自動(dòng)化立體倉(cāng)庫(kù)“一車(chē)雙箱”模式訂單分批與存取決策優(yōu)化

李浩霖 譚哲一 汪小帆 鎮(zhèn)璐

摘 要：自動(dòng)化立體倉(cāng)庫(kù)使用雙工位穿梭車(chē)與升降機(jī)可實(shí)現(xiàn)兩件料箱同時(shí)搬運(yùn)的“一車(chē)雙箱”存取模式。本文針對(duì)“一車(chē)雙箱”存取模式下穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)揀選作業(yè)訂單分批與存取選擇問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)了雙層變鄰域禁忌搜索算法求解問(wèn)題。雙層變鄰域禁忌搜索算法中，外層變鄰域禁忌搜索算法優(yōu)化訂單分批決策，內(nèi)層啟發(fā)式算法則可生成存取決策及時(shí)序安排。根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果，該算法能在一定時(shí)間內(nèi)得到滿(mǎn)意解。與傳統(tǒng)“一車(chē)單箱”存取模式相比，“一車(chē)雙箱”存取模式可顯著提高存取效率。

關(guān)鍵詞：穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù);訂單分批;存取選擇;變鄰域禁忌搜索算法

中圖分類(lèi)號(hào)：TP18文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2097-0145（2022）02-0041-08doi：10.11847/fj.41.2.41

Integrated Optimization of Order Batching and Retrieving Location

Assignment in Automated Storage and Retrieval Systems

with Double-load Storage and Retrieval Mode

LI Hao-lin， TAN Zhe-yi， WANG Xiao-fan， ZHEN Lu

（School of Management， Shanghai University， Shanghai 200444， China）

Abstract：The application of double-load shuttles and lifts in shuttle-based storage and retrieval systems makes it possible to retrieve or store two unit loads simultaneously， and introduces double-load storage and retrieval mode in warehouse operation. This paper investigates the operational problem of double-load mode in shuttle-based storage and retrieval systems， and proposes a mixed-integer linear programming model to jointly optimize the order batching and retrieving assignment. An efficient two-stage variable neighborhood tabu search algorithm is developed for problem solving. The upper level of the algorithm is a variable neighborhood tabu search algorithm developed for optimizing order batching assignment. The lower level of the algorithm is a heuristic algorithm for generating the retrieving plan and sequence. Numerical experiments show the efficiency of the proposed algorithm. Compared with traditional single-load storage and retrieval mode， the double-load storage and retrieval mode can significantly improve system efficiency.

Key words：shuttle-based storage and retrieval systems; order batching; retrieving problem; variable neighborhood tabu search algorithm

1 引言

近年來(lái)，智能倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)極大地變革了倉(cāng)儲(chǔ)運(yùn)作模式，為電子商務(wù)等行業(yè)的發(fā)展提供了高效的物流服務(wù)支持。智能倉(cāng)庫(kù)依靠多種多樣的智能化設(shè)備，實(shí)現(xiàn)了倉(cāng)庫(kù)作業(yè)的自動(dòng)化與集成化。在眾多智能倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)中，穿梭車(chē)系統(tǒng)具有高速度、高靈活性、節(jié)能的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于倉(cāng)庫(kù)內(nèi)部水平方向物料搬運(yùn)。部分倉(cāng)庫(kù)將穿梭車(chē)系統(tǒng)與高層貨架相結(jié)合，對(duì)傳統(tǒng)自動(dòng)化立體倉(cāng)庫(kù)進(jìn)行創(chuàng)新，設(shè)計(jì)了穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)（Shuttle-based storage and retrieval systems，見(jiàn)圖1）[1]。穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)應(yīng)用穿梭車(chē)與升降機(jī)協(xié)同接力完成存取作業(yè)，豐富并發(fā)展了智能倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)。多數(shù)文獻(xiàn)圍繞穿梭車(chē)與升降機(jī)等核心設(shè)備及其運(yùn)行特征，論證了穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)在能耗、行程時(shí)間、系統(tǒng)投資等效率指標(biāo)上的優(yōu)勢(shì)[2，3]，并建立了系統(tǒng)評(píng)價(jià)模型，為系統(tǒng)設(shè)計(jì)等戰(zhàn)略決策提供決策參考[4～8]。一些文獻(xiàn)針對(duì)穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)中工作量平衡、巷道擁堵等運(yùn)作問(wèn)題展開(kāi)探討[9～11]。一般的穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)中，穿梭車(chē)與升降機(jī)每次存取作業(yè)只可運(yùn)載一件料箱，以“一車(chē)單箱”存取模式（下文簡(jiǎn)稱(chēng)“單箱模式”）進(jìn)行。部分倉(cāng)儲(chǔ)企業(yè)在穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)中應(yīng)用了雙工位穿梭車(chē)及雙工位升降機(jī)（見(jiàn)圖1），實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)料箱同時(shí)存取的“一車(chē)雙箱”存取模式（下文簡(jiǎn)稱(chēng)“雙箱模式”）。宋振波[12]建立了雙載位單深位多層穿梭車(chē)系統(tǒng)的出庫(kù)作業(yè)時(shí)間模型，并研究了儲(chǔ)位分配與任務(wù)調(diào)度優(yōu)化等相關(guān)問(wèn)題。雙箱模式一般應(yīng)用于同層同巷道料箱的存取作業(yè)，而部分零散料箱存取作業(yè)則以單箱模式執(zhí)行。雙箱模式可減少倉(cāng)庫(kù)存取作業(yè)的執(zhí)行次數(shù)，降低大規(guī)模料箱存取作業(yè)的時(shí)間消耗與總存取成本。雙箱模式需對(duì)哪些料箱在何時(shí)使用雙箱模式進(jìn)行決策，這一決策過(guò)程直接改變了料箱存取選擇決策機(jī)制，同時(shí)與倉(cāng)庫(kù)訂單揀選需求密切相關(guān)。41A2FBCC-B472-4D65-9D48-38B623931BB4

