出現(xiàn)在顆粒與邊界接觸處。在μ1=0時底部力分布為一個標(biāo)準(zhǔn)的雙峰分布。隨著μ1的增加，中間峰谷上移，在0.3≤μ1≤0.4時雙峰間出現(xiàn)一個平臺，將其稱之為平臺分布。經(jīng)歷短暫的平臺分布后，底部力逐漸向中間集中，當(dāng)μ1>0.4時，底部受力呈現(xiàn)出單峰分布。

圖2 粒間摩擦系數(shù)μ1對上軟下硬分層顆粒系統(tǒng)底部力分布影響Fig.2 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the force distribution at the bottom of the upper soft and lower hard layered granular system

進(jìn)一步探討粒間摩擦系數(shù)μ1對該系統(tǒng)底部響應(yīng)的影響，分別取系統(tǒng)底部力的平均力、峰值及中間力(顆粒位置為±5 mm處的底部顆粒接觸力的平均值)進(jìn)行分析，如圖3所示?？梢钥闯觯害?=0時，平均力為最大值1.20 N，隨后曲線急速下降；當(dāng)μ1=0.3時，底部平均力達(dá)到最小值1.07 N，隨著μ1繼續(xù)增加，底部平均力雖有上升趨勢但趨于飽和。說明粒間摩擦的出現(xiàn)會使系統(tǒng)中力向底部的傳遞大幅度被削弱，但當(dāng)摩擦系數(shù)增大到0.3以上時，系統(tǒng)中的力向底部的傳遞略有增加，增加幅度緩慢。觀察底部力峰值曲線可知：0≤μ1≤0.3時，變化趨勢與平均力曲線類似；μ1=0.3時，峰值為最小值1.19 N，隨后峰值開始增大；μ1≥0.6后，增加趨勢趨于平緩；μ1=1.0時，峰值達(dá)到最大值1.48 N。底部中間力隨μ1的增加先緩慢減小，μ1=0.2時，中間力為最小值0.94 N；隨后曲線變化趨勢與峰值曲線相似，當(dāng)μ1≥0.6時，中間力與峰值曲線重合；μ1=1.0時，中間力達(dá)到最大值?？梢钥闯?，對于γ1=0.5的上軟下硬型顆粒系統(tǒng)，隨著粒間摩擦系數(shù)的增大，系統(tǒng)中力的傳遞方向隨之發(fā)生改變，逐漸向系統(tǒng)中間區(qū)域偏移，系統(tǒng)對力的聚集作用隨之增強(qiáng)，最后系統(tǒng)底部中間出現(xiàn)最大值。這與文獻(xiàn)[15]中單分散系統(tǒng)中峰值突出的現(xiàn)象相似。

圖3 粒間摩擦系數(shù)μ1對上軟下硬分層顆粒系統(tǒng)底部平均力、峰值和中間力變化影響圖Fig.3 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the variation of average force, peak value and intermediate force at the bottom of the upper soft and lower hard layered granular system

保持粒間摩擦系數(shù)μ1不變，探討相同摩擦作用下，層厚比不等時上軟下硬型顆粒系統(tǒng)的底部響應(yīng)形態(tài)的變化。從圖4(a)、圖4(b)可見，上軟下硬型系統(tǒng)(0<γ1<1.0)底部力的分布與全軟顆粒組成的單分散顆粒系統(tǒng)(γ1=0)類似，但明顯區(qū)別于全硬顆粒組成的顆粒系統(tǒng)(γ1=1.0)，位于上部的軟顆粒層在力的傳遞中占主導(dǎo)地位。在摩擦系數(shù)較小和較大時，上軟下硬型系統(tǒng)的底部響應(yīng)形式不隨γ1的增加發(fā)生本質(zhì)變化。進(jìn)一步從圖4(c)中可以看出，無論μ1=0.2或0.5，γ1處于0～0.9時，平均力在一固定值附近輕微波動。γ1=1.0時，平均力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于γ1處于0～0.9時，說明單分散軟顆粒系統(tǒng)中添加下部硬顆粒層對底部力的傳遞作用并不會明顯增強(qiáng)。

