基于雙冪次趨近律的終端滑模舵機(jī)控制器設(shè)計(jì)

楊競(jìng)楠，楊 峰，孟 琪，郭明坤，夏廣慶

（1.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024；2.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024；3.大連理工大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引言

電動(dòng)舵機(jī)的性能直接影響了相關(guān)飛行器的控制精度和動(dòng)態(tài)品質(zhì)。傳統(tǒng)的舵機(jī)控制方法主要有PID 控制、模糊PID 控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等，上述舵機(jī)控制方法雖然初步滿足了舵機(jī)控制的使用需求，但其收斂時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，對(duì)不確定擾動(dòng)的抑制能力相對(duì)較弱。為了適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)飛行器更高控制品質(zhì)的迫切需求，亟須進(jìn)行快響應(yīng)、強(qiáng)魯棒性舵機(jī)控制技術(shù)的研究。

樊澤明等和吳春等將魯棒控制方法應(yīng)用于電動(dòng)舵機(jī)控制，有效提高了電動(dòng)舵機(jī)的魯棒性，但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，保守性強(qiáng)。趙峰等在電動(dòng)舵機(jī)控制中采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，蘇偉杰等將變指數(shù)趨近律滑?？刂破髋cPID 控制器相結(jié)合設(shè)計(jì)組合控制器，2 種方法提高了電動(dòng)舵機(jī)的抗干擾能力和魯棒性，但依靠線性滑?？刂品椒y以實(shí)現(xiàn)舵機(jī)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定。近年來，有限時(shí)間穩(wěn)定理論日趨完善，相關(guān)方法具有收斂速度快、抗干擾能力強(qiáng)、魯棒性好等特點(diǎn)。終端滑模控制（TSMC）采用非線性滑模面代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性滑模面，能保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定。特別地，非奇異終端滑模（NSTSM）控制方法克服了奇異現(xiàn)象，且結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。本文將以NSTSM 方法為基礎(chǔ)，結(jié)合雙冪次趨近律（DPRL）進(jìn)行舵機(jī)系統(tǒng)魯棒控制器的設(shè)計(jì)分析，其中DPRL 方法能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，從而更高效地利用NSTSM 方法的強(qiáng)魯棒性和有限時(shí)間收斂特性。

1 數(shù)學(xué)模型

電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)主要由舵機(jī)控制器、伺服電機(jī)、功率放大器、減速機(jī)構(gòu)和位置傳感器構(gòu)成，如圖1 所示。在不考慮電樞電感的情況下，可以用機(jī)電轉(zhuǎn)換方程、反電動(dòng)勢(shì)方程、轉(zhuǎn)子電路電壓方程和機(jī)械方程來表示電動(dòng)舵機(jī)的數(shù)學(xué)模型：

圖1 舵機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Steering gear system structure

式中：為電機(jī)輸出扭矩；為鉸鏈力矩；為摩擦力矩；為慣性力矩；為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；為電樞電流；為電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)；為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；為電樞電壓；為電樞回路總電阻；為電樞回路總電感。

慣性力矩具體形式為

式中：為舵機(jī)系統(tǒng)實(shí)際輸出的舵偏角；為電機(jī)等效負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式（2）代入式（1），得舵機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型：

舵機(jī)魯棒控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)為：在不確定擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的跟蹤誤差()、()能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，即存在有限時(shí)刻?+∞，當(dāng)→時(shí)，有下式成立：

2 基于終端滑模的控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于非奇異終端滑?？刂频目刂坡?/h3>

式（4）所示系統(tǒng)是典型的含有不確定擾動(dòng)的二階系統(tǒng)，為了實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的快速穩(wěn)定控制，本文將結(jié)合NSTSM 和DPRL 進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。首先，滑模變量設(shè)計(jì)如下：

式中：＞0 為設(shè)計(jì)常數(shù)；1 ＜＜2。

對(duì)上式求導(dǎo)可得

結(jié)合滑模動(dòng)力學(xué)方程式（7），系統(tǒng)（4）的控制器設(shè)計(jì)如下：

式中：＞0；＞0；＞1；0 ＜＜1。

式中：()為等效控制項(xiàng)；()為趨近控制項(xiàng)；()為不連續(xù)控制項(xiàng)。

式中：為系統(tǒng)狀態(tài)變量()的上界值；為系統(tǒng)集總擾動(dòng)項(xiàng)()的上界值。

2.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性證明

為了便于穩(wěn)定性分析，給出如下定義。

考慮如下動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)：

式中：()∈R；()∈R。

從任意初始狀態(tài)∈R出發(fā)，如果存在一個(gè)時(shí)刻，使得系統(tǒng)滿足：當(dāng)≥時(shí)，()=0，那么這樣的系統(tǒng)叫做一致有限時(shí)間收斂到原點(diǎn)。如果系統(tǒng)的原點(diǎn)為一致有限時(shí)間穩(wěn)定，且收斂時(shí)間有界，即存在＞0，使得≤，?∈R，則稱系統(tǒng)為固定時(shí)間收斂到原點(diǎn)。

對(duì)于系統(tǒng)（4）和NSTSM 滑模面（6），式（8）中的控制器將使得滑模變量在固定時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面上，同時(shí)實(shí)現(xiàn)被控系統(tǒng)（4）在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定。

證明：將分為兩步進(jìn)行，首先分析滑模面的固定時(shí)間可達(dá)性，其次證明在NSTSM 滑模面上，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)。

選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

對(duì)式（14）求導(dǎo)，并將式（7）代入，可得

由文獻(xiàn)［18］中的定理13 可知，滑模變量將在固定時(shí)間內(nèi)收斂到零，即系統(tǒng)軌線將在固定時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面上，收斂時(shí)間滿足

