優(yōu)化活動(dòng)設(shè)計(jì) 增加思維含量
——蘇科版數(shù)學(xué)九（上）“弧長和扇形的面積”教學(xué)設(shè)計(jì)及改進(jìn)

■陳燕軍

教學(xué)設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)應(yīng)放在活動(dòng)設(shè)計(jì)上，以此來引發(fā)學(xué)生深度思考。筆者以蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊“弧長和扇形的面積”教學(xué)設(shè)計(jì)的修正前后比較為例，淺談自己的一些思考。

一、原教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

環(huán)節(jié)1：生活引學(xué)。

在200米短跑比賽中，每位運(yùn)動(dòng)員的起跑位置相同嗎？每位運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際運(yùn)動(dòng)距離相同嗎？

環(huán)節(jié)2：探索弧長計(jì)算公式。

已知⊙O的半徑為2，則圓的周長為___。

180°圓心角所對的弧占整個(gè)周角的___，因此，它所對的弧長是圓周長的___，弧長是___。

提煉總結(jié)：在半徑為R的圓中，弧長l與所對的圓心角度數(shù)n之間的關(guān)系是___。

環(huán)節(jié)3：試探索扇形面積計(jì)算公式。

已知⊙O的半徑為2，則圓的面積為___。180°圓心角的扇形面積占整個(gè)圓的面積的___，因此該扇形面積是___；

提煉總結(jié)：在半徑為R的圓中，扇形面積S扇與所對的圓心角度數(shù)n之間的關(guān)系是___。

環(huán)節(jié)4：教師助學(xué)。

環(huán)節(jié)5：例題展示（略）。

二、優(yōu)化后的教學(xué)設(shè)計(jì)

【活動(dòng)1】激活舊知，引入課題。

師：我們學(xué)過了圓和扇形，知道扇形是圓的一部分。圓的周長公式和面積公式各是什么？

［設(shè)計(jì)意圖］激活舊知，做好知識鋪墊。

師：扇子（如圖1）是一個(gè)扇形，試指出該扇形的半徑、圓心角、弧。扇形的面積和弧長分別是指什么？

圖1

［設(shè)計(jì)意圖］強(qiáng)化關(guān)鍵，明確弧是一段曲線，是圓周的一部分，弧長是這段曲線的展直長度。

師：將閉合的扇子徐徐打開，圓心角逐漸變大，扇形弧長和扇形的面積如何隨著圓心角的變化而變化？它們之間有怎樣的關(guān)系呢？

［設(shè)計(jì)意圖］自然引入課題，為后面的函數(shù)視角埋下伏筆。

【活動(dòng)2】探索弧長計(jì)算公式。

如圖2，扇形的半徑為R，圓心角度數(shù)為n，試求該扇形的弧長lAB。

圖2

師：當(dāng)圓心角度數(shù)n為多少度時(shí)，扇形的弧長最容易求？請舉例，并說明理由。

［設(shè)計(jì)意圖］研究一個(gè)問題，常常是從最簡單或者最特殊的情形入手。例如，引導(dǎo)學(xué)生從圓心角為180°、90°、45°等簡單情形入手。

師：上述例子中我們是根據(jù)什么來求弧長的？請說明理由。

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生感悟局部與整體的關(guān)系。例如，弧長占整個(gè)圓周的幾分之幾，圓心角是周角的幾分之幾。

師：當(dāng)圓心角度數(shù)為n時(shí)，我們該如何求該扇形的弧長？請寫出推導(dǎo)過程。

［設(shè)計(jì)意圖］從1°的弧長到n度的弧長，學(xué)生自主推導(dǎo)，得到公式l

師：觀察公式，當(dāng)半徑R為定值時(shí)，弧長與圓心角是什么函數(shù)關(guān)系？當(dāng)圓心角度數(shù)n為定值時(shí)，弧長與半徑又是什么函數(shù)關(guān)系？弧長、半徑、圓心角三個(gè)量中，知道其中的任意幾個(gè)量，就可以求出其他量？

［設(shè)計(jì)意圖］公式的再認(rèn)識和強(qiáng)化，呼應(yīng)前面的“徐徐打開”，滲透函數(shù)觀點(diǎn)和方程觀點(diǎn)。

