關(guān)于激光器掃描結(jié)果模擬計算的研究

沈華 徐力

摘 要：從激光器原理出發(fā)，總結(jié)出激光器掃描的相關(guān)特性并得出其掃描線方程，進而在空間直角坐標系中建立一些基本形狀的空間坐標系數(shù)學(xué)模型，結(jié)合激光器掃描線的旋轉(zhuǎn)平移，并考慮檢測誤差、反射率因素等激光器的特性影響，求取其對基本形狀物體的有效交點，從而模擬計算出激光器2D或3D掃描的點云數(shù)據(jù)，為后續(xù)模擬算法計算結(jié)果以及微調(diào)參數(shù)提供基礎(chǔ)性理論數(shù)據(jù)支撐，從而便于前期可行性論證及中期的詳細系統(tǒng)設(shè)計。

關(guān)鍵詞：激光器掃描;繞軸旋轉(zhuǎn)坐標轉(zhuǎn)換;線與物體的交點;點云數(shù)據(jù)模擬計算

中圖分類號：TP39? ? 文獻標志碼：A? ? 文章編號：1671-0797（2022）08-0029-06

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2022.08.009

0? ? 引言

激光器3D掃描技術(shù)作為目前較成熟的技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)用途及民用領(lǐng)域[1]，然而在實際選型中通常忽略對激光器掃描結(jié)果的模擬環(huán)節(jié)，以至于在現(xiàn)場達不到所需的檢測精度和效果。因此，需要根據(jù)激光器的特性建立空間數(shù)學(xué)模型，從理論上探討激光器掃描物體的點云數(shù)據(jù)，從而實現(xiàn)模擬激光器2D或3D掃描的計算。

1? ? 二維激光器原理及其掃描線的數(shù)學(xué)模型

1.1? ? 二維激光器工作原理簡介

一維激光器的發(fā)射器發(fā)射激光器脈沖波，當遇到被測物體時，根據(jù)物體反射率的不同，激光就會以一定能量被返回，此時激光器的接收器收到反饋的能量后，通過檢測從發(fā)射到接收的時間差可以推導(dǎo)出激光器光心與被測物體的距離[1]，其公式為：

S=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中：S為被測物體與光心的距離;t2-t1為發(fā)射和接收激光的時間差;C為光速。

二維及多線激光器在一維激光器的基礎(chǔ)上增加了轉(zhuǎn)動光心的機構(gòu)，使光心能快速移動，在規(guī)定時間內(nèi)完成一定范圍的一維掃描，此時可以實現(xiàn)二維掃描的功能。

1.2? ? 二維激光器主要參數(shù)

二維激光器的性能參數(shù)主要包含測量距離、反射率、分辨率、測量誤差、角分辨率、掃描頻率等，通常在選型中主要關(guān)注角分辨率、掃描頻率、測量距離。角分辨率為相鄰檢測角度的最小變化角度，掃描頻率為1 s時間內(nèi)完成二維全掃描的次數(shù)。

1.3? ? 空間坐標系及坐標系間的轉(zhuǎn)換

首先對空間建立空間直角坐標系并定義其繞3個坐標軸旋轉(zhuǎn)的方向角分別為α、β、γ，如圖1所示。

在空間直角坐標系中繞軸旋轉(zhuǎn)的坐標轉(zhuǎn)換公式為：

x1y1z1=cos γ? -sin γ? ?0sin γ? ? ? cos γ? ? 0? ?0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ?1 cos β? 0? sin β? ? 0? ? ? ? 1? ? ? 0-sin β? ? 0? cos β·

1? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 00? ?cos α? ?-sin α0? ?sin α? ? cos αx0y0z0 （2）

旋轉(zhuǎn)前為[x0 y0 z0]T，旋轉(zhuǎn)后為[x1 y1 z1]T。

將系數(shù)整理后，可以得到系數(shù)矩陣：

不難得出轉(zhuǎn)換矩陣A為可逆陣，且其逆矩陣A-1中的角度分別為-α、-β、-γ，即符合反方向轉(zhuǎn)回的物理規(guī)律。

1.4? ? 二維激光器掃描線數(shù)學(xué)模型

忽略二維激光器發(fā)射器和接收器的相對位置，即定義接收位置為光心，實際掃描線會繞X軸、Y軸、Z軸旋轉(zhuǎn)角度。定義3個軸的旋轉(zhuǎn)角度分別為α、β、γ，掃描角為θ，角精度Δθ。以沿X軸掃描為例，光心位置為原點，在空間直角坐標系中相鄰掃描線如圖2所示。