倉(cāng)庫(kù)出庫(kù)作業(yè)工作量較大，作業(yè)較為復(fù)雜，因而常需對(duì)訂單及存取任務(wù)進(jìn)行排序、分批等方式處理[13，14]。訂單分批的要義在于整合不同訂單中的零碎需求，以批次為單位進(jìn)行揀選，以降低需求的零碎性與揀選復(fù)雜程度，減少揀選作業(yè)中的無(wú)用功?；陔娚虃}(cāng)庫(kù)的背景，許多學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)人到貨倉(cāng)庫(kù)中訂單分批與揀貨路徑[15]、訂單分批與存儲(chǔ)策略[16]、訂單分批與配送[17]等問(wèn)題的集成優(yōu)化問(wèn)題展開(kāi)了研究。智能倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)中，機(jī)器人訂單揀選系統(tǒng)的訂單分批與貨位分配[18]、存取選擇[19]、機(jī)器人排程[20]等問(wèn)題的集成優(yōu)化也得到了學(xué)者關(guān)注。訂單分批應(yīng)用于穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)等智能倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)，可通過(guò)改變各批次需求特征影響料箱存取決策，減少料箱、托盤(pán)出庫(kù)及回庫(kù)作業(yè)次數(shù)，同時(shí)為雙箱模式應(yīng)用創(chuàng)造條件。

通過(guò)歸納現(xiàn)有研究，可發(fā)現(xiàn)穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)運(yùn)營(yíng)管理研究得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，訂單分批操作在穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)揀選中具有實(shí)踐價(jià)值?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中，穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)相關(guān)研究多通過(guò)建立解析模型分析系統(tǒng)行程時(shí)間，或通過(guò)仿真等方法研究穿梭車(chē)路徑規(guī)劃、死鎖控制等問(wèn)題，針對(duì)雙箱模式下穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)的研究較少。盡管已經(jīng)有學(xué)者研究了自動(dòng)化倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)的訂單分批問(wèn)題，然而穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)的訂單分批研究較為少見(jiàn)。本文以“一車(chē)雙箱”存取模式穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)為研究主體，研究了雙箱模式下倉(cāng)庫(kù)揀選作業(yè)的訂單分批決策與存取選擇決策，并運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法建立模型，設(shè)計(jì)了雙層變鄰域禁忌算法求解問(wèn)題，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性及雙箱模式對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行效率的提升。本文的創(chuàng)新點(diǎn)可歸納為以下三點(diǎn)：（1）本文研究了穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)雙箱模式，豐富了智能倉(cāng)庫(kù)的運(yùn)作研究。（2）實(shí)現(xiàn)了穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)中的訂單分批決策與存取選擇決策的集成優(yōu)化，為倉(cāng)庫(kù)揀選作業(yè)提供了指導(dǎo)。（3）設(shè)計(jì)的雙層變鄰域搜索算法具有較高的求解效率，為問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用提供了有效的工具。

2 問(wèn)題描述

本文從訂單揀選總成本的角度研究了雙箱模式穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)訂單揀選，通過(guò)存取決策與訂單分批的優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)效率的提升。本節(jié)通過(guò)對(duì)穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)流程介紹，闡述各部分決策之間的內(nèi)在聯(lián)系機(jī)理。

訂單分批通過(guò)將不同待分揀訂單組合為一個(gè)批次，整合不同訂單不同品項(xiàng)的零散需求，以降低訂單需求零散度與波動(dòng)性，減少不必要的存取作業(yè)。訂單分批為各揀貨臺(tái)提供了揀選任務(wù)的指導(dǎo)，各揀貨臺(tái)需按一定先后順序執(zhí)行分配的各批次揀選任務(wù)。受揀貨臺(tái)處理能力限制，每個(gè)批次的訂單數(shù)量、每個(gè)揀貨臺(tái)執(zhí)行的批次任務(wù)數(shù)量需限制在合理范圍內(nèi)。本文的訂單分批決策包含著將訂單組合為批次、將批次任務(wù)分配至揀貨臺(tái)的決策問(wèn)題，同時(shí)還關(guān)聯(lián)著各揀貨臺(tái)各批次任務(wù)執(zhí)行順序。為簡(jiǎn)化決策流程，本文將每個(gè)揀貨臺(tái)所有可執(zhí)行批次進(jìn)行統(tǒng)一編號(hào)，并按照編號(hào)順序規(guī)定了各揀貨臺(tái)批次執(zhí)行先后順序，建立起批次-揀貨臺(tái)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將訂單分批決策定義為將訂單分配至某一編號(hào)的批次，從而將揀貨臺(tái)分配、批次執(zhí)行順序決策合并至訂單分批決策中。

