金屬軌道的形狀影響感應(yīng)電流的大小嗎
——以2020年全國高考物理3卷的壓軸題為例

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

1 原題呈現(xiàn)

圖1

本題是2020全國高考物理3卷除去選做題之外的倒數(shù)第二題，處于壓軸題的重要位置，也是單題分值較大的題目之一.主要考查學(xué)生利用感生電動勢、通電導(dǎo)體在磁場中受力等相關(guān)公式靈活解決綜合問題的能力.

在各種物理資料中的電磁學(xué)板塊，經(jīng)常見到與這道高考題目同類型的題目，跟資料中這類常規(guī)題目相比，這道高考壓軸題目進行了創(chuàng)新——雖然也是導(dǎo)體棒沿正方形金屬框滑動，但是，導(dǎo)體棒的運動方向與金屬框的邊所在的直線不平行，這樣以來，在導(dǎo)體棒運動過程中，它聯(lián)入電路中的切割磁感線的有效長度在不斷改變，在磁場強度恒定，導(dǎo)體棒運動速度確定的情況下，閉合電路因?qū)w棒切割磁感線運動而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢也在不斷的變化，所以，閉合電路中感應(yīng)電流的大小以及導(dǎo)體棒所受安培力的大小規(guī)律就有可能更為復(fù)雜.

我們不禁要問：金屬軌道的形狀改變時，電路中感應(yīng)電流的大小改變嗎？

2 金屬軌道的形狀不影響感應(yīng)電流的大小

以上面的這道高考壓軸題目給出的情景為例，推導(dǎo)一下當(dāng)導(dǎo)體棒的運動方向與導(dǎo)體棒所在的直線垂直情況下感應(yīng)電流與相關(guān)各物理量之間的定量關(guān)系.

設(shè)某時刻導(dǎo)體棒在金屬導(dǎo)軌間的長度為L，閉合電路中的感應(yīng)電流為I，則有：

如果其他條件不變，將導(dǎo)體棒的運動方向由原來的垂直于導(dǎo)體棒所在直線方向的運動更改為任意方向的運動，感應(yīng)電流的大小是否會改變呢？

3 導(dǎo)體棒的運動方向與導(dǎo)體棒所在直線不垂直時感應(yīng)電流的大小受到影響

我們以金屬導(dǎo)軌是任意形狀為例進行分析.如圖2所示，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面，設(shè)磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)體棒以速度v沿導(dǎo)軌滑動，運動方向與導(dǎo)體棒所在直線的夾角為α，設(shè)某時刻導(dǎo)體棒在金屬導(dǎo)軌間的長度為L，單位長度的電阻為r.這種情形下，我們可以將導(dǎo)體棒的運動速度v進行正交分解——分解為沿垂直于導(dǎo)體棒方向的分量vsinα，和沿平行于導(dǎo)體棒方向的分量vcosα，因為在平行于導(dǎo)體棒方向上運動時，導(dǎo)體棒不切割磁感線，所以，導(dǎo)體棒沿圖2所示方向運動時，閉合電路中感應(yīng)電流的大小為：

圖2

2020年的物理高考，不論是全國卷還是地方卷，整體難度都比往年有所降低，這應(yīng)該是編者綜合考慮以下兩方面的因素而人為的降低了試題的難度，其一，物理學(xué)科一直是被大家公認(rèn)為高考各科中難度最大的學(xué)科，近幾年學(xué)生選考物理的人數(shù)比例逐年減少的現(xiàn)象就是一個有力的例證.其二，庚子年春節(jié)突如其來的疫情給全國各地學(xué)生(尤其是面臨高考的考生)的學(xué)習(xí)帶來不同程度的影響.考慮這些因素，包括壓軸題目在內(nèi)的物理試卷，整體難度降低也是人們預(yù)料之中的事情.2021年的高考剛剛過去，可以看出，今年的高考在試題的難度上依然沿襲了2020年的高考難度.

4 該壓軸題目的兩個變式及解析

圖3

解析設(shè)導(dǎo)體棒平移過程中與圓形軌道的交點分別為M、N，將圓形軌道方程與導(dǎo)體棒所在直線方程聯(lián)立組成方程組：

消去y并整理得2x2-2zx+z2-R2=0，設(shè)這個關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為x1和x2，則有：

我們知道，圓可視為橢圓的特例——圓是長半軸與短半軸相等的橢圓，如果將變式1給出的圓形金屬軌道更改為形狀確定的橢圓金屬軌道，那么，我們就可以將這個特例情形下的結(jié)論推廣到更具一般性的情形.

圖4

所以，導(dǎo)體棒所受安培力的大小為

由以上給出的兩個變式不難發(fā)現(xiàn)，2020全國高考物理3卷的這道壓軸題目給出的背景材料，已經(jīng)具備編擬難度較大的題目的材料“條件”，編者之所以將其編擬成難度不是很大的壓軸題目，一方面是為了扭轉(zhuǎn)廣大考生心目中“物理學(xué)科是難度最大的一門學(xué)科”的認(rèn)識，另一方面，也是為了減輕突如而來的疫情對考生學(xué)習(xí)的影響.