一種“北斗”三號精密單點(diǎn)定位的三頻模糊度解算方法*

勞源基，熊澤凱，王靖君，覃團(tuán)發(fā)

(廣西大學(xué)a.計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院；b.廣西多媒體通信與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

0 引 言

目前“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou Navigation Satellite System,BDS)已經(jīng)開放了多頻信號的公開授權(quán)服務(wù)[1-2]。隨著多頻信號的播發(fā)，三頻觀測值可以通過組合形成具有波長較長、電離層延遲較小和觀測噪聲小的三頻最優(yōu)組合，進(jìn)而提高了模糊度解算(Ambiguity Resolution,AR)的成功率，極大地推動了精密單點(diǎn)定位(Precise Point Positioning，PPP)技術(shù)的發(fā)展。精密單點(diǎn)定位被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如地球物理、大地測量、氣象領(lǐng)域以及高精度導(dǎo)航等領(lǐng)域[3]。在相對定位中，用戶與基準(zhǔn)站之間的基線長度是制約定位精度和應(yīng)用的關(guān)鍵因素。在單個(gè)接收機(jī)方面，PPP不需要基準(zhǔn)站，更加靈活，得到了廣泛的應(yīng)用。在進(jìn)行PPP時(shí)，載波相位觀測值被用于實(shí)現(xiàn)精密定位，整周模糊度是載波相位觀測值的主要參數(shù)，因此在進(jìn)行PPP之前需要得到準(zhǔn)確的整周模糊度。文獻(xiàn)[4]提出了經(jīng)典的三載頻模糊度確定法(Three-Carrier Ambiguity Resolution,TCAR)，通過“層疊”關(guān)系直接對模糊度進(jìn)行解算，省略了模糊度解算中繁瑣的搜索空間，獲得了較好的解算效果。文獻(xiàn)[5]提出了級聯(lián)模糊度確定法(Cascade Integer Resolution,CIR)。文獻(xiàn)[6]對經(jīng)典TCAR算法加以改進(jìn)，提高了窄巷模糊度的固定準(zhǔn)確度。文獻(xiàn)[7]分析了“北斗”三號不同頻點(diǎn)的不同組合。文獻(xiàn)[8]通過聚類算法對“北斗”三號衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Beidou-3 Navigation Satellite System,BDS-3)的組合分析，比較得出適用于不同場景下的三頻組合。文獻(xiàn)[9]從收斂時(shí)間的角度上分析了AR與PPP的定位精度的影響。文獻(xiàn)[10]參考全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System,GPS)PPP單天解，闡述了BDS PPP-RTK AR對定位的可靠性的影響。文獻(xiàn)[11-12]從正確率和時(shí)間出發(fā)，闡述了融合GPS/BDS進(jìn)行PPP AR的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[13]提出了三頻AR方法的意義和面臨的問題挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[14]通過實(shí)測的“北斗”系統(tǒng)三頻觀測數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了基于原始觀測模型的三頻PPP AR的性能。

本文在傳統(tǒng)Boot-strapping方法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的三頻模糊度解算方法。選用BDS-3系統(tǒng)性能更好的B2a信號取代B2I信號，與B1I、B3I組成的三頻信號觀測值組合，通過比較選擇波長長、各誤差項(xiàng)都較小的最優(yōu)三頻觀測值組合，在AR的過程中還加入了額外的偽距組合來減弱電離層的影響。相比于傳統(tǒng)方法，改進(jìn)方法的窄巷組合AR有著更高成功率和更準(zhǔn)確的固定值。

1 傳統(tǒng)Boot-strapping方法

1.1 “北斗”三號三頻線性觀測值組合

2020年6月23日，隨著“北斗”三號第55顆GEO衛(wèi)星的發(fā)射，我國BDS-3系統(tǒng)全面組網(wǎng)成功。目前BDS-3系統(tǒng)已經(jīng)可以提供5個(gè)信號的公開授權(quán)服務(wù)，分別是B1I(1 561.098 MHz)、B1C(1 575.42 MHz)、B2a(1 176.45 MHz)、B2b(1 207.140 MHz)和B3I(1 268.520 MHz)，其中包括公開服務(wù)的新信號B1C、B2a和B2b信號。