訂單分批后需進(jìn)行料箱存取作業(yè)計(jì)劃。穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)中所有零散的商品由料箱裝載，并存儲(chǔ)于高層貨架內(nèi)的指定庫(kù)位。訂單揀選中需根據(jù)各批次需求對(duì)料箱執(zhí)行取貨作業(yè)，使用穿梭車(chē)、升降機(jī)以單箱模式或雙箱模式協(xié)同接力將料箱出庫(kù)，再由傳送帶送至各揀貨臺(tái)。料箱出庫(kù)后若有剩余貨物即為散數(shù)箱，需執(zhí)行存儲(chǔ)作業(yè)（即取貨作業(yè)的相反操作）將散數(shù)箱回庫(kù)至原貨位等待后續(xù)揀選。料箱內(nèi)若無(wú)剩余貨物則為空箱，不需回庫(kù)。存取決策中還包含著料箱作業(yè)時(shí)序安排問(wèn)題，即對(duì)料箱在各批次中的取貨作業(yè)開(kāi)始時(shí)間、存儲(chǔ)作業(yè)完成時(shí)間、料箱間存取作業(yè)先后順序進(jìn)行決策。所有作業(yè)都必須在一定的時(shí)間窗限制內(nèi)完成。升降機(jī)處以串行作業(yè)的順序依次執(zhí)行各存取任務(wù)，而不同層的穿梭車(chē)可并行作業(yè)。根據(jù)作業(yè)關(guān)系可得出各存取作業(yè)間最短時(shí)間間隔，并通過(guò)時(shí)間間隔卡控的方式，保證穿梭車(chē)與升降機(jī)在執(zhí)行完前一個(gè)任務(wù)后，有充足時(shí)間運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)任務(wù)的作業(yè)位置。

倉(cāng)庫(kù)運(yùn)營(yíng)管理決策常關(guān)注時(shí)間及成本兩個(gè)目標(biāo)。時(shí)間目標(biāo)直接體現(xiàn)了倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)的運(yùn)行效率，常與訂單排序等調(diào)度決策相關(guān)聯(lián)。成本目標(biāo)則

從經(jīng)濟(jì)角度考察倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)運(yùn)行。穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)中，穿梭車(chē)與升降機(jī)執(zhí)行存取作業(yè)時(shí)需消耗電能，并隨之產(chǎn)生相應(yīng)的存取成本。本文對(duì)存取成本的控制，可直接減少電能消耗，為倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)節(jié)能減排目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)提供指導(dǎo)。根據(jù)雙箱模式所使用設(shè)備可知，雙箱模式只在貨位-貨架出入口區(qū)域執(zhí)行，因此本文以貨架出入口為界，將料箱出庫(kù)與回庫(kù)的存取成本拆分為兩部分，即貨架區(qū)域存取成本及揀貨臺(tái)區(qū)域存取成本。貨架區(qū)域存取成本和料箱貨位直接相關(guān)，貨位距離貨架出入口越遠(yuǎn)，則貨架區(qū)域存取成本越高，耗時(shí)越長(zhǎng)。揀貨臺(tái)區(qū)域存取成本與揀貨臺(tái)位置有關(guān)，揀貨臺(tái)距離貨架出入口越遠(yuǎn)，則成本也越高。為簡(jiǎn)化模型，本文利用前述批次與揀貨臺(tái)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將揀貨臺(tái)區(qū)域存取成本轉(zhuǎn)化為各批次在揀貨臺(tái)區(qū)域的存取成本表示，即根據(jù)各批次所對(duì)應(yīng)的揀貨臺(tái)，計(jì)算出該批次在揀貨臺(tái)區(qū)域的存取成本。

為簡(jiǎn)化問(wèn)題，本文根據(jù)上述問(wèn)題設(shè)定，提出如下假設(shè)：（1）所有訂單的需求信息均為已知信息。（2）每一料箱內(nèi)只可存儲(chǔ)一個(gè)品項(xiàng)的商品，料箱內(nèi)商品數(shù)量已知，各料箱具有固定的庫(kù)位。（3）考慮到調(diào)度復(fù)雜度與升降機(jī)運(yùn)行效率，雙箱模式只可應(yīng)用于同一層料箱的取貨或存儲(chǔ)作業(yè)。（4）料箱存取成本與搬運(yùn)時(shí)間根據(jù)歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)歸納，取穿梭車(chē)、升降機(jī)、傳送帶在不同工況下的運(yùn)行成本平均值，因而假設(shè)單箱雙箱模式存取成本相同，作業(yè)耗時(shí)相同，與穿梭車(chē)、升降機(jī)所承載的料箱數(shù)量與重量、運(yùn)動(dòng)方向無(wú)關(guān)。

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 符號(hào)說(shuō)明

模型中所涉及到的符號(hào)及其含義如下：

集合與下標(biāo)。

I為所有料箱的集合，下標(biāo)為i。

P為所有品項(xiàng)的集合，下標(biāo)為p。

O為所有訂單的集合，下標(biāo)為o。

B為所有批次的集合，下標(biāo)為b。y（b），y′（b）表示開(kāi)始與結(jié)束的虛批次，并由此定義集合B0=B∪{y（b）}，BT=B∪{y′（b）}。41A2FBCC-B472-4D65-9D48-38B623931BB4

