加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型在高速鐵路沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

潘 慧

(浙江省國(guó)土勘測(cè)規(guī)劃有限公司杭州分公司 浙江杭州 310030)

近年來(lái)，我國(guó)高速鐵路發(fā)展迅速，其運(yùn)行安全成為人們關(guān)注的重點(diǎn)。對(duì)高速鐵路進(jìn)行沉降監(jiān)測(cè)并對(duì)其數(shù)據(jù)做進(jìn)一步分析與預(yù)測(cè)，對(duì)于安全運(yùn)行具有重要意義。然而高速鐵路沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的采集受多種因素的影響，如何利用已有沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)高速鐵路沉降并提高預(yù)測(cè)精度是目前的研究對(duì)象。目前常用的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、卡爾曼濾波模型及灰色系統(tǒng)模型等，其中灰色系統(tǒng)模型中最常用是傳統(tǒng)GM(1，1)模型。傳統(tǒng)GM(1，1)模型的優(yōu)點(diǎn)是“小樣本、貧信息”，但受環(huán)境干擾較大，且當(dāng)原始數(shù)據(jù)序列出現(xiàn)較大波動(dòng)時(shí)，該模型預(yù)測(cè)會(huì)產(chǎn)生較大誤差，導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度不高。原始數(shù)據(jù)序列加權(quán)是提高模型精度的眾多方法之一，目前已有學(xué)者做了相關(guān)研究。趙澤昆等[1]利用權(quán)遞增因子構(gòu)建權(quán)矩陣，建立了非等間距加權(quán) GM(1，1) 模型 ，并證明了時(shí)間加權(quán)-新陳代謝GM(1，1)模型比傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度高；趙建飛等[2]將權(quán)作為原始序列的平滑因子，借助Matlab自編程序反復(fù)試驗(yàn)得出權(quán)值，并驗(yàn)證了加權(quán)GM(1,1)模型在地鐵沉降變形分析中的有效性、實(shí)用性和正確性。以上研究中權(quán)值大小隨時(shí)間遞增，充分考慮了新信息優(yōu)先原理，在一定程度上提高了模型的精度，但卻忽略了誤差對(duì)原始數(shù)據(jù)可信度的影響，存在一定的局限性。

本文運(yùn)用相對(duì)誤差與時(shí)間距離相結(jié)合的定權(quán)方法，引入新陳代謝思想，建立一種新的加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型，并將傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型應(yīng)用到高速鐵路沉降預(yù)測(cè)中，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型在高速鐵路沉降預(yù)測(cè)中的優(yōu)越性。

1 傳統(tǒng)GM(1，1)模型構(gòu)建

灰色理論可以從雜亂無(wú)章的原始時(shí)間線序列中找出內(nèi)在規(guī)律，解決小樣本中信息不完備的隨機(jī)時(shí)間序列問(wèn)題，為解決信息量少、規(guī)律性不強(qiáng)的數(shù)據(jù)提供了重要的處理方法。

假設(shè)原始序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)} ，對(duì)X(0)做一次累加，得到以下序列[3]：

X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(1)

k=1，2，…，n。

(2)

2 加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型構(gòu)建

2.1 原始序列加權(quán)

時(shí)間序列中不同時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值都應(yīng)加上一個(gè)表征其可靠性的權(quán)值[4]，但是在傳統(tǒng)GM(1，1)中，所有時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值都被視為同等重要，因此使用GM(1，1)模型對(duì)序列建模，都會(huì)降低擬合與預(yù)測(cè)的精度[5]。為了提高模型精度，本文在傳統(tǒng)GM(1，1)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合時(shí)間距離與傳統(tǒng)GM(1，1)模型一次擬合相對(duì)誤差對(duì)時(shí)間序列加權(quán)，其中，相對(duì)誤差反映了模型受外界環(huán)境的影響，用來(lái)剔除時(shí)間序列中的影響因子；加入時(shí)間距離，用來(lái)突出新舊時(shí)間序列值重要性的差異，提高距離預(yù)測(cè)點(diǎn)較近時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的利用率。

假設(shè)一序列ε=[ε(1)，ε(2)，…，ε(n)]為傳統(tǒng)GM(1，1)模型對(duì)原始時(shí)間序列擬合后得到的殘差值，此序列的相對(duì)誤差可表示為

(3)

距時(shí)間序列初始值的時(shí)間距離dt=k-1(t=1，2，…，n)，設(shè)初始值x(1)(1)=x(0)(1)，ρ(1)=1，可以得到

(4)

在傳統(tǒng)模型式中加入式(4)，得到最終的還原式為

(5)

式中：ρ為權(quán)值；a為發(fā)展系數(shù)，反映時(shí)間序列的發(fā)展趨勢(shì)；b為灰作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系。

2.2 加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型

與老信息相比，新信息在認(rèn)知上會(huì)有更大的作用，故加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型的建立有利于體現(xiàn)新信息的優(yōu)勢(shì)。在維度保持一致的情況下，通過(guò)加權(quán)模型可以求出在n+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，即使用x(0)(n+1)替換原始序列中的x(0)(1)，原始序列可變換為(x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1))，通過(guò)模型進(jìn)一步求出n+2時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，直至求出所有預(yù)測(cè)值。

2.3 精度驗(yàn)證

對(duì)加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型的穩(wěn)定性與可靠性進(jìn)行驗(yàn)證，需檢驗(yàn)其擬合與預(yù)測(cè)精度。常用的精度檢驗(yàn)方法有小誤差概率合格模型、均方差比合格模型和殘差檢驗(yàn)合格模型[5]。