圖4 硬層厚比γ1對上軟下硬分層顆粒系統(tǒng)底部力分布及平均力影響圖Fig.4 Influence of γ1 on the bottom force distribution and average force of the upper soft and lower hard layered granular system

進(jìn)一步地，為了論證系統(tǒng)底部響應(yīng)轉(zhuǎn)變的機(jī)理與粒間摩擦系數(shù)、硬層厚比的關(guān)系，給出圖5所示的相圖。可以看出，上軟下硬型顆粒系統(tǒng)隨著粒間摩擦的增大，底部響應(yīng)的分布狀態(tài)存在三種形式(雙峰、平臺和單峰)，其轉(zhuǎn)換順序均為雙峰→平臺→單峰，相位轉(zhuǎn)換點(diǎn)均在μ1=0.4之下；硬層厚比γ1較小時，相位轉(zhuǎn)換點(diǎn)較低，μ1處于0.2～0.3底部響應(yīng)為平臺分布；γ1=0.3時，平臺區(qū)域最大，μ1處于0.2～0.4為平臺分布；γ1較大時，相位轉(zhuǎn)換點(diǎn)升高，μ1處于0.3～0.4為平臺分布。因此，粒間摩擦系數(shù)μ1≤0.2或μ1≥0.4時，硬層厚比對底部響應(yīng)的轉(zhuǎn)變幾乎沒有影響。

圖5 粒間摩擦系數(shù)和硬層厚比對底部響應(yīng)影響的相圖Fig.5 Phase diagram of the influence of intergranular friction coefficient and hard layer thickness ratio on bottom response

2.2 上硬下軟雙分散顆粒系統(tǒng)的計算結(jié)果

建立γ2=0.5的上硬下軟型顆粒系統(tǒng)，改變粒間摩擦系數(shù)μ1的取值范圍，探究μ1對該系統(tǒng)底部響應(yīng)的影響，如圖6所示。從圖6中可看出，在μ1較小時，中間峰值較為突出，隨著μ1的增加，峰值雖有下降，但底部響應(yīng)均為單峰分布并未出現(xiàn)平臺分布及雙峰分布，這與上軟下硬型系統(tǒng)的底部響應(yīng)并不相同。

圖6 粒間摩擦系數(shù)μ1對上硬下軟分層顆粒系統(tǒng)底部力分布影響圖Fig.6 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the bottom force distribution of the upper hard and lower soft layered granular system

如圖7所示，隨著粒間摩擦的增加，底部平均力整體呈下降趨勢。粒間摩擦系數(shù)μ1較小時，平均力從1.10 N減小到1.04 N，下降速度較快；當(dāng)粒間摩擦系數(shù)μ1大于0.5之后，平均力雖有波動，但趨向于一個固定值0.95 N。峰值/中間力(此時，該系統(tǒng)底部響應(yīng)沒有出現(xiàn)雙峰分布，故峰值出現(xiàn)在系統(tǒng)底部中間，峰值曲線與中間力曲線重合)以μ1=0.5為界，當(dāng)粒間摩擦系數(shù)μ1較小時，峰值/中間力隨μ1的增加由1.38 N緩慢增加到1.50 N；當(dāng)粒間摩擦系數(shù)μ1>0.5后，峰值/中間力隨μ1的增加迅速減小到1.08 N，并在其附近上下波動。這明顯與上軟下硬型系統(tǒng)不同，在上硬下軟型系統(tǒng)中，粒間摩擦的出現(xiàn)雖然也削弱了力向底部的傳遞，但粒間摩擦的增加使中間區(qū)域的力向兩側(cè)分散，這種分散作用在μ1>0.5后趨于平緩，粒間摩擦對其影響變小。

