在數(shù)學教學中融入數(shù)學文化：時機與方式*

溫建紅 王培培 焦菊紅 (西北師范大學教育學院 730070)

1 問題提出

數(shù)學不僅是思維的科學、科學語言與工具，還是人類文化的重要組成部分．數(shù)學教學除了要讓學生感悟數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值，還要讓學生體會數(shù)學的文化價值．數(shù)學文化是數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關(guān)的人文活動．[1]教師在數(shù)學教學中融入數(shù)學文化，不僅能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，還能陶冶學生的情操、啟迪學生的智慧；使學生在感受數(shù)學發(fā)生發(fā)展的過程中，堅定數(shù)學信念，形成理性思維和科學精神．隨著我國數(shù)學課程改革的深入，數(shù)學課程已經(jīng)加入了很多數(shù)學文化的內(nèi)容，如何將其有效落實在教學中，就成為教師需要思考的課題．數(shù)學教學中教師可以利用哪些時機？以什么樣的方式融入數(shù)學文化？本文將結(jié)合案例對這兩個問題做一些討論．

2 數(shù)學教學中融入數(shù)學文化的時機

2.1 在創(chuàng)設(shè)情境中融入數(shù)學文化

在數(shù)學教學的開始，很多教師都會通過創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課，這不僅能激發(fā)學生的學習動機，也有助于問題的提出．數(shù)學教學中的情境與其他學科不同，從類型來看有現(xiàn)實情境、數(shù)學情境以及科學情境等；從學生的熟悉程度來看，有熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境和綜合性情境．在教學設(shè)計過程中，當教師發(fā)現(xiàn)教學內(nèi)容的背景或知識本身包含一些數(shù)學史或數(shù)學文化的內(nèi)容時，就可以考慮以數(shù)學文化為素材來創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)的情境，以達到融入數(shù)學文化的目的．以數(shù)學文化為背景的情境既具有現(xiàn)實情境的生動與鮮活，又兼有數(shù)學情境所包含的前后知識之間的銜接與延伸，如果使用恰當，能極大地調(diào)動學生的積極性，促進學生對數(shù)學知識的理解．

圖1 圖2

在高中“基本不等式”的教學中，有的教師會創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境，即從初中學習過的完全平方公式出發(fā)，由(a-b)2≥0，通過變形得到a2+b2≥2ab．也有教師會從數(shù)學文化出發(fā)來創(chuàng)設(shè)情境，相比較起來，后者更加生動有趣：在教學開始，教師先向?qū)W生展示2002年在我國北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標(圖1)，并介紹會標設(shè)計的出處和內(nèi)涵．它是依據(jù)我國古代著名數(shù)學家趙爽在研究勾股定理時所用的弦圖(圖2)為原型而設(shè)計的，其顏色的明暗使它看上去有較強的立體感，像一個風車在歡迎來自世界各地的與會代表，同時也向世界展示了我國古代數(shù)學家取得的偉大成就[2]．

數(shù)學教學中，很多數(shù)學知識都有其產(chǎn)生的歷史與文化背景，教師只要用心挖掘，并將其運用到情境創(chuàng)設(shè)中，就會收到意想不到的教學效果．

2.2 在命題探究中融入數(shù)學文化

在數(shù)學教學中，除了數(shù)學概念外，有關(guān)數(shù)學公式、定理等命題教學占有很大的比重．命題表達的是一種數(shù)學規(guī)律，它是很多數(shù)學家經(jīng)過艱苦努力、不斷探索才獲得的．即使是對同一問題的探索，不同的數(shù)學家也有不同的探索軌跡與研究思路，因此很多數(shù)學命題中也包含豐富的數(shù)學文化．但在一般的中學數(shù)學教材中，往往只介紹某一種探索命題的思路與方法，命題背后更多的數(shù)學文化以及探究思路還需要教師挖掘和學生課外自己去學習．在數(shù)學教學中，教師可以根據(jù)命題內(nèi)容及特點積極開發(fā)與之相關(guān)的課程資源，并將數(shù)學文化與數(shù)學知識教學有機融為一體．一方面，通過數(shù)學文化向?qū)W生展示數(shù)學命題產(chǎn)生的背景、發(fā)生與發(fā)展過程，使學生能從歷史的視角認識數(shù)學命題；另一方面，讓學生從多元文化視角思考問題，了解不同方法探究命題的特點，從不同視角理解數(shù)學命題[3]．

在數(shù)學教學中，很多教師基本上是按這樣的思路推導(dǎo)球的體積公式．如果深入考察，會發(fā)現(xiàn)在推導(dǎo)球的體積公式方面，我國數(shù)學家也有杰出的貢獻，教學中教師可以將這些內(nèi)容適時融入教學，使學生對我國古代數(shù)學家的智慧也有所了解．劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術(shù)·開立圓術(shù)》注中指出了原有球體積公式的不精確性，并著手探索球的體積公式．在此過程中，他引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型(如圖3，是指正方體的兩個軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分)，并得到了球體積與牟合方蓋體積之比為π∶4，如果求出牟合方蓋的體積，球的體積即可攻破[5]．盡管劉徽最終沒有得到球的體積公式，但卻為后人進一步探索打下了基礎(chǔ)．

