基于DP-SQP方法的列車動態(tài)編組優(yōu)化控制

李建雄,王海峰,2,3,張啟鶴,柴 銘,2,3

(1.北京交通大學電子信息工程學院,北京 100044； 2.北京交通大學軌道交通運行控制系統(tǒng)國家工程研究中心,北京 100044； 3.北京交通大學城市軌道交通北京實驗室,北京 100044)

引言

列車運行控制系統(tǒng)是保障運行安全和提升行車效率的關鍵技術裝備。行車間隔控制是列車運行控制系統(tǒng)的基本功能之一[1]，在保證運行安全的前提下，縮短行車間隔是提升運輸能力的有效方法[2-3]。為此，國內許多地鐵線路完成了由固定閉塞到移動閉塞的改造，干線高速鐵路也選擇使用準移動閉塞行車方式代替固定閉塞。隨著列車運行速度的提高，在現(xiàn)有的行車閉塞方式下，必須加大行車間隔以保證列車運行安全。為打破現(xiàn)有閉塞方法的束縛，進一步縮短行車間隔，動態(tài)編組逐漸成為研究熱點之一[4-5]。

2000年左右，歐洲學者提出使用無線通信代替機械連接，將多列車組成編組車隊，可極大地減小行車間隔[6]。這種運行方式可有效提高鐵路運輸能力[7-9]，歐洲鐵路倡議的“Shift2Rail”計劃也將其納入未來軌道交通研究方向。為實現(xiàn)前后列車由絕對制動距離行車狀態(tài)過渡到車-車通信連接的編組狀態(tài)，后行列車需在運行過程中動態(tài)地加入編組車隊[10-11]，這個過程稱之為動態(tài)編組[12]。實現(xiàn)動態(tài)編組的關鍵是對行車間隔的合理控制。FELEZ等[13]提出了一種基于模型預測思想的列車低間隔追蹤控制方法，在保證安全的同時大大降低了行車間距；ZHU等[14]將自適應控制方法作為一種誤差修正方案來削弱外部擾動對行車間隔控制的影響。以上對于行車間隔控制的研究是以解決單個問題為目標，但動態(tài)編組控制的理想目標是在保證編組精確性的前提下，降低列車牽引能耗，并且可以有效應對外界因素的干擾，故動態(tài)編組是一個多目標控制過程。

列車速度曲線優(yōu)化是一種實現(xiàn)列車多目標控制的有效方法[15]。褚心童等[16]使用蟻群算法實現(xiàn)了快速收斂的ATO曲線優(yōu)化，該方法計算效率高，但對運行速度和列車工況做了離散化處理，對列車運行模型建立得不夠精確，很難達到最優(yōu)的優(yōu)化效果；王攀琦等[17-19]將二次規(guī)劃算法和模型預測控制方法相結合，實現(xiàn)了鐵路列車和公路汽車運行曲線的在線優(yōu)化，該方法對列車運行模型描述精確、計算效率較高，但由于模型預測方法的預測時域范圍有限，不能對動態(tài)編組全局過程實現(xiàn)優(yōu)化控制；MIYATAKE等[20]比較了幾種全局優(yōu)化控制方法的優(yōu)劣，其中，動態(tài)規(guī)劃方法優(yōu)化效果較好，但計算效率過低，只適合于離線優(yōu)化；二次規(guī)劃方法在計算效率和模型建立的復雜度之間取得了較好的平衡。綜上所述，精確建立列車運行模型和提高計算效率是列車曲線優(yōu)化的關鍵，并且模型建立的精確性將會影響控制效果。

動態(tài)編組是對控制效果和計算效率都有較高要求的控制過程。對于一般優(yōu)化方法，模型建立過于細節(jié)化將會降低求解時的計算效率，從而不能實現(xiàn)在線控制[21]。為此，以離線速度曲線計算和在線最優(yōu)控制相結合為基礎，提出一種基于動態(tài)規(guī)劃-序列二次規(guī)劃的列車動態(tài)編組優(yōu)化控制方法。

1 動態(tài)編組過程

圖1 動態(tài)編組場景

完成動態(tài)編組后，兩車保持低間隔的編組運行狀態(tài)。前后列車通過車-車通信交換各自的位置、速度和加速度等運動參數(shù)，前車根據(jù)地面發(fā)送的行車許可運行，后車跟隨前車的狀態(tài)行車，與前車采用同步的速度、加速度，來維持兩車間隔在一定范圍內。