此時掃描線在掃描面上移動，相鄰兩根掃描線之間的夾角即角分辨率Δθ，激光器的坐標系相對世界坐標系的3個軸旋轉(zhuǎn)了α、β、γ。以旋轉(zhuǎn)前沿X軸向下掃描為例，激光器坐標系中，當前掃描線經(jīng)過原點及[-sin θ 0? -cos θ]T，逆旋轉(zhuǎn)、平移后得到[x1 y1 z1]T=A-1[-sin θ 0? -cos θ]T+[x0 y0 z0]T，[x0 y0 z0]為光心在世界坐標系中的坐標，將[x1 y1 z1]T、[x0 y0 z0]T代入空間直線的含參點斜式方程===t，可以得到m，n，p的相對關(guān)系，取確定值后，可以得到掃描線的參數(shù)方程：

x=mt+x0，y=nt+y0，z=pt+z0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

式中：m，n，p為與α、β、γ、θ相關(guān)的常數(shù);由于掃描線為射線，t有取值范圍（取決于掃描方向）。

如求下一個掃描線的參數(shù)方程，其掃描角度為θ+Δθ。

1.5? ? 二維激光器的誤差

激光器在二維掃描時可能出現(xiàn)誤差，其主要原因是光心旋轉(zhuǎn)中的角度偏差及檢測誤差。模擬旋轉(zhuǎn)過程中可能出現(xiàn)的角度偏差的方法是在當前掃描角度中增加一個隨機誤差，其表達式為θ+εθ，其中εθ為隨機掃描角度偏差，可根據(jù)激光器的特性定義。模擬檢測誤差則可以在掃描到的理論結(jié)果上增加一個掃描線的隨機位移量，記作εs。

1.6? ? 二維激光器的反射率

通常，由于激光器功率的限制，反射率會受到一定的影響，當反射率很低且光心到物體的距離較長時，激光器的發(fā)射能量會被物體表面吸收導(dǎo)致無法返回。在模擬時需要根據(jù)反射率推算其最大的掃描距離從而對結(jié)果加以修正，如超過閾值，則掃描線與物體的交點不能被正確讀到。

2? ? 激光器三維掃描的數(shù)學(xué)模型

2.1? ? 激光器三維掃描的方法

激光器的3D掃描是借助激光器作為檢測元件。其三維掃描方法有：（1）使用云臺，即激光器可以繞軸旋轉(zhuǎn)，以獲得被測物體的三維點云數(shù)據(jù);（2）使用平移機構(gòu)帶動激光器進行掃描，也可以獲得被測物體的三維點云數(shù)據(jù);（3）使用多線激光器也可以獲得被測物體的粗略三維點云數(shù)據(jù)[2]。

2.2? ? 旋轉(zhuǎn)光心掃描

如圖3所示，激光器光心沿與X軸平行的方向掃描，同時轉(zhuǎn)動軸繞X軸旋轉(zhuǎn)，這樣就可以取得被測物體的三維輪廓[2]。在這種掃描方法下，轉(zhuǎn)動軸的角分辨率與激光器的掃描頻率有關(guān)，忽略光速導(dǎo)致的偏差后，其對應(yīng)關(guān)系為：

δ=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

式中：δ為轉(zhuǎn)動機構(gòu)等效角精度;ω為轉(zhuǎn)動機構(gòu)轉(zhuǎn)動的瞬時角速度;f為激光器的掃描頻率。

光心繞軸旋轉(zhuǎn)時，光心相對軸心在X、Y、Z軸方向均有偏差，在轉(zhuǎn)動時需要首先確定光心的位置，可以利用公式（2）相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)坐標系求出當前的光心位置，再利用1.4的內(nèi)容得到當前時刻的掃描線方程。值得注意的是，多線激光器與旋轉(zhuǎn)光心的數(shù)學(xué)模型類似，此時光心與旋轉(zhuǎn)中心偏差很小，有時可以忽略。

