Helmholtz PDE敏度過濾技術的阻尼層拓撲優(yōu)化設計

鄭偉光，陳姍姍，許恩永，馮高山

（1.桂林電子科技大學機電工程學院，廣西 桂林 541004；2.東風柳州汽車有限公司，廣西 柳州 545005）

1 引言

阻尼表面處理是目前對抑振減噪控制的有效方法，在金屬板上敷設粘彈性阻尼層后，阻尼層伴隨金屬板進行彎曲振動，此時粘彈性材料內部發(fā)生拉伸變形和剪切變形，將部分動能轉化為熱能形式耗散，達到減小振動、降低聲輻射的目的。由于布置區(qū)域會受到實際工藝、輕量化等要求，全覆蓋阻尼往往不能適用所有場合。因此優(yōu)化阻尼層的布局，找出使當前目標最優(yōu)的阻尼層拓撲結構，同時滿足成本和性能要求逐漸成為表面阻尼設計的趨勢。

1988年文獻[1]首先提出了均勻化方法，該方法通過采用帶孔洞的微結構來表達連續(xù)體結構，將設計變量與結構的有關性能相結合，但在優(yōu)化過程中，均勻化方法需要不斷確定大量的數據變量，從而增加了計算量，不利于工程應用。針對均勻化法存在的問題，文獻[2]提出變密度法（SIMP），建立材料的彈性模量與相對密度的函數關系。隨后，文獻[3]證明了密度插值模型數學解的存在性和收斂條件，并進行了數學和物理意義的論證，完善了該方法的理論基礎。文獻[4]將變密度法應用在多工位級進模模具中，實現模具的拓撲優(yōu)化設計。但密度插值模型方法在優(yōu)化中出現灰度單元、網格化的不確定情況。文獻[5]通過刪除無效和低效單元提出了漸進結構優(yōu)化法（ESO）。文獻[6]采用ESO算法得到了阻尼材料的優(yōu)化布局，并將該方法應用在汽車車身結構阻尼材料的減振降噪設計中。雖然ESO方法已被廣泛應用，但該方法只能刪除單元不能增加高效單元，存在局限性，且結果中仍存在網格化的不穩(wěn)定情況。文獻[7]在漸進結構優(yōu)化法的基礎上發(fā)展了雙向漸進結構法（BE‐SO），與ESO方法相比，該方法不僅可以刪除無效和低效單元還可以添加材料單元實現拓撲優(yōu)化，但由于BESO方法的理論基礎不夠完善且計算過程中需要較多的迭代，降低了求解速度。文獻[8]在模擬多相流邊界的演化和圖像分割中提出水平集方法。2000年文獻[9]最早將水平集方法應用到拓撲優(yōu)化范疇，用水平集函數演化的速度場實現拓撲優(yōu)化。文獻[10]利用水平集方法對約束阻尼層薄板結構進行拓撲優(yōu)化，得到最佳分布結果。水平集方法可以得到清晰光滑的優(yōu)化邊界，但水平集方法無法自行開孔，需在初始結構手動開孔，且不適用于復雜結構和工程應用。

針對傳統拓撲優(yōu)化方法計算效率低，優(yōu)化結果存在的棋盤格式、灰度單元等不穩(wěn)定情況，推導靈敏度計算，引入網格獨立密度濾波處理技術，得到邊界光滑的最優(yōu)拓撲構型。通過四邊固支阻尼板自由阻尼層和約束阻尼層的數值算例驗證了方法的合理性，對比分析進一步說明了拓撲構型的有效性。

2 阻尼層結構拓撲優(yōu)化模型

自由阻尼結構由基礎層和粘彈性層構成，如圖1所示。約束阻尼結構是在自由阻尼層上添加約束層，如圖2所示。粘彈性材料結構的動力學方程為：

圖1 自由阻尼層Fig.1 Free Damping Layer

圖2 約束阻尼層Fig.2 Constrained Damping Layer

式中：M—質量矩陣；K—剛度矩陣；X—位移向量。若采用模態(tài)應變能方法進行求解模態(tài)阻尼，只需考慮實模態(tài)[11]，因此為了計算方便，各層剛度只取實部。

以阻尼層單元的相對密度xe為設計變量，體積所占比例為條件約束，建立模態(tài)損耗因子最大化的數學模型：

式中：x—設計變量；xe—阻尼層材料的第e個單元的單元密度，xmin=0.001；n—阻尼單元的總數量；r—模態(tài)階數；ηr—第r階損耗因子；V—阻尼材料的體積；ve—單元體積；V0—體積約束。SIMP的材料密度插值模型為：

式中：E—優(yōu)化結構中單元的彈性模量；p—懲罰因子；ρe—單元相對密度；E0—初始的彈性模量；Emin=0.001E0。對設計變量在（0，1）中間的參數懲罰，得到優(yōu)化結果。

3 靈敏度分析

3.1 模態(tài)損耗因子

根據模態(tài)應變能原理，第r階阻尼模態(tài)損耗因子為：

式中：ηv—阻尼材料損耗因子；Ear=Eq.r+Ev.r—結構總應變能；Ev.r—阻尼層第r階應變能；Eq.r—除阻尼材料的其他結構應變能。對式（4）兩邊求偏導，可得：

其中：

分別對式（7）求xe偏導，然后等式兩邊同乘φTr得：

將式（8）一式同乘，將（8）二式代入，得到單元e的關系式，代入（6）式得到阻尼層單元為：

式中：φr—對應的第r階模態(tài)位移向量。除阻尼層外的其他單元狀態(tài)與阻尼層單元同時變化，得：

基于SIMP材料插值模型，得到：

將式（11）分別代入式（9）和式（10）得：

根據彈性力學知識得靈敏度公式為：

3.2 Helmholtz PDE濾波器

針對灰度單元、棋盤格式不穩(wěn)定現象，Sigmund提出獨立網格過濾技術，在此基礎上采用Helmholtz PDE的靈敏度網格獨立密度濾波技術[12]，避免傳統密度過濾器在設計域中較小孔和縫隙的問題，同時添加投影技術抑制灰色單元，進而得到清晰結構。修改單元密度使其依賴于給定鄰域中的密度場，求解時不使用卷積積分的顯示形式，采用隱式定義Helmholtz方程：