2.3.1 小誤差概率合格模型

2.3.2 均方差比合格模型

2.3.3 殘差檢驗(yàn)合格模型

表1 精度檢驗(yàn)等級(jí)Tab.1 Levels of Accuracy Inspection精度等級(jí)小誤差概率均方差比值平均相對(duì)誤差一級(jí)0.950.350.01二級(jí)0.800.500.05三級(jí)0.700.600.10四級(jí)0.600.800.20

3 實(shí)例分析

構(gòu)建傳統(tǒng)模型、加權(quán)模型和加權(quán)動(dòng)態(tài)模型，然后對(duì)比分析3種模型的擬合值和預(yù)測(cè)值。試驗(yàn)數(shù)據(jù)為某高速鐵路中DK1137+711斷面的累計(jì)沉降序列，選取第10～27期累積沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，第28～30期累積沉降數(shù)據(jù)用于對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行檢驗(yàn)。

3種模型擬合值的平均殘差分別為 0.268 mm、0.214 mm和0.137 mm，平均相對(duì)擬合誤差分別為13.372%、9.283%和6.524%。傳統(tǒng)GM(1，1)模型的最大擬合殘差為0.607 mm，最小擬合殘差為0.027 mm；加權(quán)GM(1，1)模型的最大擬合殘差為0.447 mm，最小擬合殘差為0.057 mm；加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型的最大擬合殘差為 0.374 mm，最小擬合殘差為0.028 mm。表2為利用傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型得到的3期預(yù)測(cè)值。

表2 實(shí)測(cè)值與3種模型的預(yù)測(cè)值比較單位:mmTab.2 Comparison between Measured Values and Predicted Values of Three Models觀測(cè)期次實(shí)測(cè)值傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值殘差加權(quán)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值殘差加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值殘差282.882.5650.3152.6830.1972.7780.102293.152.9520.1983.0360.1143.1370.013302.863.2760.4163.1330.2733.0060.146

由表2可知，對(duì)高速鐵路沉降數(shù)據(jù)建模后預(yù)測(cè)得到的3期數(shù)據(jù)的平均殘差分別為0.310 mm、0.195 mm和0.087 mm，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差分別為10.590%、6.668%和3.020%。通過(guò)殘差檢驗(yàn)合格模型對(duì)3種模型擬合預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。

表3 3期擬合預(yù)測(cè)精度檢驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Test Results of Three Phase Fitting Prediction Accuracy模 型平均相對(duì)擬合誤差/%精度等級(jí)平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差/%精度等級(jí)傳統(tǒng)GM(1,1)模型13.372四級(jí)10.590四級(jí)加權(quán)GM(1,1)模型9.283三級(jí)6.668三級(jí)加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1,1)模型6.524三級(jí)3.020二級(jí)

從表3可知，與傳統(tǒng)GM(1，1)模型相比，加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型的平均相對(duì)擬合誤差與平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差都有了較大程度的降低，精度提高較為明顯，尤其是預(yù)測(cè)精度，由四級(jí)提升到二級(jí)。為了更直觀地反映3種模型對(duì)高速鐵路數(shù)據(jù)的擬合與預(yù)測(cè)結(jié)果，繪制擬合預(yù)測(cè)值與擬合預(yù)測(cè)殘差值折線圖(圖1)。

圖1 斷面監(jiān)測(cè)點(diǎn)3期擬合預(yù)測(cè)值與擬合預(yù)測(cè)殘差值Fig.1 Fitting Prediction Values and Fitting Prediction Residual Values of Section Monitoring Points in Three- Phase

由圖1可知，加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型擬合預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值最相近，擬合預(yù)測(cè)結(jié)果的殘差值波動(dòng)最小，并且在原始時(shí)間序列波動(dòng)較大的情況下依然能夠保持較好的擬合預(yù)測(cè)精度。采用同樣的方法對(duì)4期和5期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的檢驗(yàn)精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示。

表4 4期和5期擬合預(yù)測(cè)精度檢驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Test Results of Fitting Prediction Accuracy in Four Phase and Five Phase期 數(shù)模 型平均相對(duì)擬合誤差/%精度等級(jí)平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差/%精度等級(jí)4期傳統(tǒng)GM(1,1)模型13.372四級(jí)14.836四級(jí)加權(quán)GM(1,1)模型9.283三級(jí)8.196三級(jí)加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1,1)模型6.524三級(jí)4.085二級(jí)5期傳統(tǒng)GM(1,1)模型13.372四級(jí)16.574四級(jí)加權(quán)GM(1,1)模型9.283三級(jí)9.884三級(jí)加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1,1)模型6.524三級(jí)5.165三級(jí)

從表4可以看到，隨著預(yù)測(cè)期數(shù)的增加，3種模型的預(yù)測(cè)精度都有所降低，但加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型精度降低的速率比另外兩種模型的小；加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)5期數(shù)據(jù)的平均相對(duì)誤差為5.165%，可以達(dá)到三級(jí)精度等級(jí)。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文采用某高速鐵路中DK1137+711斷面的累計(jì)沉降序列數(shù)據(jù)，利用傳統(tǒng)GM(1，1)模型、加權(quán)GM(1，1)模型和加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)試驗(yàn)，并對(duì)3種模型的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析和驗(yàn)證。結(jié)果表明，3種模型都能對(duì)高速鐵路進(jìn)行準(zhǔn)確的沉降監(jiān)測(cè)與預(yù)測(cè)，其中，加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型可將相對(duì)誤差視為誤差影響因子予以剔除，提高了新信息的利用率，并且可以減少數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差，比其他兩種預(yù)測(cè)模型的擬合精度與預(yù)測(cè)精度更高。加權(quán)動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型用于高速鐵路沉降監(jiān)測(cè)具有高效性與準(zhǔn)確性，可以反映出高速鐵路沉降變形規(guī)律，對(duì)于高速鐵路沉降監(jiān)測(cè)與預(yù)測(cè)具有一定參考價(jià)值。