圖7 粒間摩擦系數(shù)μ1對上硬下軟分層顆粒系統(tǒng)底部平均力、峰值/中間力變化影響圖Fig.7 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the variation of average and peak/intermediate forces at the bottom of the upper hard and lower soft delaminated granular system

如圖8所示，保持μ1(μ1分別取0.2和0.5)不變，探討相同摩擦系數(shù)作用下，層厚比不同時上硬下軟型顆粒系統(tǒng)的底部響應(yīng)形態(tài)的變化。可以看出，與上軟下硬型系統(tǒng)類似，上硬下軟型系統(tǒng)(0<γ2<1.0)的底部力分布更接近于全軟顆粒組成的單分散顆粒系統(tǒng)(γ2=1.0)，而明顯區(qū)別于全硬顆粒組成的顆粒系統(tǒng)(γ2=0)，位于下部的軟顆粒層在力的傳遞中依然占主導(dǎo)地位，但層厚比對系統(tǒng)底部響應(yīng)形式影響較大。從圖8(a)中可見，μ1=0.2的情況下，γ2≤0.3時，底部響應(yīng)為平臺分布；0.4≤γ2≤0.5時，響應(yīng)為單峰分布；γ2≥0.6時，響應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)殡p峰分布。從圖8(b)中可知，μ1=0.5時，γ2=0的單分散硬顆粒系統(tǒng)底部響應(yīng)為單峰分布；0.1≤γ2≤0.2時，底部響應(yīng)為平臺分布；0.3≤γ2≤0.5時，底部響應(yīng)為單峰分布；γ2>0.6時，底部響應(yīng)為雙峰分布。圖8(c)中可以看出兩條曲線走勢相似，γ2=0時，平均力最大值分別為2.0 N和2.3 N；隨著γ2增大到0.1，平均力分別迅速減小到1.1 N和0.97 N，隨后趨于平緩。這表明，該系統(tǒng)中力從硬顆粒層傳遞到軟顆粒層時傳遞方向會發(fā)生改變，下部軟顆粒層的設(shè)置會大大削弱力的傳遞作用，但隨著軟層厚比的增大，平均力并不隨之減小，而是在固定值附近波動。說明上硬下軟型系統(tǒng)中下部軟顆粒層的厚度對力向底部傳遞的總量沒有影響。

圖8 軟層厚比γ2對上硬下軟分層顆粒系統(tǒng)底部力分布及平均力影響圖Fig.8 Influence of γ2 on the bottom force distribution and average force of upper hard and lower soft delaminated granular system

如圖9所示，該種類型系統(tǒng)的相圖與上軟下硬型系統(tǒng)明顯不同。軟層厚比γ2=0時，此時系統(tǒng)為單分散硬顆粒系統(tǒng)，底部響應(yīng)隨粒間摩擦系數(shù)μ1的增大按雙峰→平臺→單峰的順序轉(zhuǎn)換；當(dāng)γ2進(jìn)一步增大時，底部響應(yīng)雙峰形式消失，平臺區(qū)域占主要部分；隨著γ2的增大，平臺區(qū)域減少，單峰區(qū)域占主要部分；將γ2增大到0.4～0.5時，底部響應(yīng)均為單峰形式；進(jìn)一步增大γ2，雙峰區(qū)域出現(xiàn)并逐漸增大，此時響應(yīng)只存在雙峰和單峰兩種相位，底部響應(yīng)隨粒間摩擦系數(shù)μ1的增大按雙峰→單峰的順序轉(zhuǎn)換，當(dāng)系統(tǒng)為單分散軟顆粒系統(tǒng)(γ2=1.0)時，響應(yīng)恢復(fù)為雙峰→平臺→單峰的順序，且相位轉(zhuǎn)換點(diǎn)相同。

圖9 粒間摩擦系數(shù)和軟層厚比對底部響應(yīng)影響的相圖Fig.9 Phase diagram of the influence of intergranular friction coefficient and soft layer thickness ratio on bottom response