由第一步證明可知，存在＞0，當(dāng)≥時(shí)，=0 成立，此時(shí)

由引理1 可證明系統(tǒng)到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間有限。定義李雅普諾夫函數(shù)如下：

根據(jù)式（17）對(duì)求導(dǎo)，有

式中：=2＞0；=(1/+1)/2 ＜1。

由文獻(xiàn)［18］中的定理12 可知，以時(shí)刻為起始點(diǎn)，系統(tǒng)狀態(tài)()將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，其中滿足當(dāng)≥時(shí)，()=0，且

3 仿真分析

本文通過Simulink 工具箱搭建了電動(dòng)舵機(jī)控制系統(tǒng)仿真模型，對(duì)上述控制方法進(jìn)行數(shù)值仿真。電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)參數(shù)為：=0.021 5 V·s/rad，=0.021 4 N·m/A，=31.35 g·cm，=0.74 Ω，外部干 擾=0.1sin(π)+0.15sin(10)+0.05，仿真步長(zhǎng)=0.001 s，仿真時(shí)間=10 s。控制器參數(shù)為：=3 000，=1.667，=200，=200，=1.47，=0.50，對(duì)于不同的輸入指令，的具體取值可根據(jù)仿真情況調(diào)整。為了減緩抖振現(xiàn)象，在滑?？刂浦型捎秒p曲函數(shù)替換不連續(xù)控制項(xiàng)中的符號(hào)函數(shù)，雙曲函數(shù)的形式如下：

式中：選取=0.1。

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制律的有效性，將NSTSM 控制律與傳統(tǒng)PID 控制進(jìn)行了對(duì)比。以方波信號(hào)和變頻率正弦信號(hào)作為舵機(jī)輸入指令對(duì)控制器進(jìn)行仿真，仿真波形如圖2～圖5 所示。其中，方波信號(hào)的幅值為0.1 rad，周期為2 s，占空比為50%；變正弦信號(hào)的幅值為0.1 rad，初始頻率為1 Hz，終點(diǎn)頻率為5 Hz。

圖2 舵機(jī)響應(yīng)Fig.2 Steering gear response

方波信號(hào)與變正弦信號(hào)下電動(dòng)舵機(jī)的響應(yīng)曲線如圖2 所示。由圖2（a）可知，當(dāng)輸入指令為方波信號(hào)時(shí)，采用NSTSM 控制器的舵機(jī)系統(tǒng)的收斂時(shí)間為0.1 s 左右，并且與采用PID 控制器的舵機(jī)系統(tǒng)相比無超調(diào)。此外，由于采用了雙曲函數(shù)，系統(tǒng)的抖振得到了很好的抑制，位置跟蹤穩(wěn)態(tài)基本無抖振。由圖2（b）可知，當(dāng)輸入指令為變正弦信號(hào)時(shí)，采用NSTSM 控制器的舵機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)曲線幾乎與輸入指令重合，而采用PID 控制器的舵機(jī)系統(tǒng)雖然一開始也能準(zhǔn)確跟蹤輸入指令，但隨著正弦信號(hào)頻率的加快跟蹤誤差越來越大。因此，無論是方波信號(hào)還是變正弦信號(hào)，NSTSM 都能快速準(zhǔn)確地跟上輸入指令，實(shí)現(xiàn)預(yù)期控制目標(biāo)，系統(tǒng)具有良好的快速性、魯棒性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)精度。

2 種信號(hào)下舵機(jī)系統(tǒng)滑模變量的仿真波形如圖3 所示。對(duì)于方波信號(hào)，在信號(hào)發(fā)生階躍變化時(shí)滑模變量具有較大變化但很快收斂至零，收斂時(shí)間為0.01 s，驗(yàn)證了DPRL 的固定時(shí)間可達(dá)性。此外，由于運(yùn)用雙曲函數(shù)取代符號(hào)函數(shù)，滑模變量的抖振現(xiàn)象得到了很好的抑制；對(duì)于變正弦信號(hào)，由于輸入指令每時(shí)每刻都在變化，因此滑模變量也在不斷變化。隨著正弦信號(hào)頻率的增加，滑模變量的變化頻率也越來越快。

圖3 滑模變量Fig.3 Sliding mode variable

2 種信號(hào)下電動(dòng)舵機(jī)控制電壓和輸出轉(zhuǎn)矩的仿真波形如圖4、圖5 所示。從圖中可以看出，對(duì)于方波信號(hào)，在信號(hào)發(fā)生階躍變化時(shí)，兩種舵機(jī)系統(tǒng)的控制電壓和輸出轉(zhuǎn)矩都很快收斂至零。從局部放大圖中可以看出，雙曲函數(shù)對(duì)于抖振現(xiàn)象有很好的抑制作用；對(duì)于變正弦信號(hào)，隨著正弦信號(hào)頻率的增加，NSTSM 舵機(jī)系統(tǒng)的仿真曲線出現(xiàn)了“尖刺”現(xiàn)象，采用PID 控制器的舵機(jī)系統(tǒng)的仿真曲線呈變正弦狀，幅值變化較小，其仿真曲線的頻率和幅值隨著信號(hào)頻率的增加而逐漸增大。

圖4 電機(jī)控制電壓Fig.4 Motor control voltage

圖5 電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩Fig.5 Output torque of the motor

4 結(jié)束語

本文結(jié)合非奇異終端滑模和固定時(shí)間收斂思想，設(shè)計(jì)了一種基于雙冪次趨近律的全局非奇異終端滑模舵機(jī)控制器，該控制器克服了傳統(tǒng)控制方法收斂速度慢的不足，大幅度提高了電動(dòng)舵機(jī)的響應(yīng)速度和魯棒性，使系統(tǒng)具有一定的抗干擾能力，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。