2.3? ? 移動光心掃描

如圖4所示，激光器沿與X軸平行的方向掃描，將光心沿與Y軸平行的方向移動，即從A點移動到B點，此時也可以實現(xiàn)下方物體的三維掃描[2]。

考慮加速度的情況下，當前光心位置和前一時刻的位移量與激光器的掃描頻率有關(guān)，其對應(yīng)關(guān)系可線性近似如下：

ΔS=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

式中：ΔS為位移量;V0為前一時刻的瞬時速度;f為激光器掃描頻率;a為加速度。

當光心存在多個方向的移動時，需將速度及加速度分解到空間直角坐標系的3個坐標軸進行計算。

3? ? 激光器掃描線與常用空間圖形的交點計算

在1.4節(jié)中已經(jīng)求得了當前二維激光器掃描線的參數(shù)方程x=mt+x0，y=nt+y0，z=pt+z0， 那么掃描線與空間圖形的交點問題實際上就轉(zhuǎn)換為求t值。

3.1? ? 激光器掃描線與平面的交點

平面在空間直角坐標系中的方程為Bx+Cy+Dz+

E=0，已知平面上3個點（其中取2個是最遠的頂點以便確定平面上的點的取值范圍）[x1 y1 z1]，[x2 y2 z2]，[x3 y3 z3]，代入后可求得系數(shù)：

B=y1（z2-z3）+y2（z3-z1）+y3（z1-z2），C=z1（x2-x3）+z2（x3-x1）+z3（x1-x2），D=x1（y2-y3）+x2（y3-y1）+x3（y1-y2），E=-x1（y2z3-y3z2）-x2（y3z1-y1z3）-x3（y1z2-y2z1）? ? ? （7）

進而將含參直線方程（如果有旋轉(zhuǎn)的情況可通過公式（2）將直線方程修正為平面的坐標系的方程）代入平面方程中，可以求得t值（需注意直線與矩形平行，即下式中分母為0，t無解）：

t=-? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

注意，點[x0 y0 z0]為光心，需將[x0 y0 z0]根據(jù)公式（2）旋轉(zhuǎn)再平移后修正為平面幾何中心的坐標。

3.2? ? 激光器掃描線與矩形多面體的交點

將矩形多面體分解為多個矩形進行分析，首先將掃描線折算到平面所在的坐標系，根據(jù)3.1的內(nèi)容求取掃描線與平面的交點，根據(jù)矩形的頂點坐標確定在矩形范圍內(nèi)的交點為有效交點，最后將該點旋轉(zhuǎn)平移回世界坐標系。

取矩形多面體上所有交點中與激光器光心的距離最短點，即為當前掃描線與該矩形多面體的交點。

3.3? ? 二維激光器掃描線與菱形多面體的交點

將菱形多面體分解為多個菱形進行分析，取菱形的三點，按照3.1節(jié)與平面交點的求取方法求得菱形平面上的交點，此時，假定菱形的兩個對角線為X軸和Y軸，長度分別為a、b。將直線方程利用公式（2）旋轉(zhuǎn)到菱形平面并平移坐標轉(zhuǎn)換到菱心，交點[x y 0]需滿足公式|ay|+|bx|≤。

同樣將所求得的[x y 0]經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移到世界坐標系，即可求得激光器掃描線與菱形的交點，進而每個面均計算一下交點，取與光心最近的點，即為二維激光器與菱形多面體的交點。

3.4? ? 激光器掃描線與橢球形的交點

在空間直角坐標系中，橢球形的表面空間方程為：

（9）

式中：[x0 y0 z0]為橢球形球心坐標;G、H、J分別為沿X軸、Y軸的赤道半徑及極半徑。

當G=H=J，則該空間圖形為球形。在橢球形表達式中可以以球心為坐標原點，將掃描線的直線方程旋轉(zhuǎn)平移到橢球形的參考坐標系，再將經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移的公式（4）代入橢球形的方程求得t，此時大多數(shù)情況下會有2個t，取與光心最近的點即為掃描線與橢球形的交點。