參數(shù)。

dp，o為訂單o中品項(xiàng)p的需求量。

ui，p為料箱品項(xiàng)參數(shù)，若料箱i中產(chǎn)品品項(xiàng)為p，則為1，反之為0。

ci為料箱i從其貨位到出入口間的搬運(yùn)成本。

cb′為料箱在批次b對(duì)應(yīng)揀貨臺(tái)與貨架出入口間的搬運(yùn)成本。

qb1，b2，若批次b2允許在批次b1揀選完成后開(kāi)始揀選，則為1，反之為0。

zi1，i2，若箱i1與箱i2位于同一層，且i1存取成本大于i2，則為1，反之為0。

ki，b為箱i在批次b的最短處理時(shí)間。

k′i，b為箱i在批次b允許最長(zhǎng)處理時(shí)間。

li1，i2為箱i1與i2出庫(kù)（回庫(kù)）作業(yè)最短時(shí)間間隔。

l′i1，i2為箱i1某批次回庫(kù)作業(yè)與箱i2某批次出庫(kù)作業(yè)最短時(shí)間間隔。

l″i1，i2為“一車(chē)雙箱”操作時(shí)箱i1與i2出庫(kù)（回庫(kù)）作業(yè)的時(shí)間間隔。

決策變量。

βo，b，0-1變量，若訂單o被分配至批次b，則為1，反之為0。

αi，b，整數(shù)變量，為箱i在批次b中的取貨量。

γi，b，0-1變量，若箱i需在批次b揀選，則為1，反之為0。

ιi，b，若箱i需在批次b揀選，則該變量表示箱i批次b揀選作業(yè)的開(kāi)始時(shí)間。

κi，b，若箱i需在批次b揀選且料箱未被取空，則該變量表示箱i批次b揀選作業(yè)的結(jié)束時(shí)間。

δi，b，0-1變量，若箱i在批次b揀選后被取空，則為1，反之為0。

λi，b1，b2，整數(shù)變量，若箱i先在批次b1揀選，后在批次b2揀選，則為批次b1取貨量，反之為0。

θb1，b2，0-1變量，若批次b1完成時(shí)間早于批次b2開(kāi)始時(shí)間則為1，反之為0。

νi1，b1，i2，b2，0-1變量，若箱i1批次b1揀選開(kāi)始時(shí)間需早于箱i2批次b2揀選開(kāi)始時(shí)間則為1，反之為0。

ξi1，b1，i2，b2，0-1變量，若箱i1批次b1揀選結(jié)束時(shí)間需早于箱i2批次b2揀選結(jié)束時(shí)間則為1，反之為0。

οi1，b1，i2，b2，0-1變量，若箱i1批次b1揀選結(jié)束時(shí)間需早于箱i2批次b2揀選開(kāi)始時(shí)間則為1，反之為0。πi1，b1，i2，b2，0-1變量，若箱i1批次b1與箱i2批次b2取貨作業(yè)可通過(guò)雙箱模式取貨則為1，反之為0。

ρi1，b1，i2，b2，0-1變量，若箱i1批次b1與箱i2批次b2存儲(chǔ)作業(yè)可通過(guò)雙箱模式存儲(chǔ)則為1，反之為0。

3.2 數(shù)學(xué)模型

min∑i∈Ici∑b∈B（2γi，b-δi，b-∑i2∈I∑b2∈B

（πi2，b2，i，b+ρi2，b2，i，b））+∑b∈Bcb′∑i∈I（2γi，b-δi，b）（1）

s.t.∑b∈Bβo，b=1o∈O（2）

∑o∈Oβo，b≤nb∈B（3）

∑i∈Iui，pαi，b=∑o∈Odp，oβo，bp∈P，b∈B（4）

αi，b≤Mγi，bi∈I，b∈B（5）

M（θi，b1，b2-1）≤ιi，b2-κi，b1≤Mθi，b1，b2i∈I，b1，b2∈B（6）

θi，b1，b2≤qb1，b2i∈I，b1，b2∈B（7）

ιi，b+ki，b（γi，b-δi，b）≤κi，b≤ιi，b+ki，b′（γi，b-δi，b）i∈

I，b∈B（8）

si-∑b1∈Bλi，b1，b≤M（1-δi，b）i∈I，b∈B（9）

δi，b≤γi，bi∈I，b∈B（10）

λi，b1，b2≤Mθi，b1，b2i∈I，b1，b2∈B，b1≠b2（11）

αi，b1-M（1-θi，b1，b2 ）≤λi，b1，b2≤αi，b1i∈I，b1，b2∈B，b1≠b2（12）

λi，b，b=αi，bi∈I，b∈B（13）

ιi1，b1-ιi2，b2≥li1，i2-M（2+νi1，b1，i2，b2 -γi1，b1-γi2，b2）i1，i2∈I，i1≠i2，b1，b2∈B（14）

κi1，b1-κi2，b2≥li1，i2-M（2+ξi1，b1，i2，b2-γi1，b1-γi2，b2+δi1，b1+δi2，b2）i1，i2∈I，i1≠i2，b1，b2∈B（15）

κi1，b1-ιi2，b2≥l′i1，i2-M（2+οi1，b1，i2，b2+δi1，b1-

γi1，b1-γi2，b2）i1，i2∈I，i1≠i2，b1，b2∈B（16）

νi1，b1，i2，b2+νi2，b2，i1，b1 -πi1，b1，i2，b2-πi2，b2，i1，b1=1i1，i2∈I，i1≠i2，b1，b2∈B（17）

ξi1，b1，i2，b2+ξi2，b2，i1，b1-ρi1，b1，i2，b2-ρi2，b2，i1，b1=1i1，i2∈I，i1≠i2，b1，b2∈B（18）

οi1，b1，i2，b2+οi2，b2，i1，b1=1i1，i2∈I，i1≠i2，b1，b2∈B（19）

2πi1，b1，i2，b2≤zi1，i2（γi1，b1+γi2，b2）i1，i2∈I，b1，b2∈B（20）

2ρi1，b1，i2，b2≤zi1，i2（γi1，b1-δi1，b1+γi2，b2-δi2，b2）i1，i2∈I，b1，b2∈B（21）

∑i2∈I∑b2∈B（πi，b，i2，b2+πi2，b2，i，b）≤1i∈I，b∈B（22）

∑i2∈I∑b2∈B（ρi，b，i2，b2+ρi2，b2，i，b）≤1i∈I，b∈B（23）41A2FBCC-B472-4D65-9D48-38B623931BB4