2 動態(tài)編組數(shù)學模型

動態(tài)編組數(shù)學模型的建立是使用優(yōu)化方法實現(xiàn)編組控制的前提。首先，建立列車動力學方程，描述列車的運動狀態(tài)；然后，對列車牽引能耗和精確編組建立方程，以便優(yōu)化方法目標函數(shù)的建立。

2.1 動力學方程

采用基于縱向的列車動力學方程對動態(tài)編組列車的運動狀態(tài)進行描述。將列車看作一個具有驅動/制動系統(tǒng)且受到空氣阻力、坡道阻力、曲線阻力的單質點[22]。列車所受合力表示為

F(u，v)=u-Fb(v)-Fα-FR

(1)

其中，F(xiàn)b(v)=C0+C1v+C2v2；Fα=Mgα；FR=ηM/R。

式中，F(xiàn)(u，v)為列車所受合力；v為列車速度；u為列車控制驅動力/制動力，是與列車運行方向相同/相反的控制力；Fb為空氣阻力；Fα為坡道阻力；FR為列車曲線阻力；C0、C1、C2分別為列車的空氣阻力相關系數(shù)，是依賴于列車特性的參數(shù)；M為列車質量；α為軌道坡度；η為曲線阻力相關系數(shù)；R為線路半徑。

由于受列車輸出功率和加速度的限制，驅動/制動力uk受以下約束

-Mab≤F(u，v)≤Mad

(2)

-Pb≤uv≤Pd

(3)

式中，ad為最大輸出驅動加速度；ab為最大輸出制動加速度；Pd為最大驅動功率；Pb為最大制動功率，在該模型中ad、ab、Pd、Pb恒定。定義上述約束為u∈U。

2.2 能量消耗方程

在動態(tài)編組時列車克服阻力和提升速度所消耗的能量為列車牽引能耗，能耗方程的建立是實現(xiàn)低能量消耗目標的基礎。根據(jù)能量守恒定理建立能耗方程，即

(4)

P(t)=F(t)v(t)

(5)

式中，e為列車總牽引能耗，表示為功率對時間的積分；T為總編組時間；P為列車的瞬時輸出功率；u為列車的牽引力。文中忽略了能量在列車傳動系統(tǒng)中的損失，并且假設列車不能回收制動能量，所以當列車主動制動時牽引能量消耗為零。

2.3 精確編組方程

在動態(tài)編組結束時刻，前后列車需達到理想的編組間隔，以實現(xiàn)精確編組的目標。精確編組方程的建立可以幫助判斷列車是否達到精確編組狀態(tài)。建立方程如下

serror=sf-sdes

(6)

sdes=sp+sinter-svcm

(7)

式中，serror為編組誤差，是編組過程后車實際運行距離sf和目標運行距離sdes之間的差值， 在動態(tài)編組結束時刻中，編組誤差越小，表示后車的行車距離越接近目標距離，越能達到精確編組目標。目標運行距離是列車在編組過程中理想的運行距離，計算如式(7)所示，sp為編組過程前車的總運行距離；sinter為編組開始時刻兩車間距；svcm為理想的編組間隔。

3 動態(tài)規(guī)劃-序列二次規(guī)劃控制方法

動態(tài)規(guī)劃算法具有模型描述精確、優(yōu)化結果質量高的優(yōu)點，但由于計算效率較低，只能用于離線計算。序列二次規(guī)劃算法計算時間短，但對于初始解異常敏感，在無法獲得良好初始解的情況下，該方法的優(yōu)化控制效果較差。將兩種算法結合，離線狀態(tài)下使用動態(tài)規(guī)劃算法獲得最優(yōu)速度曲線，將離線結果作為初始解，使用序列二次規(guī)劃在線求解最優(yōu)控制策略。

3.1 離線動態(tài)規(guī)劃編組曲線計算

首先，對編組時間進行階段劃分，將列車動態(tài)編組控制問題轉化為多階段最優(yōu)化決策問題；然后，將子區(qū)間速度作離散化處理，結合動力學模型獲得用于連接各子區(qū)間離散速度值的狀態(tài)轉移方程；最后，建立目標函數(shù)和約束條件，利用動態(tài)規(guī)劃的無后效性原理進行求解，獲得最優(yōu)速度曲線。

