非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速特性分析與設(shè)計(jì)

邢慶坤，林 超，喻永權(quán)

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.中國(guó)北方車(chē)輛研究所，北京 100072)

自齒輪副提出以來(lái)，諸多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪副的齒形設(shè)計(jì)、仿真加工和嚙合特性等進(jìn)行了分析，梁成成等[1]通過(guò)分析成型輪的數(shù)學(xué)模型，分別推導(dǎo)了成形法和展成法的輪齒齒面數(shù)學(xué)模型,建立了齒輪精確化建模流程。李帥等[2]和陳曦等[3]則從重合度的角度對(duì)齒輪副進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,分析了重合度對(duì)齒輪副嚙合特性和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合性能的影響規(guī)律。宋朝省等[4]則從彎曲應(yīng)力的角度分析了安裝誤差對(duì)齒根彎曲特性的影響規(guī)律。隨著齒輪副的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，相關(guān)學(xué)者又提出了非圓齒輪的傳動(dòng)形式，以進(jìn)一步擴(kuò)大齒輪副的應(yīng)用范圍。但非圓齒輪的速比特性和輪齒加工等又不同于常規(guī)圓柱齒輪[5-7]，對(duì)于非圓齒輪的節(jié)曲線設(shè)計(jì)， Bair等[8]和Li等[9]以齒輪嚙合原理為基礎(chǔ)，分別結(jié)合Jarvis步進(jìn)算法和傅里葉級(jí)數(shù)等相關(guān)理論，從不同的角度建立了非圓齒輪節(jié)曲線的時(shí)變級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)模型，能夠根據(jù)給定的參數(shù)進(jìn)行一定程度的通用化設(shè)計(jì)，具有一定的精度和通用性。童婷等[10]和Qiu等[11]則探討了非圓齒輪封閉節(jié)曲線的設(shè)計(jì)方法，解決了具有內(nèi)凹節(jié)曲線的非圓齒輪齒廓求解難題。李建剛等[12-14]和Li等[15]則基于齒面離散的思想，提出了一種非圓齒面離散坐標(biāo)點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算方法，同時(shí)對(duì)非圓齒輪輪齒根切和齒頂變尖進(jìn)行了初步探索，建立了輪齒根切的理論判定方程，給出了輪齒根切的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

由于非圓齒輪的節(jié)曲線為任意曲線，因此其運(yùn)動(dòng)特性也與常規(guī)圓柱齒輪副不同。Penaud等[16]和Talpasanu等[17]分別基于復(fù)雜齒輪機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖和關(guān)聯(lián)矩陣?yán)碚摚⒘朔菆A齒輪及其與桿機(jī)構(gòu)的組合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法。林超等[18]針對(duì)現(xiàn)有的間歇轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)性能的缺陷，提出一種新型非圓齒輪型間歇轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，并從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度對(duì)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)性能進(jìn)行了分析。楊存等[19]通過(guò)對(duì)非圓齒輪嚙合傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)態(tài)特性的分析，不僅可以解決設(shè)計(jì)上的問(wèn)題,而且還可以對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，消除或減少構(gòu)件所產(chǎn)生的慣性力，減輕機(jī)械振動(dòng)，降低噪聲污染，提高整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的工作性能和使用壽命等，為設(shè)計(jì)研發(fā)非圓齒輪提供一種可靠有效的研究方法。

上述研究主要集中在非圓齒輪的理論設(shè)計(jì)及參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)特性的影響，相關(guān)應(yīng)用研究較少。筆者以非圓齒輪的速比特性為基礎(chǔ)，針對(duì)車(chē)輛中常用的帶式無(wú)級(jí)變速機(jī)構(gòu)的承載能力有限、傳動(dòng)精度不高等不足設(shè)計(jì)了全齒輪嚙合形式的非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)，擴(kuò)大了非圓齒輪和無(wú)級(jí)變速機(jī)構(gòu)的應(yīng)用范圍?；诠?jié)曲線封閉性，采用多段線構(gòu)造法，提出了非圓齒輪節(jié)曲線的反求設(shè)計(jì)方法；建立了無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)分支數(shù)、非圓齒輪速比范圍和轉(zhuǎn)角范圍間的匹配關(guān)系，并通過(guò)ADAMS仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了非圓齒輪和無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的正確性。