M（πi1，b1，i2，b2-1）-l″i1，i2≤ιi1，b1-ιi2，b2≤M（1-πi1，b1，i2，b2）-l″i1，i2i1，i2∈I，b1，b2∈B，i1≠i2（24）

M（ρi1，b1，i2，b2-1）+l″i1，i2≤κi1，b1-κi2，b2≤M（1-ρi1，b1，i2，b2）+l″i1，i2i1，i2∈I，b1，b2∈B，i1≠i2（25）

αi，b≥0i∈I，b∈B（26）

γi，b，δi，b∈{0，1}i∈I，b∈B（27）

βo，b∈{0，1}o∈O，b∈B（28）

λi，b1，b2≥0i∈I，b1，b2∈B（29）

θi，b1，b2∈{0，1}i∈I，b1，b2∈B（30）

ιi，b，κi，b≥0i∈I，b∈B（31）

νi1，b1，i2，b2，ξi1，b1，i2，b2，οi1，b1，i2，b2，πi1，b1，i2，b2，

ρi1，b1，i2，b2∈{0，1}i1，i2∈I，b1，b2∈B，i1≠i2（32）

（1）式表示本模型的目標(biāo)為最小化存取總成本，即各存取任務(wù)貨架區(qū)域存取成本與揀貨臺(tái)區(qū)域存取成本的和。（2），（3）式表示每個(gè)訂單能且只能被分配至一個(gè)批次，每個(gè)批次最多可包含n個(gè)訂單。（4）式通過(guò)各批次各品項(xiàng)揀選需求使訂單分批與存取選擇決策相關(guān)聯(lián)。（5）式表示箱存取與取貨量的邏輯關(guān)系。（6）式用以確定某一箱各批次揀選作業(yè)間的時(shí)間先后順序關(guān)系。（7）式保證各料箱各批次存取順序的合理性。（8）式定義各箱各批次揀選開(kāi)始時(shí)間與結(jié)束時(shí)間的時(shí)間差關(guān)系。（9），（10）式用于判斷料箱在某一批次是否被取空。（11）～（13）式計(jì)算料箱各批次揀選作業(yè)結(jié)束后的剩余貨量。（14）～（16）式要求兩料箱兩批次存取作業(yè)未以雙箱模式進(jìn)行時(shí)需根據(jù)時(shí)間順序滿(mǎn)足最小時(shí)間間隔限制。（17）～（19）式定義了兩料箱兩批次非雙箱模式時(shí)存取作業(yè)時(shí)序關(guān)系的唯一性。若兩料箱兩批次存取任務(wù)以雙箱模式進(jìn)行，則不受非雙箱模式時(shí)序關(guān)系限制。（20），（21）式表示雙箱模式需滿(mǎn)足雙箱模式的要求。（22），（23）式確保雙箱模式只可對(duì)兩個(gè)料箱執(zhí)行。（24），（25）式定義雙箱模式時(shí)兩箱的存取時(shí)間差。約束（26）～（32）式定義了各決策變量。

4 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)前序章節(jié)論述，本文主要決策包含訂單分批與存取選擇兩大部分。與常見(jiàn)的訂單分批問(wèn)題類(lèi)似，本文問(wèn)題亦為NP-hard問(wèn)題，采用商業(yè)求解工具或精確解算法難以在較短時(shí)間內(nèi)求解實(shí)際應(yīng)用中的大規(guī)模問(wèn)題。現(xiàn)有訂單分批研究多采用變鄰域搜索、禁忌搜索算法等啟發(fā)式算法求解問(wèn)題[16，21～23]。本文根據(jù)問(wèn)題特征設(shè)計(jì)了基于變鄰域禁忌搜索算法的雙層啟發(fā)式算法，其中外層針對(duì)訂單分批問(wèn)題，應(yīng)用變鄰域禁忌搜索算法迭代優(yōu)化，內(nèi)層則設(shè)計(jì)了啟發(fā)式算法，輸出相應(yīng)的存取方案及存取總成本。本文算法流程整體思路如下：

（1）應(yīng)用初始解算法生成初始訂單分批方案。（2）使用外層算法進(jìn)行訂單分批決策鄰域變換，并應(yīng)用內(nèi)層算法計(jì)算適應(yīng)度值，對(duì)比選出局部最優(yōu)解，然后多次迭代，通過(guò)禁忌策略避免在后續(xù)迭代過(guò)程中重復(fù)搜索該局部最優(yōu)解。（3）若算法在多次迭代后無(wú)法進(jìn)一步優(yōu)化現(xiàn)有局部最優(yōu)解，則觸發(fā)擾動(dòng)策略，生成新的初始解，并應(yīng)用新初始解重新執(zhí)行第二步操作，避免陷入局部最優(yōu)。

4.1 外層變鄰域禁忌算法設(shè)計(jì)

本文外層算法使用變鄰域禁忌算法，通過(guò)不同鄰域結(jié)構(gòu)對(duì)解向量進(jìn)行鄰域變換，搜索局部最優(yōu)解，不斷迭代，逐步向全局最優(yōu)解靠近。本文外層的變鄰域禁忌算法流程如算法1所示。

