星狀河渠網(wǎng)絡中非穩(wěn)定流的精確邊界能控性

史 琨,于立新

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院, 山東 煙臺 264005)

1 引言及預備知識

考慮如下一階擬線性雙曲型方程組

(1)

其中u=(u1,…,un)T是關于(t,x)的未知向量函數(shù),A(u)是一個n×n的矩陣,并且?guī)в泄饣梐ij(u) (i,j=1,…,n),且F(u)滿足

F(0)=0。

(2)

由雙曲型的定義, 在所考慮的區(qū)域上, 對任意給定的u,A(u)有n個實特征值λ1(u),…,λn(u), 滿足

λr(u)<0<λs(u) (r=1,…,m;s=m+1,…,n),

(3)

且具有一組線性無關的左特征向量li(u)=(li1(u),…,lin(u))(i=1,…,n)即

li(u)A(u)=λi(u)li(u),det|lij(u)|≠0。

(4)

設vi=li(u)u,vi被稱為第i個特征值所對應的對角變量。

給定邊界條件

x=0:vs=Gs(t,v1,…,vm)+Hs(t)(s=m+1,…,n),

(5)

x=L:vr=Gr(t,vm+1,…,vn)+Hr(t)(r=1,…,m),

(6)

其中Gi和Hi(i=1,…,n)是關于其變量的適當光滑的函數(shù),不失一般性,假設

Gi(t,0,…,0)≡0(i=1,…,n)。

(7)

給定初始條件

t=0:u=φ(x),0≤x≤L。

(8)

為了保證精確邊界能控性,需要在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上有一個經(jīng)典解,這里T>0可能是一個適當大的數(shù)。這種經(jīng)典解被稱為半整體經(jīng)典解,它不同于整體經(jīng)典解,也不同于局部經(jīng)典解。為了后續(xù)的證明,引入如下兩個引理。

引理1[2]假設lij,λi,fi,Gi,Hi(i,j=1,…,n)和φ關于其變量都是C1函數(shù)。進一步假設式(2)—(4)和(7)成立, 且在點(t,x)=(0,0)和(0,L)處分別滿足C1相容性條件。 則對于任意給定T0>0, 混合初邊值問題(1),(5),(6)和(8)在區(qū)域R(T0)={(t,x)|0≤t≤T0,0≤x≤L}上存在唯一的半整體C1解u=u(t,x),其C1模充分小,只要||φ||C1[0,L]和||H||C1[0,T0]足夠的小(依賴于T0)。

t=T:u=Φ(x), 0≤x≤L。

(9)

在實際生活中, 很多問題可以轉化為數(shù)學中的擬線性雙曲型方程問題,例如, 石油運輸管道、河渠模型中的能控性問題。 最初, CIRIN[1-2]考慮了帶有線性邊界條件的擬線性雙曲型方程組的精確邊界能控性問題,之后, 文獻[3-5]對具有一般非線性邊界條件的一階擬線性雙曲型方程組的精確邊界能控性建立了完備的理論。 基于此理論, 文獻[6-8]實現(xiàn)了波動方程的精確邊界能控。 同時, LI[5,9]和GU等[10]得到星狀河渠網(wǎng)絡的精確邊界能控性結果。

在對于星狀河渠網(wǎng)絡中Saint-Venant方程組能控性研究的過程中, LI[5,9]對于n條河渠構成的星狀河渠網(wǎng)絡的能控性結果主要分為兩種情況:其一, 實現(xiàn)了n個控制全部施加在簡單結點處的能控性;其二, 受制于復結點處的邊界條件, 實現(xiàn)了在復結點處施加一個控制, 其余n-1個控制施加在簡單結點處的能控性。 文獻[10]將LI[5]的第二種情況推廣, 實現(xiàn)了在n條河渠構成的星狀河渠網(wǎng)絡中, 僅在n-1個簡單結點處施加控制的能控性,而在實際應用中, 某些情況下全部簡單結點或部分簡單結點不可施加控制。本文首先改變原先在復結點處的邊界條件, 使得邊界條件更為一般化, 從而控制不再受限, 且改變后的邊界條件仍可被等價改寫為一般的非線性邊界條件, 在下文第2部分有詳細證明。 本文中, 首先得到了將n個控制全部施加在復結點的能控性結果。 其次, 對于文獻[5]中的第二種能控性和文獻[10]中的能控性, 本文分別將其推廣, 在相同控制數(shù)量和控制時間的情況下, 施加在復結點與簡單結點的控制數(shù)量可以任意分配, 依然可以實現(xiàn)河渠網(wǎng)絡的能控。

本文安排如下: 第2部分得到關于具有一般邊界條件的Saint-Venant方程組的半整體C1解的存在唯一性，第3部分給出了關于星狀河渠網(wǎng)絡僅在復結點處施加控制和在復結點與部分簡單結點任意分配控制的精確邊界能控性結果。