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System,GNSS)導(dǎo)航定位使用的頻率由基準(zhǔn)頻率組成。設(shè)“北斗”系統(tǒng)的基準(zhǔn)頻率是f0，則每個(gè)頻點(diǎn)的頻率可以表示為fi=ai·f0。BDS-3三頻信號組合對應(yīng)參數(shù)如表1所示。

表1 BDS-3系統(tǒng)三頻信號組合對應(yīng)的參數(shù)

本文優(yōu)選B1I、B3I、B2a三個(gè)信號進(jìn)行組合，可以得到具有虛擬頻率的觀測值組合。f1、f2、f3分別是組合信號中的三個(gè)頻率，且f1>f2>f3，這里分別對應(yīng)BDS三個(gè)載波頻點(diǎn)B1I(1 561.098 MHz)、B3I(1 268.520 MHz)和B2a(1 176.45 MHz)。因此，多頻偽距觀測值和載波相位觀測值表示如下：

Pi=ρ+γiδI1+ei，

(1)

Li=ρ-γiδI1-λiNi+εi。

(2)

多頻載波相位觀測值還可以表示如下:

Li=λi·φi=ρ-γiδI1-λiNi+εi。

(3)

式中：單位為周的載波相位觀測值由φi表示。假設(shè)組合系數(shù)分別為m、n、k，且均為整數(shù)，分別對應(yīng)f1、f2、f3，φmnk(單位周)和Lmnk(單位m)均表示三頻載波相位組合觀測值，則可推出三頻載波相位組合觀測值如下：

(4)

式中：Nmnk表示三頻載波相位組合的模糊度，

Nmnk=m·N1+n·N2+k·N3。

(5)

當(dāng)用組合系數(shù)m、n、k分別對方程(1)和方程(2)進(jìn)行整理，可以將“北斗”三頻偽距和載波相位觀測值的線性組合分別表示如下：

ρ+γmnkδI1+emnk，

(6)

ρ-γmnkδI1-λmnkNmnk+εmnk。

(7)

式中：emnk表示三頻組合偽距的測量噪聲，εmnk表示三頻組合載波相位的測量噪聲。假設(shè)三頻組合波長為λmnk，組合頻率為fmnk。另外，當(dāng)組合系數(shù)滿足m+n+k=1時(shí)，Nmnk可以保持整數(shù)特性，與頻率無關(guān)的對流層項(xiàng)在組合后不發(fā)生變化。其中：

fmnk=mf1+nf2+kf3=(ma1+na2+ka3)f0，

(8)

(9)

γmnk是組合信號相對于頻率f1的電離層延遲系數(shù)，表示如下：

(10)

在實(shí)際環(huán)境中，衛(wèi)星信號傳輸產(chǎn)生的誤差主要來自電離層和對流層，還會產(chǎn)生多徑效應(yīng)。在精密單點(diǎn)定中可以通過觀測值線性組合來削弱電離層一階延遲，而高階項(xiàng)遠(yuǎn)小于一階延遲。對流層延遲的大小與頻率無關(guān)，主要由干、濕兩個(gè)分量構(gòu)成[15]。多徑效應(yīng)使得信號觀測存在一定的偏差。削弱多徑效應(yīng)的常規(guī)操作包括選擇較大的衛(wèi)星高度角、軟件和硬件方法和較好的觀測環(huán)境。在PPP中，可以假定多徑效應(yīng)為隨機(jī)噪聲，因此，本文將測量噪聲和多徑效應(yīng)合到一起來分析。

