直覺猶豫模糊集距離測度及其應(yīng)用

王擁兵，左照鑫，張麗霞

(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 安徽 安慶 246013)

0 引言

自Zadeh[1]提出模糊集概念以來，許多學(xué)者陸續(xù)給出了模糊集的多種擴展形式。例如，文獻[2]提出了直覺模糊集的概念，并研究了直覺模糊集代數(shù)運算及其應(yīng)用。文獻[3-4]定義了猶豫模糊集，討論了不同類型猶豫模糊集的集成算子。由于猶豫模糊集只對每個屬性信息給出不同的隸屬度，在實際決策過程中不能夠全面地反映決策者的評估信息。基于此，文獻[5]定義了直覺猶豫模糊集，并將其應(yīng)用于多屬性決策問題。直覺猶豫模糊集集成了直覺模糊集和猶豫模糊集的優(yōu)勢，能夠更好地描述決策者的偏好不一致性。此外，文獻[6]研究了基于猶豫直覺模糊語言集距離的TOPSIS和TODIM多屬性決策方法；文獻[7]結(jié)合相關(guān)系數(shù)研究了直覺猶豫模糊集的群決策問題。

距離測度在決策過程中一直是研究的熱點問題之一，已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如多屬性決策問題、市場前景預(yù)測、模式識別等。文獻[8]研究了模糊集的幾何度量和Hausdorff 度量；文獻[9-11]研究了猶豫模糊集的距離測度、相似測度和相關(guān)測度。文獻[12]同樣考慮了直覺猶豫模糊集的距離度量問題，但只考慮了隸屬度和非隸屬度之間的差異，并未考慮直覺猶豫模糊集猶豫程度的差異。猶豫度是體現(xiàn)直覺猶豫模糊集的重要特征之一，基于此，本文將給出直覺猶豫模糊集猶豫度的概念，并基于猶豫度定義給出不同類型的直覺猶豫模糊集的距離測度，結(jié)合偏好決策和TOPSIS方法，通過模式識別案例和鋰離子電池供應(yīng)商模型，驗證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 預(yù)備知識

定義1[2]設(shè)X是一個有限的非空集合，則稱

I={〈x,μ(x),ν(x)〉|x∈X}

為直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)，其中μ(x)和ν(x)分別表示元素x∈X對于集合I的隸屬度和非隸屬度，μ(x)≥0,ν(x)≥0,且μ(x)+ν(x)≤1。

進一步地，π(x)=1-μ(x)-ν(x)表示元素對于集合I的猶豫度。

定義2[3-4]設(shè)X是一個有限的非空集合，則稱

H={〈x,h(x)〉|x∈X}

為X上的一個猶豫模糊集(hesitant fuzzy set，HFS)，其中h(x)是[0,1]區(qū)間中一些數(shù)值的集合，表示元素關(guān)于集合A的一些可能的隸屬度。

定義3[4]設(shè)X是一個有限的非空集合，則稱

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X}

為直覺猶豫模糊集(intuitionistic hesitant fuzzy set，IHFS)，其中ΓA(x)和ΨA(x)是[0,1]區(qū)間中的兩個子集合，表示x∈X的可能的隸屬度和非隸屬度，即

ΓA(x)={γ1,γ2,…,γl(h)}，

ΨA(x)={η1,η2,…,ηl(g)}，

其中：對于任意的γA(x)∈ΓA(x),有ηA(x)∈ΨA(x),且滿足0≤γA(x)+ηA(x)≤1;反之，對任意的ηA(x)∈ΨA(x)，有γA(x)∈ΓA(x)，且滿足0≤γA(x)+ηA(x)≤1。所有直覺猶豫模糊集構(gòu)成的集合記為IHFS(X)。

對于任意的x∈X，〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉被稱為直覺猶豫模糊元(intuitionistic hesitant fuzzy element，IHFE)，可以簡寫為

其中：lA和gA分別表示隸屬度和非隸屬度元素的個數(shù)。一般情況下要求lA=gA。若lA≠gA,可以對較短的隸屬度個數(shù)或非隸屬度個數(shù)進行延伸，直至lA=gA，延伸方式為

定義4設(shè)A,B∈IHFS(X), 若函數(shù)D:IHFS(X)×IHFS(X)→[0,1]滿足以下性質(zhì)：

1) 0≤D(A,B)≤1，

2)D(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B，

3)D(A,B)=D(B,A)，

則稱D(A,B)為A和B間的直覺猶豫模糊集的距離測度。

設(shè)A,B∈IHFS(X)，其中

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X}，

B={〈x,ΓB(x),ΨB(x)〉|x∈X}，

則A和B間的Hamming距離為

A和B間的廣義距離為

其中：p>0。特別地，若p=2，則為A和B間的Euclidean距離(DE(A,B))。

例1設(shè)X={x},A,B,C∈IHFS(X),其中

A={〈x,{0.4,0.2},{0.8,0.5}〉}，

B={〈x,{0.3,0.1},{0.5,0.4}〉}，

C={〈x,{0.7,0.3},{0.6,0.1}〉},

則DH(A,C)=DH(B,C)=0.25，DE(A,C)=DE(B,C)=0.273 9。

根據(jù)上述計算結(jié)果，傳統(tǒng)的Hamming距離和Euclidean距離無法識別樣本C是屬于模式A還是模式B。因此，有必要進一步考慮直覺猶豫模糊集的距離測度。本文將在直覺猶豫模糊集猶豫度的基礎(chǔ)上，提出一些新的直覺猶豫模糊集的距離測度公式。