1 無(wú)級(jí)調(diào)速原理

如圖1所示，在非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)中主要包含兩部分：非圓齒輪時(shí)變速比產(chǎn)生部分和行星速比整合部分。在圖1(a)中，鎖緊機(jī)構(gòu)在改變非圓齒輪副1和2的相位角的同時(shí)還實(shí)現(xiàn)輸入轉(zhuǎn)速的分流，將輸入轉(zhuǎn)速分別傳遞到非圓齒輪副1和2；由于非圓齒輪副1和2處于不同的相位角，根據(jù)圖1(b)得到非圓齒輪的速比與相位角具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，此時(shí)圖1(a)中兩非圓齒輪副輸出轉(zhuǎn)速不同，由此可以在速比整合部分通過(guò)差動(dòng)輪系進(jìn)行速度整合，最終由選擇輸出機(jī)構(gòu)中的選擇部分對(duì)整合后的速度分支進(jìn)行輸出，得到需要的連續(xù)調(diào)速輸出。圖1(b)中，a為非圓齒輪長(zhǎng)軸半徑參數(shù)，e為非圓齒輪偏心率，n為非圓齒輪階數(shù)，從圖1(b)中可知，非圓齒輪的速比具有隨參數(shù)變化的時(shí)變性，半徑參數(shù)a主要影響速比的最大最小值：具體表現(xiàn)為隨著半徑參數(shù)a的增大，速比最大值增大、最小值減??；偏心率e主要影響最大最小值間的差值，偏心率越大，最大值越大、最小值越?。浑A數(shù)n主要影響非圓齒輪副速比周期數(shù)，階數(shù)越大，速比周期越大，變化越快。由于非圓齒輪始終具有時(shí)變的速比，因此其不能直接作為無(wú)級(jí)變速機(jī)構(gòu)進(jìn)行使用。結(jié)合圖1(a)，輸入轉(zhuǎn)速通過(guò)鎖緊機(jī)構(gòu)一分為二分別輸入到非圓齒輪副①和②，對(duì)非圓齒輪副①和②設(shè)置不同的相位角即可得到具有相位差的時(shí)變輸出轉(zhuǎn)速；兩組非圓齒輪副的輸出轉(zhuǎn)速分別作為速比整合部分的③和④的輸入轉(zhuǎn)速，通過(guò)差動(dòng)輪系將兩個(gè)輸入轉(zhuǎn)速合成為一個(gè)確定的輸出轉(zhuǎn)速，而不同相位角下兩組非圓齒輪副①和②的輸出速比也具有不同的相位差，最終通過(guò)選擇齒輪副⑤進(jìn)行輸出選擇，在輸入轉(zhuǎn)速不變的前提下實(shí)現(xiàn)輸出轉(zhuǎn)速的無(wú)級(jí)變速。

圖1 非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)傳動(dòng)原理Fig.1 Continuously variable transmission mechanism with non-circular gear pair

1.1 非圓齒輪副節(jié)曲線設(shè)計(jì)

根據(jù)圖1中所示非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)關(guān)系可知，作為時(shí)變速比發(fā)生部分，無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)中非圓齒輪副的工作段速比函數(shù)需為一次函數(shù)形式；根據(jù)高階函數(shù)對(duì)低階函數(shù)的包含性，非圓齒輪副對(duì)應(yīng)的過(guò)渡段速比函數(shù)可以采用傅里葉級(jí)數(shù)或多項(xiàng)式進(jìn)行構(gòu)造[20],以偏心非圓齒輪為研究對(duì)象，采用多項(xiàng)式構(gòu)造非圓齒輪副過(guò)渡段速比函數(shù)，得到非圓齒輪副周期性速比函數(shù)如式(1)所示。

(1)

式中：X為非圓齒輪工作段轉(zhuǎn)角，文中設(shè)計(jì)參數(shù)X=4π/3；T=2π。

根據(jù)非圓齒輪的速比特性、節(jié)曲線的封閉性和函數(shù)的包絡(luò)性，可知非圓齒輪過(guò)渡段速比函數(shù)需要通過(guò)6個(gè)邊界條件和1個(gè)封閉條件進(jìn)行確定，如式(2)所示。