算法1外層變鄰域禁忌搜索算法

輸入：最大迭代次數(shù)iterMax，歷史最優(yōu)解保持不變迭代次數(shù)閾值iterHisMax

輸出：全局最優(yōu)解

1.初始化已迭代次數(shù)iter←0， 歷史最優(yōu)解保持不變的迭代次數(shù)iterHis←0， 清空禁忌表tabuList

2.調(diào)用種子算法得到初始解與擾動(dòng)策略備選解，并調(diào)用內(nèi)層算法計(jì)算初始解的適應(yīng)度值，將初始解賦值于局部最優(yōu)解curr與歷史最優(yōu)解hist

3.While iter

4.通過(guò)鄰域變換生成一組候選解，并使用內(nèi)層算法計(jì)算候選解適應(yīng)度值，選取適應(yīng)度最優(yōu)候選解作為候選最優(yōu)解cand

5.If candtabuList，或cand∈tabuList，且cand滿(mǎn)足蔑視準(zhǔn)則，then

6.curr←cand

7.End if

8.If curr優(yōu)于hist， then

9.hist←curr，? iterHis←0

10.Else iterHis←iterHis+1

11.End if

12.If iterHis=iterHisMax， then

13.觸發(fā)擾動(dòng)策略，重新生成當(dāng)前解，iterHis←0

14.End if

15.iter←iter+1

16.End while

17.Return? hist

4.1.1 編碼策略

外層算法選取訂單在各批次的分配決策變量β作為關(guān)鍵變量，并對(duì)這一變量使用自然數(shù)編碼方式降維，以便后續(xù)算法計(jì)算與迭代。定義共有B·n個(gè)元素的解向量L表示訂單分批的解。解向量中每一個(gè)元素代表一個(gè)訂單的訂單編號(hào)，前n個(gè)元素表示批次1所分配的訂單，第 n+1到2n個(gè)元素表示批次2所分配的訂單，以此類(lèi)推，同時(shí)使用占位符-1表示某一元素不對(duì)應(yīng)任何訂單。根據(jù)（4）式可知，每個(gè)訂單只可被分配到一個(gè)批次，因而此編碼策略中，除占位符-1外，其余元素的數(shù)字不能重復(fù)。41A2FBCC-B472-4D65-9D48-38B623931BB4

4.1.2 初始解的確定

為生成迭代初始解，本文對(duì)訂單分批中常用的啟發(fā)式算法——種子算法，應(yīng)用了不同的標(biāo)準(zhǔn)，即存取次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)與平均存取成本標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了本文的初始解算法。批次b中包含的所有訂單可使用集合Ob表示，而品項(xiàng)p料箱中初始存貨量可通過(guò)sp表示。存取次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)以訂單存取次數(shù)作為算法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)，單獨(dú)執(zhí)行每一個(gè)訂單存取作業(yè)的存取次數(shù)為T(mén)SRo=∑p∈P「dp，osp，其中「a為向上取整函數(shù)。算法首先選取訂單存取次數(shù)最少的訂單作為種子，然后選取與目前批次內(nèi)訂單組合后壓縮率最低的訂單加入批次內(nèi)，直到該批次達(dá)到訂單數(shù)量上限后停止該批次分批，開(kāi)啟新一批次分批，其中訂單批次b的壓縮率為

CRTOb=∑p∈P「∑o∈Obdp，osp∑o∈ObTSRo

壓縮率數(shù)值越低，表示這一分批方案的存取次數(shù)節(jié)約量越大。平均存取成本標(biāo)準(zhǔn)以存取次數(shù)標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，將每一品項(xiàng)的平均存取成本

CPp=∑i∈I∑b∈Bui，p×ci，b|B|×∑i∈Iui，p

作為權(quán)重，對(duì)訂單存取次數(shù)進(jìn)行加權(quán)，得到單獨(dú)執(zhí)行每一個(gè)訂單存取作業(yè)的存取成本TSRo=∑p∈P「dp，osp×CPp與將幾個(gè)訂單合并為同一批次后批次Ocomp的壓縮率

CRTOb=∑p∈P「∑o∈Obdp，osp×CPp∑o∈ObTSRo

兩套標(biāo)準(zhǔn)一般可生成兩組不同的初始訂單分批方案，此時(shí)應(yīng)用內(nèi)層啟發(fā)式算法，求得兩訂單分批方案各自的適應(yīng)度值，選取存取成本最低的一組為初始解進(jìn)行后續(xù)迭代，將另一組解暫存作為后續(xù)擾動(dòng)策略中所運(yùn)用的備選解，在觸發(fā)擾動(dòng)策略時(shí)調(diào)用。

4.1.3 變鄰域搜索策略

根據(jù)前述解向量的編碼策略與解的結(jié)構(gòu)特征，本文選取了點(diǎn)交換策略與2-opt策略用于鄰域變換。點(diǎn)交換策略隨機(jī)選取解向量中屬于不同批次的兩個(gè)元素進(jìn)行交換。2-opt策略隨機(jī)選取解向量中至少包含三個(gè)元素，且各元素至少分別屬于兩個(gè)批次的連續(xù)片段，將該片段中元素以相反順序排列。