(1)編組時間階段劃分：在時間維度下，可以監(jiān)督前后列車在同一時刻下的位置關系，保障運行安全，因此，本文選擇時間劃分方法。編組過程總用時為編組時間，根據(jù)前車在編組區(qū)間的速度曲線獲取編組時間。假設前車速度距離曲線已知，且前車可以按照該曲線行車。將編組區(qū)間等距離劃分成n段，獲取在每段開始和結束時的前車速度，通過速度時間積分關系，結合歷史運行數(shù)據(jù)計算前車在各段中的運行時間Δtk(k=1，2，…，n)。按照每個子區(qū)間時間長度為Δtk的規(guī)則對編組時間進行階段劃分。定義各子區(qū)間的開始時刻為驅動力/制動力決策階段，各決策階段控制力組成的操作序列即列車動態(tài)編組的控制策略。

以時間劃分編組過程后，在時間子區(qū)間內的列車位置將不能確定，因此，不能確切得知列車所處的線路坡度、曲率半徑和限速等線路信息。但鑒于編組過程時間較短，假設整個編組區(qū)間的坡度曲率和限速值已知且恒定。

(2)速度離散化：為提高求解效率，降低搜索空間，對各決策階段的允許速度作離散化處理，如圖2所示。其中，最大限制速度是線路限速，最小限制速度為前車速度。將前車速度作為最小速度限制是為保證后車始終快于前車，以實現(xiàn)在編組結束時刻兩車間隔達到最小，避免在編組過程中由于兩車間隔過小引發(fā)追尾事故。

圖2 離散允許速度

圖2中tstart和tend分別為編組開始時刻和結束時刻，兩者之差即編組時間；Δtk為各子區(qū)間的時間長度；vlimit為線路限制速度；vp為前車速度。圖中圓點表示離散化的速度值，其中，實心圓點表示允許速度值。速度的離散化精度將影響計算復雜度，具體精度選擇將在后文介紹。

(3)不同速度下的狀態(tài)轉移：列車狀態(tài)轉移關系表達了單個子區(qū)間開始速度、終點速度、驅動力/制動力和運行時間之間的關系。假設在單個子區(qū)間內的驅動力/制動力恒定，在列車動力學模型的基礎上結合復合梯形公式，得到狀態(tài)轉移滿足以下關系

(8)

其中

(9)

式(8)表示在不同驅動力/制動力u下從vk轉移到vk+1的時間消耗為Δtk，F(xiàn)為列車所受到的合力，由式(1)計算獲得。式(9)表示將單個子區(qū)間的速度變化等分成l份，這種方式提高了狀態(tài)轉移描述的精確程度。

子區(qū)間的初始速度和終點速度決定了決策階段應采用的控制力大小和子區(qū)間的運行距離。根據(jù)式(10)和式(11)獲得vk到vk+1狀態(tài)轉移下的控制力uk和運行距離Δsk。

uk(vk，vk+1)=

(10)

(11)

(4)目標函數(shù)約束條件建立：目標函數(shù)是衡量控制策略優(yōu)劣的數(shù)量指標。根據(jù)動態(tài)編組的目標要求建立目標函數(shù)如下

(12)

其中

gk(vk，vk+1)=ek(vk，vk+1)+λΔsk(vk，vk+1)

(13)

ek(vk，vk+1)=

(14)

式(12)表示編組過程能量消耗和運行距離的指標函數(shù)，也是動態(tài)規(guī)劃算法求解時的目標函數(shù)。gk表示第k個子區(qū)間的階段指標，式(13)中λ為關系系數(shù)，用于在迭代計算中調整總能耗和總運行距離的大小關系。ek表示列車在k子區(qū)間由vk遷移到vk+1的能量消耗，為獲得更加精確的能耗，當速度vk、vk+1不等時，將單個子區(qū)間按照速度變化劃分，根據(jù)能耗模型獲得該區(qū)間的能耗值。

(15)

