基于自由度變動(dòng)的幾何公差分析模型

朱偉紅 李恒亮

(河南省輕工業(yè)學(xué)校，河南鄭州 450006)

計(jì)算機(jī)輔助公差(CAT)是計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)/計(jì)算機(jī)輔助制造/計(jì)算機(jī)輔助檢測(cè)(CAD/CAM/CAI)的數(shù)字化集成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。幾何公差的數(shù)字化表達(dá)、分析、設(shè)計(jì)方法是CAT的理論基礎(chǔ)。數(shù)字化的公差建模方法已經(jīng)研究多年，其中比較有代表性的包括:漂移模 型［1］、參數(shù)化模型［2］、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型［3］和自由度模型［4］。

本文根據(jù)新一代GPS的規(guī)定，在ASME － Y14.5.1M基礎(chǔ)上，利用自由度變動(dòng)模型闡述了幾何公差的分析原理，并對(duì)若干具體的分析情況提出了計(jì)算流程。

1 公差與公差帶數(shù)學(xué)模型

零件尺寸和幾何參數(shù)的允許變動(dòng)量稱為“公差”。尺寸和公差的標(biāo)準(zhǔn)中，介紹了兩種類型的公差:尺寸公差和幾何公差，幾何公差包括形狀公差(如直線度、平面度、圓柱度等)、定向公差(如平行度、垂直度等)、定位公差(如位置度、同軸度等)和跳動(dòng)公差(如圓跳動(dòng))等。

ASME于1994年頒布了尺寸和公差數(shù)學(xué)定義的標(biāo)準(zhǔn)14.5.1M［5］，以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式來描述公差，其實(shí)質(zhì)是用點(diǎn)集的矢量方程來定義公差帶。公差帶的4個(gè)要素是:形狀、位置、方向和大小。在數(shù)學(xué)定義中，用中心要素(中心點(diǎn)、中心線、中心面)的位置矢量來確定公差帶的位置，用中心要素的法矢量來確定公差帶的方向，公差帶的大小由用戶給出，而公差帶的形狀可以由矢量方程直接確定。

公差的語(yǔ)義主要表示為以下兩個(gè)方面:(1)公差帶如何形成與表示。公差帶是指允許尺寸、形狀和位置變動(dòng)的區(qū)域，在幾何上表現(xiàn)為兩個(gè)相距為公差值t的平面或一個(gè)直徑為公差值t的圓柱等，因此存在怎樣對(duì)此公差帶進(jìn)行定位、定向及求取其邊界等問題;(2)變動(dòng)后的要素如何形成及表示。變動(dòng)后的要素在大小、形狀和位置等各個(gè)方面均發(fā)生了變化，不再是以前的理想狀態(tài)，因此存在怎樣生成變動(dòng)后要素的問題，即怎樣在變動(dòng)后的要素上體現(xiàn)出公差的效果，為自動(dòng)公差分析、公差分配等后續(xù)工作生成變動(dòng)實(shí)例。因此如何從數(shù)學(xué)的角度刻劃出上述兩個(gè)方面的公差語(yǔ)義對(duì)開發(fā)出一個(gè)完整的、正式的公差信息表示的數(shù)學(xué)模型是十分重要的。

公差的語(yǔ)義與定義是明確并且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，正確的公差標(biāo)注必須能夠確定唯一一個(gè)明確的公差帶，即公差帶的4個(gè)要素必須完全并且唯一的確定。

如圖1中，兩個(gè)理論正確尺寸a、b決定了公差帶的位置和方向，參照的數(shù)目和形狀決定了公差帶的形狀，公差值t決定了公差帶的大小。

如圖2中，尺寸L決定了公差帶的位置，參照A決定了公差帶的方向，特征的形狀決定了公差帶的形狀，公差值t決定了公差帶的大小。

也就是說，在明確施加公差的特征、施加的公差項(xiàng)目、公差參照以及公差值的條件下，公差帶能夠唯一確定，才是正確的公差標(biāo)注，才能用以公差分析與綜合。