4.1.4 禁忌搜索策略

本文將禁忌算法融合于變鄰域算法中，以避免問(wèn)題陷入局部最優(yōu)。單次迭代禁忌表記錄每次鄰域變換的變換方式，以避免該次迭代中重復(fù)同一鄰域搜索操作，并在該次迭代結(jié)束后清空。問(wèn)題求解全局禁忌表記錄每次鄰域變換后求得的最優(yōu)解，并保證在規(guī)定的長(zhǎng)度內(nèi)禁忌解無(wú)法被再次采用。通過(guò)這一策略，可避免算法在某一特定鄰域結(jié)構(gòu)上的無(wú)意義迭代，擴(kuò)大搜索范圍。本文禁忌搜索算法中應(yīng)用了蔑視準(zhǔn)則與釋放準(zhǔn)則。蔑視準(zhǔn)則為若某鄰域解的目標(biāo)函數(shù)值小于當(dāng)前全局最優(yōu)解的目標(biāo)值，無(wú)論該解是否在全局禁忌表中，該解均應(yīng)作為下次迭代的初始解。釋放準(zhǔn)則為每次迭代中，全局禁忌表中的解均存在一定概率可被釋放。當(dāng)禁忌表長(zhǎng)度達(dá)到一定閾值后，隨著新的禁忌解的加入，舊禁忌解按照“先進(jìn)先出”原則，從禁忌表中刪去。

4.1.5 擾動(dòng)策略設(shè)計(jì)

若某一局部最優(yōu)解在經(jīng)過(guò)一定迭代次數(shù)后無(wú)法被繼續(xù)優(yōu)化，則觸發(fā)擾動(dòng)策略，根據(jù)擾動(dòng)策略生成新的解作為當(dāng)前解，用于下一次迭代。擾動(dòng)策略被觸發(fā)時(shí)，首先檢查是否有暫存擾動(dòng)解，若有則調(diào)用擾動(dòng)解，若沒(méi)有則執(zhí)行隨機(jī)種子算法，隨機(jī)生成新的擾動(dòng)解與備選解。隨機(jī)種子算法原理與本文初始解算法中的種子算法類(lèi)似，其不同之處在于隨機(jī)種子算法的“種子”解為待分配訂單中隨機(jī)選出的一個(gè)訂單，其余流程與前述初始解算法類(lèi)似。隨機(jī)種子算法生成兩備選解后，選取其中適應(yīng)度較小的解替換當(dāng)前解，適應(yīng)度較大的解作為擾動(dòng)策略備選解。

4.2 內(nèi)層啟發(fā)式算法設(shè)計(jì)

本文算法內(nèi)層根據(jù)穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)的存取作業(yè)特征設(shè)計(jì)了啟發(fā)式算法，用于求解存取作業(yè)方案，具體包括如下三個(gè)步驟：

第1步 應(yīng)用首次適應(yīng)降序算法（First-Fit Decreasing Algorithm，F(xiàn)FD），得出各個(gè)批次需取貨料箱γi，b與取貨量αi，b。首次適應(yīng)降序算法是裝箱問(wèn)題中的一個(gè)近似算法。本文問(wèn)題中，每一批次每一品項(xiàng)的需求可視為裝箱問(wèn)題中的“貨物”，而裝載該品項(xiàng)產(chǎn)品的所有料箱則可視為容量為其初始貨量的箱。本文的問(wèn)題目標(biāo)存取成本最小化與裝箱問(wèn)題中的目標(biāo)使用箱數(shù)量最小化具有一致性，因而本文的存取選擇問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為裝箱問(wèn)題進(jìn)行求解。

第2步 基于第1步中求得的初步揀選方案，調(diào)整第1步求解結(jié)果，并據(jù)此求解變量δi，b，以及一車(chē)雙箱方案πi1，b1，i2，b2與ρi1，b1，i2，b2。方案修正的基本思想為通過(guò)對(duì)需求進(jìn)行拆分、重組，排序等方式，減少存取成本較高的料箱的存取次數(shù)，并充分利用取空與一車(chē)多件等存取成本節(jié)省方式。

第3步 根據(jù)前序兩步驟得到的γi，b、πi1，b1，i2，b2與ρi1，b1，i2，b2，形成存取任務(wù)taskj，將排序問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有

∑i∈I∑b∈Bγi，b-∑i1∈I∑b1∈B∑i2∈I∑b2∈B（πi1，b1，i2，b2+ρi1，b1，i2，b2）

個(gè)客戶(hù)點(diǎn)的旅行商問(wèn)題，并應(yīng)用內(nèi)層的變鄰域禁忌算法對(duì)這些任務(wù)進(jìn)行排序。內(nèi)層變鄰域禁忌算法將各個(gè)存取任務(wù)作為客戶(hù)點(diǎn)，形成存取任務(wù)的序列，并對(duì)存取任務(wù)序列運(yùn)用點(diǎn)交換策略與2-opt策略進(jìn)行鄰域變換，逐步迭代尋找最優(yōu)解。若某次迭代后求得的最優(yōu)解小于等于存取時(shí)間限制，則可停止迭代，輸出當(dāng)前最優(yōu)解，表示存取方案可行。若當(dāng)前最優(yōu)解大于存取時(shí)間限制，則進(jìn)入下一步迭代，逐步尋找滿(mǎn)足存取時(shí)間限制要求的解。若多次尋找仍無(wú)法找到滿(mǎn)足存取時(shí)間限制要求的解，則表示該存取方案不可行。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本文通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)本文算法有效性，并進(jìn)行敏感性分析。本文研究所用實(shí)驗(yàn)平臺(tái)CPU為Intel i7-6500U@2.50GHz，內(nèi)存8GB，采用Windows 10 64位操作系統(tǒng)，在Visual Studio 2015環(huán)境中運(yùn)用C#語(yǔ)言進(jìn)行代碼編寫(xiě)與實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)中調(diào)用了IBM ILOG CPLEX 12.6.1求解器。41A2FBCC-B472-4D65-9D48-38B623931BB4