式(15)表示運行距離應被約束在目標距離的誤差允許范圍內，用于驗證動態(tài)規(guī)劃計算結果是否滿足精確編組目標，其中，svar為允許的編組誤差最大值。因為單個區(qū)間運行距離的改變將會對整體編組精度產(chǎn)生影響，而動態(tài)規(guī)劃算法的使用前提為無后效性，故將運行距離作為驗證目標可以方便問題的求解。在編組結束時刻，若列車狀態(tài)滿足式(15)的約束，則稱之為精確編組。

建立約束條件

uk=uk(vk，vk+1)

(16)

(17)

uk∈U

(18)

(19)

其中，?k=1，2，…n，n+1。

式(16)是狀態(tài)轉移約束，表示子區(qū)間內不同速度變化與驅動力/制動力的關系；式(17)是速度約束；式(18)是驅動力/制動力約束；式(19)是速度終端約束，表示編組結束時刻前后列車速度應保持相同。

(5)動態(tài)規(guī)劃求解：動態(tài)規(guī)劃的求解方法核心是將原問題轉化為一系列單一問題，使用動態(tài)規(guī)劃順推解法求解，遞推方程如下

fk(vk+1)=min{fk-1(vk)+gk(vk，vk+1)}，

vk∈V，f0=0

(20)

其中，fk(vk+1)為第k子區(qū)間的終點速度為vk+1時，從編組開始到第k個決策階段的指標最優(yōu)總值；V為第k子區(qū)間開始速度的可取范圍。

列車若按照理想速度控制行車，則可以在規(guī)定區(qū)間內完成編組任務。但在實際運行過程中，由于存在外界干擾等不確定因素，列車的實際運行曲線可能與理想速度曲線產(chǎn)生偏差，繼續(xù)按照離線行車策略控制列車將不能完成動態(tài)編組，甚至發(fā)生追尾的危險，需對編組過程進行在線實時控制來糾正偏差。但動態(tài)規(guī)劃方法對模型建立精確、求解過程迭代次數(shù)多，導致計算時間長，因此，使用動態(tài)規(guī)劃方法實現(xiàn)在線實時控制是不可行的。

3.2 序列二次規(guī)劃在線最優(yōu)編組控制

序列二次規(guī)劃(SQP)在線控制方法用于列車處于偏離狀態(tài)時的動態(tài)編組控制。在列車編組過程中，當實際速度與理想速度的偏差超過某臨界值時，即為偏離狀態(tài)。SQP在線控制的實現(xiàn)步驟如下：首先，在監(jiān)測到偏離狀態(tài)的時刻，列車計算剩余編組時間，使用與離線動態(tài)規(guī)劃相同的劃分規(guī)則對剩余編組時間進行階段劃分；然后，通過車-車通信獲得前車的位置、速度等數(shù)據(jù)，計算兩車當前位置間隔，并建立動態(tài)編組最優(yōu)化問題；最后，使用SQP算法求解最優(yōu)控制策略實現(xiàn)在線控制。

在線控制的目標是糾正外界干擾帶來的速度偏離，以保證在編組結束時刻列車間距離接近理想間隔，并最小化能量消耗。優(yōu)化問題描述如下。

目標函數(shù)

(21)

約束條件

uk=uk(vk，vk+1)

(22)

(23)

uk∈U

(24)

(25)

(26)

其中，?k=x，x+1，…,n，n+1；fn為編組過程的指標函數(shù)，由運行距離指標和能耗指標兩部分組成；γ為兩部分大小關系的系數(shù)；x為列車所處的決策階段。式(21)為目標函數(shù)，由兩部分組成，第一部分表示前后兩車在剩余編組時間的運行距離差與第x決策時刻的協(xié)調距離scd，x的差值，在優(yōu)化算法中通過調整該差值調整后車運行距離，以糾正速度偏差提高抗干擾性能；第二部分表示后車的牽引能耗，其中，ek為單個子區(qū)間的能耗值。式(22)是狀態(tài)轉移約束；式(23)為速度約束；式(24)是驅動力/制動力約束；式(25)是速度終端約束；式(26)是初始解約束，以動態(tài)規(guī)劃求解的離線最優(yōu)解作為優(yōu)化計算過程的初始解，可提高求解速度。

為進一步縮短最優(yōu)化問題的求解時間，對狀態(tài)轉移約束和能量消耗計算方法作適當?shù)暮喕幚恚簩蝹€子區(qū)間的列車行駛處理成勻變速或勻速運動，狀態(tài)轉移約束式(22)更改為式(27)；采用能量守恒定理計算式(21)中的列車能量消耗ek，如式(28)。