2 基于自由度變動(dòng)的幾何公差表示方法

基于自由度變動(dòng)的幾何公差表示方法最早由Bourdet［6］在1996年引入到公差領(lǐng)域，是公差分析與綜合的基礎(chǔ)。其主要通過帶有6個(gè)運(yùn)動(dòng)分量的剛體產(chǎn)生微小位移所構(gòu)成的矢量表示。

產(chǎn)品規(guī)范設(shè)計(jì)中，設(shè)想的實(shí)際表面是一偏離名義表面的理想表面，零件幾何特性可由特征表面的法線方向和點(diǎn)表述。特征的變動(dòng)量可以用6個(gè)矢量精確地表示:3個(gè)平動(dòng)矢量和3個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量，如公式(1)所示。

通常，尺寸公差與幾何公差是通過公差帶進(jìn)行描述的，公差帶表達(dá)了實(shí)際特征偏離名義位置的變動(dòng)的范圍。傳統(tǒng)上，公差帶主要通過圖形語(yǔ)言進(jìn)行描述。公差數(shù)學(xué)建模的主要目的就是要通過數(shù)字化方法描述公差帶?；谧杂啥茸儎?dòng)的幾何公差表示方法中，6個(gè)參量的變動(dòng)范圍和約束關(guān)系可以完整的表達(dá)實(shí)際特征相對(duì)于名義位置的變動(dòng)范圍，即公差帶。

因分析對(duì)象通常只有平面特征與圓柱特征，故只針對(duì)這兩種特征給出其幾何公差的參數(shù)化表示方法。

2.1 平面特征幾何公差表示方法

平面特征具有如表1所示的幾何公差項(xiàng)目［7］。

由于平面特征的形狀、定向、定位和端面全跳動(dòng)公差帶在數(shù)學(xué)上有統(tǒng)一的表達(dá)方法，公差帶的形狀也是一致的，則基于自由度變動(dòng)的公差帶表達(dá)方法也相對(duì)統(tǒng)一。

表1 平面特征幾何公差項(xiàng)目公差帶形狀示意

對(duì)于平面特征，擁有3個(gè)自由度，其變動(dòng)矢量［8］如公式(2)所示。

平面特征的公差帶是由兩個(gè)位于公差極限的平面所包容的區(qū)域，如圖3所示。

則可以得到變動(dòng)矢量的變動(dòng)范圍和約束條如公式(3)所示［8］:

2.2 圓柱特征幾何公差表示方法

圓柱特征具有如表2所示的公差項(xiàng)目［7］。

表2 圓柱特征幾何公差項(xiàng)目公差帶形狀示意

對(duì)于圓柱特征，圓柱型公差帶的數(shù)學(xué)表達(dá)為

公差帶是兩同心圓之間的區(qū)域的數(shù)學(xué)表達(dá)為

公差帶是兩同心圓柱之間的區(qū)域的數(shù)學(xué)表達(dá)為

以上3種公差帶的自由度變動(dòng)參數(shù)如下［8］:

圓柱型公差帶的自由度變動(dòng)參數(shù)公式為

兩同心圓型公差帶的自由度變動(dòng)參數(shù)公式為

兩同心圓柱型公差帶的自由度變動(dòng)參數(shù)公式為

3 基于自由度變動(dòng)的多公差綜合參數(shù)化表達(dá)方法

3.1 對(duì)于同一特征多種幾何公差共同作用下的自由度變動(dòng)參數(shù)表達(dá)方法

在設(shè)計(jì)實(shí)踐中，常常會(huì)對(duì)同一特征給出多種幾何公差，圖4中給出了一個(gè)例子。

正確的公差語(yǔ)義應(yīng)當(dāng)是具有唯一解釋的，那么通過確定自由度變動(dòng)參數(shù)的變動(dòng)范圍，應(yīng)當(dāng)能夠表達(dá)出唯一一個(gè)具有確定的空間位置、方向、形狀與大小的公差帶。