3 結(jié)論

通過分析粒間摩擦系數(shù)μ1和層厚比γ1、γ2對上下分層雙分散顆粒系統(tǒng)內(nèi)部力的傳遞與底部響應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論。

(1)對于單分散顆粒系統(tǒng)，類似于文獻(xiàn)[15]，粒間摩擦的存在會改變整個顆粒系統(tǒng)的彈性，力在系統(tǒng)中的傳遞會發(fā)生變化，粒間摩擦系數(shù)很大時，底部響應(yīng)會轉(zhuǎn)變成單峰分布，但其分布曲線的演變過程不同。對于上軟下硬型雙分散顆粒系統(tǒng)，其底部響應(yīng)曲線的演變隨粒間摩擦系數(shù)的增大與單分散系統(tǒng)完全類似，均是按照的雙峰→平臺→單峰的順序演變，但其底部平均力和峰值隨著粒間摩擦的出現(xiàn)迅速減小，在粒間摩擦系數(shù)較小時，平均力和峰值達(dá)到最小值；隨著粒間摩擦的進(jìn)一步增加，平均力緩慢增大，峰值則在先快速減小后平緩增大，中間力則在粒間摩擦較小時略有減小，之后隨粒間摩擦系數(shù)的增大而增大。對于上硬下軟型雙分散顆粒系統(tǒng)，雖然在粒間摩擦系數(shù)較大時，系統(tǒng)的底部響應(yīng)曲線均為單峰曲線，但其演變過程只存在一個或兩個相位，并不嚴(yán)格按照雙峰→平臺→單峰的規(guī)律演變。平均力隨著粒間摩擦的增大呈波動型下降，峰值和中間力略有增加，在μ1>0.5之后，平均力在一個固定值附近波動，峰值和中間力減小到固定值附近波動。也就是說，較小的粒間摩擦使底部力向兩側(cè)邊界擴(kuò)散，減小了底部邊界的負(fù)擔(dān)；但對于上軟下硬型系統(tǒng)，較大的粒間摩擦并不能使邊界的負(fù)擔(dān)過多減少，而是會改變力的傳遞方向，使系統(tǒng)中間區(qū)域的力向中間點(diǎn)聚集，而對于上硬下軟型系統(tǒng)，則使中間區(qū)域的力向兩側(cè)擴(kuò)散。

(2)分層顆粒系統(tǒng)中的軟顆粒的位置在力的傳遞過程中占主導(dǎo)地位，對于兩種類型的分層系統(tǒng)，其底部力的分布曲線和平均力值更接近于全軟顆粒組成的單分散系統(tǒng)，軟硬層厚比的變化幾乎不影響底部平均力的變化。γ1的變化不會引起上軟下硬型系統(tǒng)底部響應(yīng)的明顯變化，力從軟顆粒層傳遞到硬顆粒層時，力的傳遞方向沒有明顯改變。而對于上硬下軟型系統(tǒng)，γ2的變化會引起底部響應(yīng)的變化，力從硬顆粒層傳遞到軟顆粒層時，由于軟顆粒層對力的吸收限制作用，力的傳遞方向發(fā)生明顯改變，力更容易向系統(tǒng)中間聚集。

(3)在上軟下硬型系統(tǒng)的底部曲線相圖中，三種相位呈層狀分布，單峰區(qū)域占主要部分，平臺所占區(qū)域較窄，隨著μ1的增大，γ1只會影響相圖中的相位轉(zhuǎn)換點(diǎn)位置，不改變相位轉(zhuǎn)變順序；而在上硬下軟型系統(tǒng)中，單峰區(qū)域呈M形分布，對應(yīng)于不同的γ2，隨著μ1的增大，相位的轉(zhuǎn)換形式不同，在軟顆粒較少時，平臺區(qū)域較大，在軟顆粒較多時，雙峰區(qū)域較大，當(dāng)軟顆粒和硬顆粒層比例接近時，底部曲線為單峰形式。此時，μ1和γ2都是影響系統(tǒng)中力的傳遞的主要因素。