(2)

最終得到非圓齒輪副周期性速比函數(shù)為

(3)

1.2 分支匹配設(shè)計(jì)

由無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)的應(yīng)用特性可知，非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)需要在0°～360°范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)連續(xù)整周期的穩(wěn)定輸出速比，而根據(jù)圖1(b)和式(3)有，單對(duì)非圓齒輪副必定會(huì)出現(xiàn)不能滿足傳動(dòng)和速比整合要求的過(guò)渡段。因此必須采用多組非圓齒輪組合的形式，通過(guò)輸出分支的交替選擇實(shí)現(xiàn)恒定速比變換。

根據(jù)圖1(a)建立時(shí)變整合部分簡(jiǎn)化模型如圖2所示。

圖2 速比整合機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型Fig. 2 Simplified model of integration mechanism

結(jié)合圖2所示差速齒輪系的速比等效簡(jiǎn)化模型，可以得到非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)最終輸出速比與非圓齒輪副1和2的輸出速比之間的關(guān)系為

(4)

式中：i1(θ1)和i2(θ2)分別是非圓齒輪副1和2的輸出速比；i1和i2是整合差速齒輪副的兩級(jí)速比；a是整合差速齒輪副太陽(yáng)輪與外圈輪的齒數(shù)比。從式中可以看出非圓齒輪調(diào)速機(jī)構(gòu)的最終輸出速比函數(shù)與各級(jí)齒輪副間的速比函數(shù)有關(guān)。預(yù)設(shè)非圓齒輪的工作段函數(shù)特性如表1所示。

表1 非圓齒輪工作段參數(shù)

根據(jù)式(3)的整周期速比函數(shù)和表1所示非圓齒輪副工作段基本參數(shù)可以得到不同配對(duì)分支單對(duì)非圓齒輪副的整周期速比曲線如圖3所示。

圖3 單對(duì)非圓齒輪副速比Fig. 3 Transmission ratio of non-circular gear pair with different groups

圖3顯示了不同配對(duì)分支數(shù)下的非圓齒輪速比曲線?？梢钥吹絾螌?duì)非圓齒輪整周期速比由兩部分組成：工作段速比和過(guò)渡段速比。由于必須要滿足給定工作段的速比特性，所以過(guò)渡段速比函數(shù)的上下超調(diào)量就不可避免，但其會(huì)隨著配對(duì)組數(shù)和工作段速比函數(shù)進(jìn)行變化。

1.3 非圓齒輪參數(shù)匹配設(shè)計(jì)

由于不同參數(shù)非圓齒輪具有不同的速比特性，同時(shí)對(duì)非圓齒輪的設(shè)計(jì)加工也會(huì)造成不同的影響。所以需要對(duì)非圓齒輪工作段節(jié)曲線函數(shù)可行性進(jìn)行理論分析，根據(jù)非圓齒輪工作段和過(guò)渡段間的速比函數(shù)包含特性，可以得到如圖4所示的非圓齒輪配對(duì)分支數(shù)、工作段轉(zhuǎn)角范圍和工作段速比函數(shù)的相互關(guān)系。

圖4 非圓齒輪分支數(shù)、轉(zhuǎn)角范圍與工作速比函數(shù)的匹配關(guān)系Fig. 4 Matching relationship between the non-circular gear groups, rotation angles and working ratio function