【活動(dòng)3】探索扇形面積計(jì)算公式。

師：經(jīng)歷弧長公式的探究，你能否設(shè)計(jì)一個(gè)探究扇形面積公式的方案？

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生利用類比思想，自主設(shè)計(jì)方案，討論交流，展示結(jié)論，得到公式S扇=，進(jìn)一步擴(kuò)大思維空間。

師：從前面扇子徐徐打開的過程可以知道，扇形的面積同樣隨著弧長的變大而變大。你能否用一個(gè)扇形的半徑R和弧長l來表示該扇形的面積？試寫出推導(dǎo)過程。

［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生自主推導(dǎo)，得到公式S扇=。然后將該公式與三角形的面積公式對比，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)上的相似性，培養(yǎng)學(xué)生對含字母式子推理的能力。

師：用函數(shù)觀點(diǎn)和方程觀點(diǎn)看扇形面積的兩個(gè)公式，你可以得出什么結(jié)論？

［設(shè)計(jì)意圖］進(jìn)一步滲透函數(shù)觀點(diǎn)和方程觀點(diǎn)。

【活動(dòng)4】小題練學(xué)。

1.已知圓心角為30°、半徑為4的扇形，求弧長l=___，S扇=___。

設(shè)計(jì)意圖：公式的及時(shí)應(yīng)用，加深印象，進(jìn)一步感悟“知二求三”的方程觀點(diǎn)。

【活動(dòng)5】例題精練（略）。

三、教學(xué)思考

結(jié)合實(shí)際教學(xué)效果，對比兩次教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)有三點(diǎn)成功之處。

1.直達(dá)本質(zhì)，減少認(rèn)知負(fù)荷。

原設(shè)計(jì)以短跑場景引出弧長，該情境不直觀。其實(shí)，學(xué)生已經(jīng)會(huì)求一些特殊扇形（如四分之一圓）的面積，知道扇形是圓的一部分，關(guān)鍵是激活舊知，為新課探究做好知識鋪墊，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用局部與整體的關(guān)系，探索弧長和扇形的面積公式，為學(xué)生提供方法上的引導(dǎo)。

修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生熟悉的扇子引入新課，激活舊知，突出重點(diǎn)，直達(dá)本質(zhì)，減少不必要的認(rèn)知負(fù)荷，把更多的時(shí)間放在公式的探索和應(yīng)用上。

2.問題驅(qū)動(dòng)，增加思維含量。

原設(shè)計(jì)探索弧長和扇形面積公式都以教師設(shè)計(jì)的教案為路徑展開，整個(gè)探究過程看似以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，但都是偽探索、偽自主、偽思考，學(xué)生被教案牽著鼻子走，按照教師意圖完成任務(wù)。教師將自己的“高見”灌輸給學(xué)生，試圖施加“外力”讓學(xué)生掌握函數(shù)觀點(diǎn)和方程觀點(diǎn)，學(xué)生被迫接受，沒有思維空間。

修正后的設(shè)計(jì)采用“問題驅(qū)動(dòng)”，以問題串驅(qū)動(dòng)目標(biāo)達(dá)成，每個(gè)問題都有明確目標(biāo)指向，有一定思維空間，尤其關(guān)注“得出結(jié)論難易”與“思維空間大小”之間的平衡點(diǎn)。如：“當(dāng)圓心角度數(shù)n為多少度時(shí)，扇形的弧長最容易求？”“上述例子中我們是根據(jù)什么來求弧長的？”問題起點(diǎn)低，但直指目標(biāo)，有數(shù)學(xué)思維，學(xué)生通過特殊到一般、局部與整體的關(guān)系得到弧長公式最后，學(xué)生類比弧長的探究，自主設(shè)計(jì)探索扇形的面積方案，進(jìn)一步擴(kuò)大思維空間。

學(xué)生在課堂中積累的發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、提出問題、設(shè)計(jì)方案、解決問題等經(jīng)驗(yàn)，將成為他今后探究和解決數(shù)學(xué)問題的寶貴經(jīng)驗(yàn)和方法，這樣的課堂才具有學(xué)習(xí)動(dòng)力。