2 基于猶豫度的直覺猶豫模糊集的距離測度

定義5設(shè)A∈IHFS(X), 對任意的xi∈X，則直覺猶豫模糊元A(xi)的直覺猶豫度定義為

實際上，這里的μA(xi)表示決策者對給出隸屬度與非隸屬度的猶豫程度。特別地，若μA(xi)=0, 表示決策者可以很明確地得出隸屬度和非隸屬度; 若μA(xi)=1, 表示決策者對給出隸屬度與非隸屬度最猶豫不決的情況。

定義6設(shè)A,B∈IHFS(X)，對任意的xi∈X，則A和B關(guān)于xi的直覺猶豫度的偏差定義為

其中，μA(xi)和μB(xi)分別為直覺猶豫模糊元A(xi)和B(xi)的直覺猶豫度。

定義7設(shè)a1=〈Γ1,Ψ1〉，a2=〈Γ2,Ψ2〉∈IHFE(X)，則a1和a2間的Hamming距離為

其中：參數(shù)t∈[0,1]。

對應(yīng)的A,B∈IHFS(X)，則A和B間新的Hamming距離定義為

其中：參數(shù)t∈[0,1]。

A和B間新的Euclidean距離定義為

其中：參數(shù)t∈[0,1]。

A和B間新的廣義距離定義為

其中：參數(shù)t∈[0,1],p>0。

定理1設(shè)A,B∈IHFS(X), 則DHH(A,B),DHE(A,B),DHG(A,B)滿足定義4中的三條性質(zhì)。

證明以DHH(A,B)為例進行證明，其他距離測度的證明類似。

1) 設(shè)

A={〈x,ΓA(x),ΨA(x)〉|x∈X},

B={〈x,ΓB(x),ΨB(x)〉|x∈X},

從而

故有

所以，

于是，有

同理可得0≤μB(xi)≤1。從而

進一步可得

因此，

2) 若DHH(A,B)=0,則

故μA(xi)-μB(xi)=0,即

可得μA(xi)=μB(xi)，故A=B。

反之，顯然成立。

3) 根據(jù)定義7，有

綜上所述，DHH(A,B)滿足定義4中的三條性質(zhì)。

由于屬性之間存在差異，因此有必要將屬性的權(quán)重納入距離測度考慮中。定義A和B間的新Hamming加權(quán)距離為

A和B間的新Euclidean加權(quán)距離為

A和B間的新廣義加權(quán)距離為

例3設(shè)A,B,C為例1中的IHFS，根據(jù)上述距離測度，并取t=0.5，可以計算出DHH(A,C)=0.225,DHH(B,C)=0.275。由此可判別模式C屬于模式A，這與直觀上認(rèn)識是一致的。

此外，從問題的計算結(jié)果來看，本文提出的新距離測度既保留了傳統(tǒng)的直覺猶豫模糊集距離測度的特點，又考慮了直覺猶豫模糊集本身的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征，克服了傳統(tǒng)距離測度的不足。

3 屬性權(quán)重的確定方法

目前，多屬性決策問題是一個研究熱點，決策者需要在權(quán)衡多個屬性后選擇最優(yōu)方案。近年來，人們對解決這一問題的方法進行了廣泛的研究，TOPSIS是其中比較有效的方法之一。對于屬性值為直覺猶豫模糊元的多屬性決策問題，決策者對備選方案有一定的主觀偏好，且偏好值為直覺猶豫模糊元。決策舉證中的屬性值可以作為客觀偏好值，但由于現(xiàn)實條件的限制，主觀與客觀偏好間常常存在一定的偏差。為了使決策更合理，屬性權(quán)重的選擇應(yīng)使決策者的主觀偏好與客觀偏好的總偏差最少。本文提出的距離測度既充分考慮了直覺模糊元之間隸屬度和非隸屬度的關(guān)聯(lián)，又考慮了直覺猶豫模糊元的猶豫度，且在實際應(yīng)用中是有效的。由此，將基于新的直覺猶豫模糊集的距離測度來確定屬性信息的權(quán)重模型，

(1)

為了求解該模型，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

(2)

屬性權(quán)重為

在解決實際問題時，通常要求屬性權(quán)重的和為1，將上述屬性權(quán)重式子歸一化，可得

(3)

根據(jù)直覺猶豫模糊元的新距離測度，分別計算方案與正、負(fù)理想元的加權(quán)距離，

(4)