對(duì)于定位或者定向公差與形狀公差(如圖5所示)共同作用于同一特征時(shí)，可以推出其誤差的控制邊界公式為

將計(jì)算這兩種誤差疊加的運(yùn)算定義一個(gè)運(yùn)算符號(hào)為⊕，則

3.2 對(duì)于基準(zhǔn)存在誤差的特征的幾何公差自由度變動(dòng)參數(shù)表達(dá)方法

對(duì)于定向公差、定位公差等有基準(zhǔn)的公差項(xiàng)目，為了保證裝配完成之后，目標(biāo)特征的空間位置姿態(tài)符合設(shè)計(jì)要求，必須考慮基準(zhǔn)存在誤差的情況。

例如，在設(shè)計(jì)時(shí)，為某零件的設(shè)計(jì)如圖6所示的公差。

假設(shè)基準(zhǔn)A存在公差，其對(duì)應(yīng)的公差帶如圖6所示。由于基準(zhǔn)存在誤差，雖然F面相對(duì)于基準(zhǔn)A的垂直度公差未超差，但是其空間姿態(tài)θ2和設(shè)計(jì)時(shí)的空間姿態(tài)θ1相比已經(jīng)發(fā)生了變化，即A的誤差已經(jīng)影響了F面的空間位姿參數(shù)。

對(duì)于這種誤差引起的目標(biāo)特征的空間位姿參數(shù)的變動(dòng)，可以通過以下公式計(jì)算:

假設(shè)在零件坐標(biāo)系下，F(xiàn)面相對(duì)于基準(zhǔn)A的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為，位移變換向量為;若基準(zhǔn)A為平面特征，則其公差帶可以表述為

則F面的空間位姿變動(dòng)為

3.3 形狀公差在裝配公差分析中的處理方法

形狀公差(包括平面度、直線度、圓度與圓柱度)對(duì)于裝配公差圖的影響可以概括為以下4種情況:

(1)當(dāng)只規(guī)定有形狀公差的兩個(gè)特征配合時(shí)，若配合平面的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于形狀公差(一般情況下均為此)，仍可以將配合表面視為理想形狀。

傳遞至目標(biāo)特征的誤差如公式為

(2)當(dāng)特征既規(guī)定了形狀公差，也規(guī)定了尺寸公差或者定向公差時(shí)，由于定向公差一般大于形位公差，在配合特征尺度遠(yuǎn)大于公差t時(shí)，將配合表面視為理想表面。

(3)當(dāng)配合特征的尺度與公差t接近時(shí)(通常指點(diǎn)接觸)，需要考慮形狀公差。

此時(shí)，要考慮特征上每個(gè)位置可能出現(xiàn)的誤差。

以平面度為例，若平面度的自由度參數(shù)表達(dá)為

平面上任意一點(diǎn)(x，y)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件為

此時(shí)，在計(jì)算裝配公差時(shí)，應(yīng)當(dāng)將裝配點(diǎn)的形狀公差計(jì)算在內(nèi)。

4 基于自由度變動(dòng)的幾何誤差傳遞與積累計(jì)算模型

通過以上的分析，有多種誤差影響一個(gè)特征的空間位姿，包括:尺寸誤差，本特征的幾何誤差，基準(zhǔn)的幾何誤差。

對(duì)于裝配體目標(biāo)特征(GTF)的空間位姿，應(yīng)采用幾何誤差傳遞與積累計(jì)算模型，如圖8所示，應(yīng)當(dāng)采取以下分析步驟:

步驟1:將所有公差轉(zhuǎn)化為基于自由度變動(dòng)的矢量參數(shù)。

步驟2:從基準(zhǔn)出發(fā)，計(jì)算零件1目標(biāo)特征(LTF)的空間位姿。

步驟3:假設(shè)零件1的LTF與零件2的基準(zhǔn)CF1配合，將零件1的LTF的誤差作為零件2的基準(zhǔn)的幾何誤差，重復(fù)步驟2，計(jì)算零件2的LTF的空間位姿。

重復(fù)步驟2、步驟3，直到計(jì)算出GTF的空間位姿變動(dòng)參數(shù)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文首先闡述了公差數(shù)字化分析的基本理論和原理，然后提出了同一特征多種公差要求、基準(zhǔn)存在誤差的公差要求和形狀公差數(shù)字化分析的具體分析方法，最后提出了空間誤差累積的計(jì)算流程。

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