2 混合初邊值問題的半整體C1解

考慮Saint-Venant方程組

(10)

初始條件

t=0:(Ai,Vi)=(Ai0(x),Vi0(x)),0≤x≤Li,i=1,…,n,

(11)

當x=Li是簡單結點時,給定邊界條件

x=Li:AiVi=qi(t),

(12)

當x=0是復結點時,給定邊界條件

(13)

Sk=S1(k=2,…,m),

(14)

Aj=aj(t)(j=m+1,…,n)。

(15)

若

(16)

則稱平衡狀態(tài)(Ai,Vi)=(Ai0,Vi0)(i=1,…,n)是亞臨界的。

在亞臨界的平衡狀態(tài)(Ai,Vi)=(Ai0,Vi0)(i=1,…,n)處, 邊界條件(13)和(14)滿足

(17)

和

(18)

根據(jù)文獻[3]中對于混合初邊值問題的半整體C1解相關理論, 有如下定理:

(19)

引入黎曼不變量ri和si, 其中

(20)

這里

由式(20), 可得到

(21)

將(ri,si)(i=1,…,n)作為新的未知量, 則平衡態(tài)(Ai,Vi)=(Ai0,Vi0)等價于(ri,si)=(0,0), 方程組(19)能夠被等價地改寫為如下的對角形式

(22)

其中

(23)

同時, 初始條件(11)可以被等價地改寫為

(24)

邊界條件(12)能夠被等價地改寫為

x=1:Pi(t,ri,si)(ri+si+Vi0)Hi(si-ri)-q(t)=0,

(25)

計算易得

由隱函數(shù)存在性定理, 在(ri,si)=(0,0)(i=1,…,n)的某鄰域內邊界條件(25)能夠被等價地改寫為

(26)

fi(t,0)≡0

(27)

和

(28)

由式(21), 在x=0處的邊界條件(13)-(15)可以被等價地改寫為

(29)

則有

(30)

由隱函數(shù)存在性定理, 在(ri,si)=(0,0)(i=1,…,n)的某鄰域內, 邊界條件(29)能夠被等價地改寫為

(31)

gi(t,0)≡0

(32)

和

(33)

注1 當m=n時, 在x=0處的邊界條件(13)—(15)變?yōu)?/p>

Sk=S1(k=2,…,n)。

相應地，式(30)變?yōu)?/p>

注2 當m=1時, 在x=0處的邊界條件(13)—(15)變?yōu)?/p>

(34)

Aj=aj(t)(j=2,…,n)。

(35)

相應地，式(30)變?yōu)?/p>

3 星狀河渠網(wǎng)絡中不穩(wěn)定流的精確邊界能控性

t=T:(Ai,Vi)=(AiT(t,x),ViT(t,x)),0≤x≤Li(i=1,…,n)。

(36)

證明由定理1的證明和注2, 在黎曼不變量下, 方程組(10), 初始條件(11)和邊界條件(12)可被分別等價改寫為式(22), (24)和(26)。

(37)

(38)

和

(39)

由式(21), 終端條件(36)可被等價地改寫為

(40)

注3 LI在文獻[5]中的定理7.6考慮了控制全部施加在簡單結點的能控性。 在控制時間和數(shù)量不變的情況下, 本定理實現(xiàn)控制全部施加在復結點處的能控性。

將解(r1,s1)=(r1(t,x),s1(x,t))代入式(29)中的第二式, 有

對于k=2,…,m,有

由隱函數(shù)的存在性定理, 在(rk,sk)=(0,0)(k=2,…,m)的某鄰域內, 邊界條件(14)能夠被等價地改寫為

(41)

(42)

和

||bk||C1[0,T]<<0,

(43)

另一方面, 對于k=2,…,m,也可得到

由隱函數(shù)存在性定理, 在(rk,sk)=(0,0)(k=2,…,m)的某鄰域內, 邊界條件(14)能夠被等價地改寫為

(44)

(45)

和

(46)

注4 在文獻[5]中的定理7.7證明了當m=n時河渠網(wǎng)絡的精確邊界能控性。 定理3將其推廣, 在控制時間與總量不變的前提下, 控制可以任意分配在復結點或者簡單結點。

以上兩個定理控制的數(shù)量都為n,而文獻[10]在n-1個簡單結點處施加控制, 實現(xiàn)由n條河渠構成的星狀河渠網(wǎng)絡的能控性。 下面我們在保證控制數(shù)量和時間不變的前提下, 證明了在簡單結點與復結點任意分配n-1個控制亦可實現(xiàn)能控性。為后續(xù)定理的證明引入以下引理:

將解(Aj,Vj)=(Aj(t,x),Vj(t,x))(j=m+1,…,n)代入到邊界條件(13), 有

(47)

其中,