在圖4所示的有序平面上，每一平面代表同一速比函數(shù)。當(dāng)所需工作速比不變時(shí)，非圓齒輪工作段轉(zhuǎn)角范圍的理論分布角隨著配對(duì)非圓齒輪分支數(shù)的增加而減小。虛線將該平面分為3個(gè)部分：1)左下角，節(jié)曲線重合度小于1，這表示該分支數(shù)與轉(zhuǎn)角范圍配對(duì)情況下得到的非圓齒輪節(jié)曲線不完整，對(duì)應(yīng)的整合輸出速比函數(shù)有波動(dòng)，如圖5所示。2)虛線上，節(jié)曲線重合度等于1，這表示此種組數(shù)與轉(zhuǎn)角范圍配對(duì)情況下得到的非圓齒輪節(jié)曲線剛好完整，滿足設(shè)計(jì)要求；但在實(shí)際使用過(guò)程中需要瞬時(shí)切換，不然也會(huì)導(dǎo)致輸出速比函數(shù)有波動(dòng)，在此種切換模式下，齒輪副之間、輪齒之間的負(fù)載變化劇烈，容易引起壽命減少、振動(dòng)沖擊過(guò)大等不利情況。3)右上角，節(jié)曲線重合度大于1，這表示此種組數(shù)與轉(zhuǎn)角范圍配對(duì)情況下得到的非圓齒輪節(jié)曲線有重合或者輸出速比函數(shù)有重合，在此種配對(duì)模式下，首選節(jié)曲線完整設(shè)計(jì)，則輸出速比的重疊部分可以給予相位切換機(jī)構(gòu)足夠的作動(dòng)時(shí)間。相較于情況1和2，情況3不僅滿足了單個(gè)齒輪副的節(jié)曲線完整性，同時(shí)也滿足了無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)的需求，其工作轉(zhuǎn)角具有一定的重合度，為相位切換提供了緩沖空間和時(shí)間，減少了快速切換帶來(lái)的沖擊。

圖5 非圓齒輪節(jié)曲線與參數(shù)關(guān)系Fig. 5 Relationship between non-circular gear pitch curves and parameters

表2為圖4～5中各種情況對(duì)應(yīng)的節(jié)曲線、輸出時(shí)變特性的相互關(guān)系。

表2 非圓齒輪節(jié)曲線與輸出速比關(guān)系

2 仿真驗(yàn)證

2.1 非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)建模

筆者主要對(duì)非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)主體部分輸出速比規(guī)律進(jìn)行仿真，仿真模型主要包含用于動(dòng)力輸入的輸入軸，用于時(shí)變速比生產(chǎn)的非圓齒輪副，用于速比整合的差動(dòng)輪系和作為輸出選擇部分的平行軸齒輪副，如圖6所示。

將圖6所示模型導(dǎo)入ADAMS(automatic dynamic analysis)中，添加相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副，以輸入軸為動(dòng)力輸入，經(jīng)過(guò)非圓齒輪的速比產(chǎn)生和差動(dòng)輪系的速比整合之后得到所需的時(shí)變函數(shù)，最后通過(guò)平行軸輪系選擇對(duì)應(yīng)的工作段分支進(jìn)行時(shí)變輸出(見(jiàn)圖7)。

圖6 非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)實(shí)體模型Fig. 6 Model of continuously variable transmission mechanism with non-circular gear pair

圖7 運(yùn)動(dòng)副添加Fig. 7 Motion joints

2.2 仿真分析

圖8 相位差為0°時(shí)的非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)輸出速比特性Fig. 8 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 0°

圖9 相位差為60°時(shí)的非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)輸出速比特性Fig. 9 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 60°

圖10 相位差為120°時(shí)的非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)輸出速比特性Fig. 10 Output characteristics of continuously variable transmission mechanism with phase difference 120°

對(duì)比圖8～10所示不同相位角下的非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)仿真結(jié)果可知，當(dāng)非圓齒輪副1和2的相位差不變時(shí)，非圓齒輪副1和2均能實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)的一階速比函數(shù)，同時(shí)通過(guò)速比整合部分得到工作段轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定輸出速比；進(jìn)一步對(duì)比圖10(b)～(d)可知，不同非圓齒輪分支的穩(wěn)定輸出速比函數(shù)間具有不同的相位差，經(jīng)過(guò)輸出選擇部分即可實(shí)現(xiàn)連續(xù)、穩(wěn)定的時(shí)變輸出。