根據(jù)R(Yi)的值對備選方案進行排序，R(Yi)越大，則方案Yi越優(yōu)。

4 決策步驟

本文給出一種對方案有偏好的直覺猶豫模糊集的多屬性決策方法，具體步驟如下。

Step 2 根據(jù)屬性權(quán)重優(yōu)化模型，利用式(3)計算屬性權(quán)重。

Step 3 根據(jù)式(4)計算各方案的相對貼近度。

Step 4 進一步根據(jù)R(Yi)(1≤i≤m)的值，對方案進行排序。

5 算例分析

5.1 算例

下面通過具體實例對上述算法進行說明。

例4與傳統(tǒng)二次電池相比，鋰離子電池具有能量高、循環(huán)性能好、無記憶效應(yīng)等優(yōu)點。自其誕生以來，在短短的數(shù)年內(nèi)，鋰離子電池就占據(jù)了手機、數(shù)碼相機、攝像機和筆記本等便攜式移動電子設(shè)備領(lǐng)域。影響鋰離子電池性能的因素是多種多樣的，下面將利用直覺猶豫模糊集的決策方法，分別從鋰離子電池正負(fù)極材料的選擇(C1)、電解質(zhì)的選擇(C2)、隔膜的選擇(C3)、電池的結(jié)構(gòu)和尺寸(C4)四種主要屬性來對Y1、Y2、Y3和Y4這四家鋰離子電池供應(yīng)商進行評估。

Step 1 專家對這四種屬性進行評估，得到各方案的屬性值，以直覺猶豫模糊元的形式給出，如表1所示。

表1 專家評估信息表Table 1 Expert evaluation information form

表2 各方案與α+和α-之間的距離Table 2 The distance between each alternative and α+, α-

表3 各方案與偏好之間的距離Table 3 The distance between each alternative and preferences

因此，可得

Step 2 取t=0.5,p=1，建立屬性權(quán)重優(yōu)化模型為

根據(jù)式(3)計算屬性權(quán)重為

ω=(0.375,0.225,0.233,0.167)。

Step 3 由式(4)計算各方案的相對貼近度為

R(Y1)=0.635 5,R(Y2)=0.583 1，

R(Y3)=0.657 3,R(Y4)=0.682 0。

Step 4 按照R(Yi)(1≤i≤4)的大小，對方案進行排序，即R(Y4)>R(Y3)>R(Y1)>R(Y2)。因此，Y4為最佳鋰離子電池供應(yīng)商。

5.2 敏感性分析

令p=1,通過對參數(shù)t取不同的數(shù)值進行敏感性分析。當(dāng)t分別取0.2、0.5、0.6、0.8、1.0時，分析備選方案評價結(jié)果的排序情況，結(jié)果如表4所示?？梢钥闯?，隨著參數(shù)t取值的不同，最佳備選方案Y4的排序結(jié)果始終沒有發(fā)生改變，由此可知，備選方案的排序結(jié)果對參數(shù)t的變化不敏感。

表4 參數(shù)t對方案排序的影響Table 4 The ranking results of alternatives with different parameter t

令t=0.5，通過對參數(shù)p取不同的數(shù)值進行敏感性分析。當(dāng)p分別取1、2、4時，分析備選方案評價結(jié)果的排序情況，結(jié)果如表5所示?？梢钥闯觯S著參數(shù)p取值的不同，最佳備選方案Y4的排序結(jié)果始終沒有發(fā)生改變。也就是說，備選方案的排序結(jié)果對參數(shù)p的變化不敏感。

表5 參數(shù)p對方案排序的影響Table 5 The ranking results of alternatives with different parameter p

綜合參數(shù)t、p的敏感性分析，表明了本文方法的穩(wěn)定性和可行性。

注利用文獻[12]中提出的Hamming距離進行計算，其結(jié)果為R(Y4)>R(Y1)>R(Y3)>R(Y2)。

由此可知，其排序的最優(yōu)方案和最劣方案與本文方法的計算結(jié)果基本一致。此外，通過上述例1和例3的分析可知，本文提出的直覺猶豫模糊集距離測度可以克服文獻[12]中Hamming距離的不足之處，進一步說明本文所提出的距離測度是有效的。

6 小結(jié)

猶豫度是體現(xiàn)直覺猶豫模糊集的重要特征之一，在決策過程中能夠很好地反映決策者猶豫不決的程度?；诖?，本文給出直覺猶豫模糊集猶豫度的概念，以及不同類型的直覺猶豫模糊集的距離測度，具體模式識別案例分析結(jié)果表明了本文所提出的距離測度的有效性和實用性。此外，結(jié)合有偏好的決策問題和TOPSIS方法，給出了備選方案的決策模型和算法步驟。將此方法應(yīng)用于鋰離子電池供應(yīng)商模型，并對相應(yīng)的參數(shù)t、p進行了敏感性分析，可以得到的最優(yōu)方案始終相同，證明了所提出的距離測度具有實用性和穩(wěn)定性。