5.1 算法測(cè)試

本節(jié)將本文提出的算法最優(yōu)解與CPLEX求解器求得解、算法初始解的目標(biāo)值進(jìn)行比較，在不同問(wèn)題規(guī)模下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證算法的有效性。算例規(guī)模以|I|-|O|-|B|-|P|-|W|-n的形式表示，其中|W|表示揀貨臺(tái)數(shù)量。為保證可在適當(dāng)時(shí)間內(nèi)求得解，本文設(shè)定算法與CPLEX求解器的求解時(shí)間上限為7200秒。算法最大迭代次數(shù)為25次，每次生成候選解數(shù)量為10個(gè)，禁忌表長(zhǎng)度為15，并設(shè)定若累計(jì)4次迭代后最優(yōu)解未更新，則觸發(fā)擾動(dòng)策略，即歷史最優(yōu)解保持不變迭代次數(shù)閾值為4。

由表1可知，在小規(guī)模算例中，CPLEX能在多數(shù)算例中求得最優(yōu)解。隨著訂單數(shù)量增加，CPLEX求解時(shí)間逐步增長(zhǎng)，當(dāng)料箱數(shù)量達(dá)到50個(gè)時(shí)，CPLEX已無(wú)法在7200秒時(shí)限內(nèi)求得最優(yōu)解。與此同時(shí)，本文設(shè)計(jì)的算法在小規(guī)模算例中平均求解時(shí)間55秒，在求解時(shí)間整體上優(yōu)于CPLEX。另外本文設(shè)計(jì)算法在25個(gè)料箱的算例中可在較短時(shí)間內(nèi)求得最優(yōu)解，在50個(gè)料箱的算例中求得的解可接近或優(yōu)于CPLEX在7200秒內(nèi)求得的可行解。

大規(guī)模算例中，CPLEX已無(wú)法在7200秒內(nèi)求出可行解。由表2可計(jì)算出本文算法平均求解時(shí)間336秒，這說(shuō)明本文算法可在一定時(shí)間內(nèi)求解大規(guī)模問(wèn)題。本文小規(guī)模算例中初始解與最優(yōu)解平均相對(duì)差異為10.57%，大規(guī)模算例中初始解與最優(yōu)解平均相對(duì)差異為10.49%，本文算法在大規(guī)模問(wèn)題中依然保持了一定的優(yōu)化能力，因而本文設(shè)計(jì)的算法表現(xiàn)出了較強(qiáng)的實(shí)際規(guī)模問(wèn)題求解能力。

5.2 “一車(chē)雙箱”模式的有效性分析

本文通過(guò)敏感性分析實(shí)驗(yàn)，比較雙箱模式與傳統(tǒng)單箱模式在揀選同樣訂單時(shí)的揀選成本，說(shuō)明雙箱模式對(duì)總揀選成本的影響。實(shí)驗(yàn)使用本文模型及算法進(jìn)行，而單箱模式實(shí)驗(yàn)則通過(guò)在本文模型中令πi1，b1，i2，b2與ρi1，b1，i2，b2為零，使穿梭車(chē)以單箱模式運(yùn)行，得出“一車(chē)單箱”的揀選成本。由表3中結(jié)果可知，與單箱模式相比，雙箱模式平均可節(jié)省約20%存取成本。

6 結(jié)論與啟示

本文研究了雙箱模式下穿梭車(chē)自動(dòng)立體倉(cāng)庫(kù)的訂單分批決策與存取決策的集成優(yōu)化問(wèn)題，建立了以總存取成本最小化為目標(biāo)的混合整數(shù)規(guī)劃模型，并通過(guò)建立雙層變鄰域禁忌搜索算法，提供了穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)多種模式下訂單分批與存取決策的指導(dǎo)工具。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，本文設(shè)計(jì)的算法可高效求解這一問(wèn)題，雙箱模式在大規(guī)模存取作業(yè)下可有效降低系統(tǒng)運(yùn)行成本。

“一車(chē)雙箱”存取模式是對(duì)一般“一車(chē)單箱”模式穿梭車(chē)立體倉(cāng)庫(kù)在設(shè)備上、效率上、運(yùn)作模式上的全方位突破。“一車(chē)雙箱”存取模式的推廣對(duì)推動(dòng)倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)機(jī)電設(shè)備更新?lián)Q代，推行實(shí)現(xiàn)倉(cāng)儲(chǔ)行業(yè)設(shè)備的全面自動(dòng)化與流程的全面集成化具有顯著意義。盡管在近期，“一車(chē)雙箱”模式的推廣仍受系統(tǒng)投資大、建設(shè)要求高、運(yùn)營(yíng)管理要求高等瓶頸因素制約，但隨著相關(guān)倉(cāng)庫(kù)設(shè)備與系統(tǒng)的大范圍應(yīng)用及倉(cāng)庫(kù)系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)管理研究的逐步完善，該模式進(jìn)一步推廣應(yīng)用的瓶頸將被逐步打破。根據(jù)本文研究結(jié)果，“一車(chē)雙箱”存取模式可節(jié)省約20%的存取成本，這說(shuō)明了“一車(chē)雙箱”存取模式在倉(cāng)庫(kù)運(yùn)作效率提高方面的潛力?！耙卉?chē)雙箱”對(duì)倉(cāng)庫(kù)訂單揀選總時(shí)間系統(tǒng)效率的影響，還可從總揀選時(shí)間、料箱等待時(shí)間等指標(biāo)的角度進(jìn)行進(jìn)一步論述，同時(shí)對(duì)存取成本進(jìn)行細(xì)化，詳細(xì)計(jì)算穿梭車(chē)與升降機(jī)在不同工況下的存取成本與時(shí)間，得出更為精準(zhǔn)的結(jié)論。

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