(27)

式(28)中，e(vk+1)為子區(qū)間結束時刻的列車動能；e(vk)為子區(qū)間開始時刻的列車動能；Ek為克服空氣阻力和線路阻力的能量?？紤]到列車制動時能耗計算結果可能為負數(shù)，表示列車回收了制動能量，為與動態(tài)規(guī)劃算法統(tǒng)一，此時的能耗置零。

編組控制問題被轉換成非線性最優(yōu)化問題，使用SQP算法求解獲得剩余編組時間內的最優(yōu)速度曲線和控制策略。在發(fā)生偏離后的每個決策階段使用上述快速SQP算法，則可實現(xiàn)動態(tài)編組的在線控制過程。在仿真實驗中使用MATLAB中的非線性SQP工具求解該最優(yōu)化問題。

4 仿真驗證

選取實際鐵路線路作為動態(tài)編組場景，該場景包括待編組的兩輛列車，前車按照移動閉塞方式行車，后車使用本文的控制方法執(zhí)行動態(tài)編組。該場景下的環(huán)境參數(shù)如下：編組區(qū)間長2 000 m，限制速度25 m/s，坡度為+1‰，曲線半徑1 000 m。仿真實驗中設定編組開始時刻兩車間距為400 m，理想的編組距離為50 m，在編組區(qū)間內，前車速度恒定為20 m/s。

4.1 動態(tài)規(guī)劃方法性能分析

離線動態(tài)規(guī)劃算法的計算復雜度取決于速度離散化精度。離散化精度越高，對列車運行狀態(tài)的描述越準確，從而獲得的控制策略越接近最優(yōu)結果，但計算復雜度和計算時間也會隨之增加。為平衡運算時間和列車狀態(tài)描述準確性，經(jīng)過多次不同精度的測試，最終確定選擇0.1 m/s作為速度的離散化精度。

編組精確性一般采用編組誤差來衡量。編組誤差是指理想編組間隔和編組結束時刻實際列車間隔的差值，編組誤差越小表示編組精確性越高。該實驗下設定允許編組誤差最大值為5 m。在離線狀態(tài)下，使用動態(tài)規(guī)劃方法為后車計算編組曲線，通過二分法尋找最優(yōu)的關系系數(shù)λ及其對應的最優(yōu)化速度曲線。表1為在迭代過程中不同λ對應的運行距離、編組誤差和總運算時間結果，圖3為部分迭代過程的后車速度時間曲線。從表1和圖3可以得到，經(jīng)過7次迭代計算，尋找到允許編組誤差內的最優(yōu)結果。在最優(yōu)速度曲線控制下，后車運行距離為2 353 m，編組誤差為3 m，達到了精確編組目的。

表1 動態(tài)編組過程離線動態(tài)規(guī)劃計算結果

圖3 動態(tài)規(guī)劃迭代過程的后車速度曲線

在能耗性能方面，經(jīng)過多次仿真實驗，獲得行車距離和最優(yōu)能耗之間的關系如圖4所示。在滿足動態(tài)編組最優(yōu)目標的前提下，后車的行車距離和能量消耗呈現(xiàn)正相關關系。在編組誤差允許范圍內，運行距離越小，能量消耗越低。通過控制式(13)目標函數(shù)中的系數(shù)λ可以調整運行距離到編組誤差允許范圍內。

圖4 行車距離和最低能耗關系

為進一步證明動態(tài)規(guī)劃方法的有效性，在離線狀態(tài)下，將其與普通的SQP方法和快速SQP方法作對比。其中，普通SQP優(yōu)化方法未使用離線速度結果作為初始解，而快速SQP方法使用了動態(tài)規(guī)劃計算的速度值作為初始解。在同樣的仿真場景下，列車分別按照3種方法控制列車運行，得到仿真結果如圖5和表2所示。