3 實(shí) 驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)臺(tái)搭建

為了驗(yàn)證非圓齒輪設(shè)計(jì)的正確性，結(jié)合式(3)對(duì)非圓齒輪的節(jié)曲線微分方程設(shè)定足夠的離散精度進(jìn)行近似求解，通過(guò)計(jì)算每一個(gè)離散步長(zhǎng)下節(jié)曲線對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，得到非圓齒輪節(jié)曲線每一次積分改變的(x,y)坐標(biāo)值，基于VB(visual basic 語(yǔ)言程序設(shè)計(jì))和Solidworks的二次開(kāi)發(fā)，再通過(guò)布爾運(yùn)算最終得到仿真加工的非圓齒輪，并對(duì)非圓齒輪副進(jìn)行安裝，搭建相應(yīng)的試驗(yàn)臺(tái)如圖11所示。

圖11 非圓齒輪臺(tái)架實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig. 11 Experimental platform of non-circular gear pair

輸入電機(jī)將扭矩通過(guò)梅花聯(lián)軸器傳遞給輸入軸，驅(qū)動(dòng)電機(jī)和輸入軸之間安裝輸入轉(zhuǎn)速傳感器，用來(lái)測(cè)定輸入轉(zhuǎn)速。輸入軸帶動(dòng)主動(dòng)非圓齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)非圓齒輪的時(shí)變速比特性產(chǎn)生時(shí)變轉(zhuǎn)速并輸出到輸出轉(zhuǎn)速傳感器進(jìn)行測(cè)量，輸出轉(zhuǎn)速傳感器連接磁粉加載器以保證正確傳動(dòng)所必需的負(fù)載。驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速、扭矩等參數(shù)通過(guò)操作控制臺(tái)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

因?yàn)榉菆A齒輪是無(wú)級(jí)變速機(jī)構(gòu)的理論及設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，所以本次試驗(yàn)主要驗(yàn)證非圓齒輪副分析和設(shè)計(jì)的正確性。給定非圓齒輪副輸入轉(zhuǎn)速262 rad/s,輸出端負(fù)載扭矩200 Nmm，待非圓齒輪副轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn)之后提取輸入輸出轉(zhuǎn)速測(cè)量結(jié)構(gòu)并結(jié)合轉(zhuǎn)速與速比的關(guān)系式i21=ω1/ω2=n1/n2對(duì)輸入輸出轉(zhuǎn)速進(jìn)行二次處理，得到速比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并與MATLAB 的理論結(jié)果相比較，如圖12所示。

圖12 非圓齒輪速比對(duì)比Fig. 12 Comparison of transmission ratios between theoretical and experimental values

從圖12所示實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，該非圓齒輪副的實(shí)驗(yàn)傳動(dòng)比范圍為0.8～1.2，與理論傳動(dòng)比基本相等；輸出轉(zhuǎn)速的誤差最大為6.8%，考慮到非圓齒輪設(shè)計(jì)加工離散精度、安裝誤差和測(cè)量的靈敏度等誤差，該最大誤差在可接受的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

4 結(jié) 論

筆者以非圓齒輪的時(shí)變速比特性結(jié)合工業(yè)實(shí)際，設(shè)計(jì)了具有全齒輪嚙合形式的非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)，擴(kuò)大了非圓齒輪的應(yīng)用范圍，改善了無(wú)級(jí)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的承載能力。結(jié)合高階函數(shù)對(duì)低階函數(shù)的包含性，采用多段線構(gòu)造法建立了非圓齒輪對(duì)給定速比特性函數(shù)的再現(xiàn)反求設(shè)計(jì)方法，并得到了非圓齒輪分支數(shù)、工作段速比函數(shù)和轉(zhuǎn)角范圍等參數(shù)對(duì)節(jié)曲線的影響規(guī)律，從理論上分析了不同參數(shù)非圓齒輪設(shè)計(jì)的可行性，確定了非圓齒輪各參數(shù)的匹配范圍。采用SolidWorks結(jié)合VB建立了非圓齒輪無(wú)級(jí)調(diào)速機(jī)構(gòu)的實(shí)體模型，并導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，得到了不同相位角下不同非圓齒輪分支的時(shí)變速比特性；完成了非圓齒輪的加工與實(shí)驗(yàn)，并與MATLAB的理論結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，得到非圓齒輪副的時(shí)變最大誤差為6.8%，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及分析的正確性，為非圓齒輪的實(shí)際應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。