對一道中考題解題思路的探索與思考

呂學兵

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學 215200)

初中階段的數(shù)學教學在確保學生掌握知識基礎的前提下，更多的是需要訓練學生的數(shù)學思維，提升看待問題的多角度分析能力.在中考數(shù)學真題中，常常會存在一道題目多種解法的情況，然而學生會局限于中考時間的規(guī)定以及其它題目難度的設計，不會在實際解題的過程中去尋求多種解法.這就導致學生在看待一些中考真題時缺乏創(chuàng)新思維，也不能提高自身的數(shù)學技能.因此，教師要針對往年的數(shù)學中考真題，對那些可以一題多解的題目進行解法的詳細分析，帶領學生思考不同解法下的數(shù)學知識本質(zhì)，領會一題多解、培養(yǎng)發(fā)散思維.

1 試題與解法

1.1 試題呈現(xiàn)

(2020年蘇州中考第28題)如圖1，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA=8cm．動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左做勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運動．連接PQ，交OT于點B．經(jīng)過O、P、Q三點作圓，交OT于點C，連接PC、QC．設運動時間為ts，其中0

圖1

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在實數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

(3)求四邊形OPCQ的面積．

1.2 解法探索

解法一(1)根據(jù)題意可得，P從A出發(fā)在OA上做勻速運動，則AP=tcm，故OP=(8-t)cm，且OQ=tcm，則有：OP+OQ=8-t+t=8(cm)．

(2)當t=4時，線段OB的長度最，理由如下：

圖2

所以四邊形OPCQ的面積為16cm2.

解法二(1)、(2)問如前所示；

(3)如圖3所示，過點C作CD⊥ON，CE⊥OM，因為CP=CQ，∠PCE+∠QCE=∠QCD+∠QCE=90°，所以∠PCE=∠QCD，所以Rt△CDQ≌Rt△CEP(AAS)，所以S△CDQ=S△CEP，所以S四邊形CPOQ=S正方形OECD，因為OE+OD=OP+OQ=8，所以OE=OD=4，所以S四邊形CPOQ=42=16．

圖3

針對第(3)小問，解法一中利用了“割補法”中的“割”，同時學生也可以通過“割”“補”雙管齊下，將四邊形通過拆分補全的形式，使之成為一個特殊的四邊形.首先考慮到這個四邊形是有兩個直角存在的，那么在割補的過程中要盡量保持住它直角的特性，這對后續(xù)求解面積會十分有利.因此，構造輔助線：過點C作CD⊥ON，CE⊥OM，通過輔助線的繪制可以看出，△CDQ和△CPE都有一個直角，且斜邊分別為等腰直角三角形CPQ的兩條邊，因此可以證明Rt△QCD≌Rt△CPE(AAS)，進而得出S△QCD=S△CPE.對這個四邊形的構造進行割補，將△CPE切割掉，用△CDQ來進行補全，則這個四邊形與正方形ODCE的面積是相等的，再由正方形的面積公式即可求出答案.

2 解后反思

2.1 重視基礎，全面把握

學生在學習數(shù)學知識的過程中要格外重視數(shù)學知識的基礎性以及全面性,通過對概念性質(zhì)的把握以及大量的做題經(jīng)驗來掌握基礎知識、習得基本技能、構建基本思想.努力做到自己腦海中的概念是清晰無誤的，且能夠在第一時間將這些概念與題目中的某些條件將結合，找到解體的突破點.比如上述第(2)問的解題過程中學生在針對未知線段長度的求解時，應該立刻想到用已知的參數(shù)將其代替，通過構建方程或函數(shù)的形式來對其進行求解.同時這也是對學生轉(zhuǎn)化思想的訓練，促進學生在數(shù)學學習的過程中靈活變通，廣闊思路.當然，作為數(shù)學學習基礎的數(shù)學運算學生也必須熟練準確地掌握，不可在一些基礎的數(shù)學運算上丟分失分.

2.2 優(yōu)化思維，解法創(chuàng)新

在初中階段的學生要逐漸放棄小學階段一些固化的解題思維，要不斷優(yōu)化學生的思維品質(zhì),在解題學習時努力培養(yǎng)自身思維的深刻性以及廣闊性，在遇到一個題目時要思考其解法的多樣性，比如上題第(3)小問中在針對不是特殊圖形面積的求解時不僅要想到“割補法”，還要想到單純的分割圖形以及割補共同使用的兩種情況，然后基于這兩種情況尋求解題的有效條件，訓練自身解題思維的靈活性與創(chuàng)新性.

2.3 提升能力，滲透本質(zhì)

學生在初中階段的學習中要不斷發(fā)展自身的探究能力,尋找解題過程中的本數(shù)學本質(zhì).如上述第(3)小問雖然是面積的求解,但實質(zhì)上是考察學生對圖形變換感知的敏銳性，如何將一般型的圖形變換為特殊型的圖形，通過特殊圖形面積的求解來間接解決一般圖形面積的求解.這樣的思維轉(zhuǎn)換下，學生就會加強特殊圖形性質(zhì)的理解，同時能提高自身的解題能力.因此，學生在解題時要時常思考探究，體會一個題目背后的深意以及涉及到的知識本質(zhì)，這樣才能有效答題，提高自身的數(shù)學技能.

綜上所述，引導學生在解題過程中思考一題多解的情況不僅可以開拓學生的思維能力，讓學生通過比較尋找出最適合自己理解的解題方法，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生在尋找新解法時無形中增加自身的解題能力，提高自身的解題效率.因此，教師應該在日常解題教學中向?qū)W生普及基礎知識掌握的重要性，以及解題思維創(chuàng)新的必要性，讓學生在尋求一題多解的過程中體會對數(shù)學知識的運用.