圖5 離線狀態(tài)不同控制方法的列車速度曲線

表2 離線狀態(tài)下DP、SQP算法性能

圖5描繪了離線狀態(tài)不同控制方法下的后車速度曲線，結果顯示3種方法下的列車在編組結束時刻都達到了與前車相同的速度。其中，離線DP和普通SQP曲線基本重疊，且較平滑，而快速SQP方法由于迭代次數(shù)少的原因，在20～80s期間曲線有明顯的起伏波動。表2比較了不同控制方法下的編組性能和計算時間，其中，普通SQP方法在能耗和編組誤差方面與動態(tài)規(guī)劃方法基本相同，但由于沒有選擇合適的初始解，成功收斂到最優(yōu)結果的概率只有70%；快速SQP方法下列車能耗達到34.648 3 kW·h，而動態(tài)規(guī)劃方法的列車能耗為32.702 8 kW·h，能耗降低5.6%，節(jié)能效果明顯；快速SQP方法下的編組誤差為25 m，超過允許誤差的最大值?？焖賁QP方法雖然在能耗和編組精確性方面有所欠缺，但平均計算時間保持在1 s之內，計算速度快，并且由于初始解的正確選擇保證了成功收斂的概率。

4.2 序列二次規(guī)劃在線控制方法性能分析

計算效率是實現(xiàn)在線控制的重要指標，本文使用模型的合理簡化和將離線結果作為初始解的方法，實現(xiàn)了全局優(yōu)化問題的快速收斂。圖6比較了快速SQP方法和普通SQP算法下的收斂情況。

圖6 SQP算法收斂情況

結果顯示，普通SQP算法在迭代25次左右收斂到最優(yōu)結果，而在線SQP算法經(jīng)過12次迭代收斂到最優(yōu)結果，算法的計算效率有明顯提高。

SQP在線控制即在每個決策階段都執(zhí)行一次快速SQP算法來實時控制列車的方法，這種控制方式不僅彌補了快速SQP算法在編組誤差方面的缺陷，還解決了外界干擾帶來的速度偏離問題。

為說明在線SQP控制方法具有良好的抗干擾效果，設計仿真實驗：在35 s時刻設置干擾，使列車實際運行速度與理想的編組速度產(chǎn)生偏離；然后，使用在線SQP方法和離線DP方法分別控制列車，得到運行曲線如圖7所示。

圖7 干擾條件下不同控制方法的速度曲線

圖7描繪了發(fā)生速度偏離后兩種控制方法下的后車運行曲線。在發(fā)生偏離后，若繼續(xù)使用離線動態(tài)規(guī)劃控制策略控制列車，列車的運行曲線不會回歸到理想的編組曲線，并且在編組結束時刻，速度與目標要求速度相差很大。若使用在線SQP方法控制列車，列車將會立刻調整控制策略，實際運行曲線回歸到理想曲線附近，且在結束時刻速度與前車速度相同。

通過圖8可以進一步說明在線SQP控制策略的有效性，圖8描繪了編組過程中前后列車間距的變化。發(fā)生偏離后，動態(tài)規(guī)劃方法控制下，由于后車速度過低，實際間隔與理想間隔差距逐漸拉大，導致在結束時刻兩車間距為120 m左右，不滿足50 m的理想編組間隔要求；而在線SQP控制下的列車對外界干擾可以作出有效反應，在結束時刻間隔達到50 m左右，達到精確編組的目標。

圖8 干擾條件下不同控制方法的列車間隔

5 結論

針對動態(tài)編組多目標控制問題，提出一種優(yōu)化控制方法。該方法將動態(tài)規(guī)劃算法和序列二次規(guī)劃算法相結合，在保證滿足多目標控制需求的同時，提高了收斂速度，實現(xiàn)了列車動態(tài)編組過程的在線控制。在理想狀態(tài)下，所提出的動態(tài)規(guī)劃方法在能耗方面較其他有效的優(yōu)化方法降低了5.6%，在編組精確性方面也具有明顯優(yōu)勢；將動態(tài)規(guī)劃結果作為初始解后，提高了SQP算法成功收斂到最優(yōu)結果的概率，并且將計算時間降低至1 s以內，極大提高了計算效率。在有外界干擾的編組過程中，所提出的在線控制方法以快速SQP算法為基礎，平衡了計算效率和優(yōu)化結果的質量，實現(xiàn)實時計算最優(yōu)控制策略控制列車，糾正了干擾產(chǎn)生的速度偏離。結果驗證了本文方法在動態(tài)編組多目標優(yōu)化控制過程中的有效性。