3.5? ? 激光器掃描線與圓管的交點

在建立圓管的模型前，首先使得圓管的圓面平行于XOY面，長度方向為Z軸方向，如圖5所示。

定義圓管的幾何中心為[x1 y1 z1]，外徑為R1，內(nèi)徑為R2，高度為H，當內(nèi)徑R2=0時，這個圖形為圓柱。將圓管分解為上下頂面及側(cè)面。

激光器與上下頂面的交點求法為：將激光器掃描線坐標系旋轉(zhuǎn)到圓管坐標系，根據(jù)3.1的方法求取到上下頂面的交點，并取滿足公式R22≤（x-x1）2+（y-y1）2≤R12的點。

圓管外側(cè)面的點滿足公式：

（x-x1）2+（y-y1）2=R12，|z-z1|≤? ? ? ?（10）

圓管內(nèi)側(cè)面的點滿足公式：

（x-x1）2+（y-y1）2=R22，|z-z1|≤? ? ? ? ? ? ? （11）

將公式（4）代入求得t值，將坐標系旋轉(zhuǎn)平移到世界坐標系，注意對于圓管，掃描線可能與其有4個交點，即4個t值，取其中與光心距離最短的點即為圓管與激光器掃描線的交點。

4? ? 激光器掃描的模擬方法

根據(jù)前面所述，可以根據(jù)激光器的掃描模型求取每根掃描線的交點，再進行掃描面的旋轉(zhuǎn)或者光心的平移，可以通過程序?qū)崿F(xiàn)激光器線掃或3D掃描的模擬。

圖6為激光器掃描的模擬運算流程圖。

4.1? ? 常用空間圖形的模擬3D掃描結(jié)果

模擬掃描長方體結(jié)果及其圖形如圖7所示。

模擬掃描球體結(jié)果及其圖形如圖8所示。

從圖中可以看出，激光器3D掃描球形的理論最大是掃到半個球，但與角精度的關(guān)系很大。

模擬掃描菱形斜面結(jié)果及其圖形如圖9所示。

模擬掃描圓管結(jié)果及其圖形如圖10所示。

4.2? ? 多圖形混合的模擬結(jié)果點云圖形

結(jié)合圓管、長方體、斜面、球形等空間圖形，可以初步模擬各類基本的物體，利用對應(yīng)的空間關(guān)系模擬出引導(dǎo)車（實例參數(shù)如下：角精度0.25°，云臺轉(zhuǎn)動速度10（°）/s，激光器采樣頻率25 Hz，掃描角度0°～180°，光學(xué)中心即轉(zhuǎn)動中心坐標，引導(dǎo)車底面中心）的掃描結(jié)果及點云圖形，如圖11所示。

由于目標引導(dǎo)車的邊緣值為X方向±1 500 mm，X方向總長應(yīng)為-7 600～7 400 mm，由結(jié)果可以看出，目前3D掃描的X方向理論誤差為約4.5 mm，Y方向理論誤差為約139.5 mm。

將5 706個計算結(jié)果導(dǎo)入Excel表格，得到掃描結(jié)果的數(shù)據(jù)（截取部分數(shù)據(jù)）如圖12所示。

5? ? 結(jié)語

模擬激光器掃描結(jié)果的方法如下：依據(jù)激光器及3D掃描方法（平移或擺動）的特性可以取得其含旋轉(zhuǎn)參數(shù)、隨機角度及交錯模式下的掃描線的數(shù)學(xué)模型，進而建立空間直角坐標系，將被測物體分解成多個常用空間圖形，通過旋轉(zhuǎn)平移矩陣的修正，求取其與掃描線的各個交點后取最近的交點;校驗最近的點及物體反射率關(guān)系再加入隨機偏差，最終求得點云數(shù)據(jù)。此時，通過數(shù)據(jù)已經(jīng)可以得出初步的掃描的誤差，并可以為進一步研究算法結(jié)果和精度論證提供必要的理論點云數(shù)據(jù)。由于筆者水平有限，如有問題和錯誤，請讀者諒解并指正。

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收稿日期：2022-02-28

作者簡介：沈華（1984—），男，江蘇吳縣人，高級工程師，研究方向：機械設(shè)備的電氣控制、自動化控制、識別及其相關(guān)設(shè)計。