式中：r—長度參數；θ—設計變量。

設計域上的邊界條件為紐曼邊界條件：

采用伴隨法[13]計算與濾波場有關的靈敏度，并給出如下公式：

式中：T—m×n的矩陣；m—設計域的自由度數；n—單元數。

求解時可以不明確計算矩陣Kh的實際倒數，首先求解Khaf=sf，然后在af上應用平均算符T計算靈敏度。靈敏度是單元i在相應自由度下af的平均值。靈敏度與設計變量的乘積在設計域x∈Ω表示為：

利用上述方程，給出靈敏度濾波的隱式形式定義為：

式中：Kd—正定張量—濾波場。利用與長度參數成正比的標量代替張量得到該濾波器的各向同性形式。在獲得濾波場的節(jié)點后，通過求解濾波場節(jié)點的平均值除以單元密度，得到給定單元的濾波靈敏度。

4 拓撲流程

采用移動漸近線法（MMA）對建立的阻尼結構動力學模型進行求解，優(yōu)化步驟歸納如下，算法流程圖，如圖3所示。

圖3 拓撲優(yōu)化流程圖Fig.3 Topology Optimization Flow Chart

（1）建立兩種阻尼結構的有限元模型，劃分網格，確定相關參數；

（2）對設計變量進行初始化，給定結構各層的材料屬性；

（3）模態(tài)分析，提取模態(tài)應變能，計算目標函數值及敏度；

（4）Helmholtz PDE網格獨立密度濾波；

（5）采用MMA算法更新設計變量；

（6）查看結果是否收斂，若收斂輸出優(yōu)化信息；若不收斂，轉到步驟（2）~（5）。

5 算例

5.1 自由阻尼結構拓撲優(yōu)化

為驗證優(yōu)化方法的準確性，參考文獻［14］中參數，自由阻尼結構為(0.5×0.5)m的自由邊界方板，基層厚度為0.01m，彈性模量為70GPa，密度為2700kg/m3，泊松比為0.3，為鋁材料；阻尼層厚度為5mm，彈性模量為2GPa，密度為1000kg/m3，泊松比為0.49，材料損耗因子為1。建立在一定材料用量下一階模態(tài)損耗因子的目標函數。

自由阻尼結構優(yōu)化結果圖，如圖4所示。采用(25×25)的四面體網格建立自由阻尼結構的有限元模型。

圖4 自由阻尼結構優(yōu)化結果Fig.4 Optimized Results of Free Damped Structures

在減少材料用量的條件下，得到一階模態(tài)損耗因子最大化的布局結果。自由阻尼結構優(yōu)化結果的空白區(qū)域為刪除區(qū)域，紅色區(qū)域為阻尼材料保留區(qū)域。材料密度插值模型的原理是根據材料密度的不同進行插值，插值區(qū)間為（0~1），通過圖例顯示由下至上顏色逐漸加深，插值密度逐漸接近1，從優(yōu)化結果看出阻尼保留區(qū)域大部分為深紅色，只有邊界是藍綠色，說明拓撲優(yōu)化的效果較好。文獻［14］自由阻尼結構拓撲優(yōu)化結果，如圖5所示。對比圖4可以看出這里所提出的方法可以得到更為光滑的結構邊界，說明濾波技術有效地解決了拓撲中的網格化、粗糙邊界問題，優(yōu)化結果得到明顯改善。

圖5 文獻［14］優(yōu)化結果圖Fig.5 Optimized Result Diagram in Document［14］

5.2 約束阻尼結構拓撲優(yōu)化

參考文獻［15］約束阻尼層參數，結構尺寸為(0.4×0.4)m的四邊固支方板，基層和約束層厚度為2mm、1mm，均為鋁材料，阻尼層厚度為3mm，彈性模量為10MPa，密度為1000kg/m3，泊松比為0.45，材料損耗因子為1。同樣以材料用量為約束，獲得以一階模態(tài)損耗因子為目標函數的拓撲結果。

四邊固支約束阻尼層優(yōu)化過程，如圖6所示。

圖6 四邊固支約束阻尼層優(yōu)化Fig.6 Optimization of Constrained Damping Layer with Four?Sided Fixation

劃分(20×20)的四面體網格建立有限元模型，如圖6（a）所示；阻尼層剪切應變能分布，如圖6（b）所示。約束阻尼結構剪切應變能中心處最小，圍繞中心處四周的應變能較大，呈環(huán)形分布，由于約束阻尼結構主要依靠阻尼材料的剪切變形達到能量耗散的目，故優(yōu)化結果與剪切應變能分布相對應，如圖6（c）所示。相比圖6（d）文獻［15］的優(yōu)化結果，這里所提出的優(yōu)化方法，可以得到更為光滑清晰的邊界，便于實際加工制造。

6 結論

（1）這里研究了在一定材料用量的條件下，阻尼結構最大化模態(tài)損耗因子的優(yōu)化方法。推導了模態(tài)損耗因子敏度計算公式，結合Helmholtz PDE濾波技術避免了棋盤格式，有效改善了拓撲邊界。

（2）計算了自由阻尼結構和約束阻尼結構的算例，得到的優(yōu)化結果分別與文獻［14］和文獻［15］進行對比，優(yōu)化結果邊界更為清晰光滑，便于實際應用。