在研究中假設(shè)B1、B2和B3的偽距測量噪聲相同且相互獨(dú)立，載波相位噪聲也是如此，即σL1=σL2=σL3=σL，σP1=σP2=σP3=σP。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，假定在相同環(huán)境下令載波相位噪聲和偽距噪聲分別為σL=0.004 m，σP=0.6 m。根據(jù)傳播定律，載波相位和偽距組合觀測值的方差分別為

(11)

(12)

式中：ηmnk為噪聲系數(shù)，表示為

(13)

1.2 Boot-strapping方法的步驟

在傳統(tǒng)Boot-strapping方法中，整周模糊度的解算主要是通過從組合波長較長到組合波長較短的順序逐級解算。由于大多數(shù)的線性組合的波長都較短，各項(xiàng)誤差較大，不能用于AR。因此，在Boot-strapping方法中選擇最優(yōu)的線性組合是AR的關(guān)鍵。

通常，Boot-strapping方法在第一步中選擇兩個(gè)頻率更接近的組合解算超寬巷(Extra-wide-lane,EWL)組合，然后通過構(gòu)建 Hatch-Melbourne-Wubbena(HMW)組合解算出EWL的模糊度浮點(diǎn)估計(jì)值。在解算過程中，HMW組合可以有效地削弱電離層延遲誤差和幾何參數(shù)的影響，得到模糊度浮點(diǎn)估計(jì)值后取整得到整周模糊度，再用整周模糊度對EWL組合進(jìn)行更新。第二步將前面所得到的EWL組合看作是更加精確的偽距，對寬巷(Wide-lane,WL)組合進(jìn)行AR，WL模糊度的解算是通過第二接近的兩個(gè)頻率的載波組合形成，選擇第二最長的組合波長，用于計(jì)算WL組合的模糊度。第三步把已經(jīng)進(jìn)行AR的WL組合作為更加精確的偽距，對窄巷(Narrow-lane,NL)組合進(jìn)行AR。在傳統(tǒng)Boot-strapping方法中，NL組合直接采用波長最長的原始觀測值，再以與第二步相同的方式舍入得到整周模糊度。成功固定三個(gè)組合的整周模糊度后，建立三個(gè)線性無關(guān)的一階方程，進(jìn)而恢復(fù)出原始的模糊度。最后可以把恢復(fù)的模糊度作為已知量代入到原始的定位模型中，以得到定位結(jié)果。Boot-strapping方法是基于一組選定的原始觀測值的線性組合，與其他解算方法相比，降低了計(jì)算的復(fù)雜度。

2 改進(jìn)的三頻模糊度解算方法

本文根據(jù)傳統(tǒng)的三頻AR方法(TCAR、CIR、Boot-strapping、經(jīng)驗(yàn)理論)，提出了一種改進(jìn)的可用于BDS-3 PPP的三頻AR方法。不同于傳統(tǒng)算法的EWL-WL-NL，選擇了EWL-EWL-WL-NL的解算策略。

2.1 第一個(gè)超寬巷(EWL1)組合的模糊度解算

通常，在第一步中選擇兩個(gè)載波相位觀測值解算EWL1組合的模糊度。這兩個(gè)觀測值選擇的標(biāo)準(zhǔn)是從兩個(gè)頻率更接近的頻點(diǎn)中選出。對于“北斗”三號，載波B2a和B3I的頻率更接近。此外，如表2所示，組合(0,1,-1)的波長較長，電離層延遲系數(shù)和噪聲系數(shù)較低。因此，選擇(0,1,-1)作為EWL1組合，偽距組合選擇(0,1,1)。

表2 BDS-3三頻組合的特征值

幾何參數(shù)不隨頻率變化而變化，所以通過偽距和超寬巷的聯(lián)立來消除，即選擇HMW組合來消除。由HMW組合導(dǎo)出的EWL1的模糊度表示如下：

NEWL1=N2-N3=

(14)

式中：P2、P3分別是載波B3I、B2a的偽距觀測值，L2、L3分別是載波B3I、B2a的載波相位觀測值，λEWL1是EWL1組合的組合波長。由表2，γ(0,1,1)+γ(0,1,-1)=0，大大削弱了電離層延遲，且組合波長達(dá)到了3.256 1 m，對于模糊度解算有很大幫助。因?yàn)樵驾d波相位的噪聲為0.004 m，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于組合波長，顯然組合噪聲可以忽略。其余的誤差如對流層延遲的濕分量、衛(wèi)星時(shí)鐘誤差，已經(jīng)通過精確的模型來消除。然后，從浮點(diǎn)解中直接取整，得到EWL1組合的模糊度整數(shù)值，可以表示為

(15)

2.2 第二個(gè)超寬巷(EWL2)組合的模糊度解算

(16)

(17)

式中：j1、j2、j3、j4、j5分別為權(quán)重系數(shù)。令j5=1，式(17)應(yīng)滿足以下約束條件：

(18)

式中：σL=0.004 m；σP=0.6 m；h為自適應(yīng)權(quán)因子，

(19)

按式(19)能選出用于解算EWL2的模糊度的h，并且成功率最高。再由式(17)求得EWL2的模糊度，最后舍入得到整數(shù)解，表示為

(20)

2.3 寬巷(WL)組合的模糊度解算

(21)

式中：WL組合模糊度需要得到準(zhǔn)確的整數(shù)值，故系數(shù)a、b均為整數(shù)，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用由如下公式確定:

(mWL,nWL,kWL)=a(mEWL1,nEWL1,kEWL1)+

b(mEWL2,nEWL2,kEWL2)。

(22)

由式(22)可得到系數(shù)a、b的值，代入式(21)求得WL組合的整周模糊度為

(23)

2.4 窄巷(NL)組合的模糊度解算

在傳統(tǒng)Boot-strapping方法中，通常采用(0,0,1)作為窄巷組合。不同于PPP，相對定位能夠通過做差的方式來除去大多數(shù)誤差。然而，在PPP中，傳統(tǒng)NL組合相比于前兩種組合電離層延遲誤差和測量噪聲較大，無法預(yù)先消除的這兩種誤差會嚴(yán)重制約著AR的成功率。因此，選擇組合系數(shù)盡可能小但仍然具有相對較長的波長和較低的噪聲的組合。根據(jù)表2，選擇(4,0,-3)作為NL組合，在解算時(shí)還引入(1,0,0)作為偽距組合。因此，考慮到幾何參數(shù)和電離層延遲參數(shù)的影響，NL組合模糊度可以由偽距觀測值和WL模糊度推導(dǎo)出來，表示為

(24)

式中：系數(shù)z1、z2應(yīng)滿足

(25)

通過系數(shù)z1、z2適當(dāng)取值，消除電離層延遲。最終可以精確地對NL組合進(jìn)行AR，得到的模糊度由式(26)取整舍入。

(26)

2.5 原始模糊度解算

固定了這三個(gè)組合的模糊度后，根據(jù)組合系數(shù)，B1I、B3I、B2a的整周模糊度即N1、N2、N3，能夠從式(27)中恢復(fù)過來。

(27)

求解式(27)可以得到唯一解。在成功固定模糊度以后，可代回載波相位原始觀測方程，提高觀測值精度，從而得到可靠的PPP定位結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)分析

采用北京合眾思壯生產(chǎn)的 Phantom 系列的 P40 板卡來對“北斗”三號衛(wèi)星信號進(jìn)行靜態(tài)接收。實(shí)測的靜態(tài)數(shù)據(jù)接收時(shí)間為2021年2月16日 20：00到2021年2月17日 20：00，為了數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性，去掉前4 h和后2 h的數(shù)據(jù)。接收地點(diǎn)在廣西北海，數(shù)據(jù)的采樣間隔為30 s。接收的靜態(tài)衛(wèi)星數(shù)據(jù)來自BDS-3的第27和第28號中地球軌道(Medium Earth Orbit,MEO)衛(wèi)星。

3.1 不同組合的成功率

假設(shè)通常情況下噪聲滿足正態(tài)分布，那么這三種組合的模糊度同樣滿足正態(tài)分布，即N(m,n,k)～N(γ(m,n,k)δI1,σN(m,n,k))。因此，為了驗(yàn)證改進(jìn)方法的優(yōu)劣，用組合AR的成功率P作為評估標(biāo)準(zhǔn)，用高斯概率密度函數(shù)表達(dá)如下：

(28)

式中：u是模糊度浮點(diǎn)值相對于模糊度參考值之間的偏差，μ和σ分別表示u在周期內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差，-0.5～0.5是AR成功率的理論區(qū)間。在相同組合中，模糊度固定成功率的高低會受到來自電離層和噪聲的制約。

組合模糊度參考值可以用總歷元求和取整數(shù)均值，如式(29)所示：

(29)

式中：i表示總的歷元數(shù)，t表示當(dāng)前歷元，Nt(m,n,k)表示在i歷元處模糊度的浮點(diǎn)估計(jì)值。

EWL、WL、NL和傳統(tǒng)方法下NL模糊度解算成功率如圖1所示，可以看到在不同載波相位噪聲下相同組合的成功率不相同。從圖1還可以看出，AR的成功率會隨著電離層延遲的增大而減小，對于相同組合載波相位噪聲大的曲線下滑快于載波相位噪聲小的曲線。如圖1(c)所示，當(dāng)電離層延遲達(dá)到0.6 m時(shí)，改進(jìn)方法的NL組合AR的成功率才會從100%開始下降，即使在σL=0.04 m的嘈雜環(huán)境下。如圖1(d)所示，當(dāng)電離層延遲大于0.16 m，即使在σL=0.004 m的環(huán)境下，傳統(tǒng)方法的NL組合在相對較好的環(huán)境下AR的效果很差，其固定成功率下降到零。結(jié)果表明，改進(jìn)方法的AR成功率在電離層延遲較小時(shí)保持著較高的成功率；在相同噪聲環(huán)境下，傳統(tǒng)方法NL的AR成功率隨著電離層延遲變化較為敏感。

(a)改進(jìn)方法EWL組合成功率

3.2 模糊度殘差

(a)改進(jìn)方法EWL組合模糊度殘差

圖3表示的是第28號MEO衛(wèi)星的EWL、WL、NL和傳統(tǒng)方法下的NL組合模糊度的殘差，曲線的結(jié)果與第27號MEO衛(wèi)星相似，并且改進(jìn)方法的NL組合模糊度的殘差比傳統(tǒng)方法的NL組合取得的效果更好。

(a)改進(jìn)方法EWL組合模糊度殘差

4 結(jié) 論

本文選用性能更好的B2a信號取代B2I信號，獲取BDS-3由B1I、B3I、B2a組成的三頻信號組合，在此基礎(chǔ)上對在傳統(tǒng)Boot-strapping方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的三頻模糊度解算方法。通過比較選擇具有波長較大、電離層延遲較小以及測量噪聲較小的三頻觀測值組合。在電離層延遲不能忽略時(shí)，通過引入額外的偽距觀測量組合來消除解算組合模糊度過程中的電離層和幾何參數(shù)的影響。實(shí)驗(yàn)表明，所提方法與傳統(tǒng)方法在完成一次模糊度解算的時(shí)間上相差無幾，但是相比于傳統(tǒng)方法，改進(jìn)方法可以確保AR有更高的成功率，并且對于窄巷模糊度解算的精度有顯著提升，模糊度固定的估計(jì)值能夠達(dá)到3周以內(nèi)，相比于傳統(tǒng)窄巷組合的模糊度解算方法，模糊度固定估計(jì)值精確了3周左右。