圖3

祖暅繼承了劉徽對球體積的推導(dǎo)工作，從計算牟合方蓋的體積來尋求突破．但他沒有把精力放在計算牟合方蓋體積本身，轉(zhuǎn)而計算牟合方蓋與正方體之間的“外棋”的體積．正方體除去牟合方蓋之外的部分恰好為8個完全相同的幾何體．祖暅在繼續(xù)劉徽研究工作的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展了截面積原理：“緣冪勢既同，則積不容異.”此截面積原理被稱之為祖暅原理[6]．

圖4 圖5 圖6

在數(shù)學命題教學中融入數(shù)學文化，使得命題教學不再只是抽象的邏輯推理，教師通過對數(shù)學家事跡的介紹，剖析不同的求解思路，可以開闊學生視野，使學生在獲得數(shù)學知識的同時，切身感受到我國古代數(shù)學家前赴后繼、孜孜以求的探索精神，從而增強民族自豪感．

2.3 在處理習題中融入數(shù)學文化

在數(shù)學教學中，習題有多方面的作用：對學生而言，可以通過完成習題作業(yè)鞏固知識、提高技能；對教師而言，可以檢查和診斷學生的學習情況，為后續(xù)教學決策提供參考．隨著我國數(shù)學課程改革的深入，數(shù)學教材中很多習題的面貌有了很大的變化，有的習題就是以數(shù)學文化為背景而提出問題的．對于這類習題的教學，教師除了關(guān)注問題的解決，還要對習題中包含的數(shù)學文化進行拓展解析，讓學生在解決問題的同時，數(shù)學文化素養(yǎng)也能有所提升．

在2013年人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》(八年級下冊)中有一個關(guān)于漏壺的習題，題目為一道選擇題，要求選出漏壺的壺底到水面的高度與漏水時間對應(yīng)關(guān)系的圖象，其中涉及到有關(guān)古代計時器的內(nèi)容，是一道典型的有著數(shù)學文化背景的題目．在這道題的教學中，若忽略與漏壺有關(guān)的數(shù)學文化，由于問題本身的求解并不是很難，學生可以通過排除法很快得到正確答案．如果這道題的教學到此結(jié)束，那么它的教育價值并沒有完全發(fā)揮出來．如果教師能夠注意到本題中與漏壺有關(guān)的數(shù)學文化背景，并將其融入到這道習題的教學中，那么教師就要在備課時圍繞古代計時器查閱有關(guān)文獻，將漏壺計時器所包含的數(shù)學知識與數(shù)學原理弄清楚，以便在解題教學中向?qū)W生介紹漏壺計時器的發(fā)展變化和包含的數(shù)學原理[7]．從漏壺計時器到今天各種計時工具的產(chǎn)生，無一不凝聚著人類的智慧與科技的進步．通過數(shù)學文化的融入，這道習題的學習不僅讓學生增長了知識，提高了能力，還在情感、態(tài)度與價值觀等各方面都有了發(fā)展．

數(shù)學教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能．對教材編寫者而言，將一些數(shù)學文化作為習題的背景，凸顯其良苦用心，但能否在教學中將其教育作用得以有效發(fā)揮，還需要教師下一番功夫．在數(shù)學習題教學中，當出現(xiàn)有數(shù)學文化的內(nèi)容時，教師要適時將數(shù)學文化融入其中，使學生在知道問題背景和淵源的基礎(chǔ)上，再投入到解題活動中去．

2.4 在拓展閱讀材料中融入數(shù)學文化

數(shù)學教材濃縮了歷史上創(chuàng)造的數(shù)學文化的精華，最大限度地將數(shù)學知識按學生的認知結(jié)構(gòu)和身心發(fā)展規(guī)律進行邏輯化、系統(tǒng)化的處理，是學生學習、分析探索、發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)的基本素材．[8]在目前各類版本的數(shù)學教材中，除了有系統(tǒng)的數(shù)學知識，還通過“閱讀與思考”“數(shù)學史料”等專題欄目插入了很多數(shù)學文化的內(nèi)容．在數(shù)學教學中，這些內(nèi)容是融入數(shù)學文化較為直觀和具體的素材，但由于篇幅所限，教材中數(shù)學文化的內(nèi)容都比較短小精練，還需要在教師的引導(dǎo)下，對其做進一步的挖掘和擴充，以這些閱讀材料為依托向?qū)W生滲透數(shù)學文化．

在人教版高中教材函數(shù)概念學習中，教材在“閱讀與思考”中簡單介紹了函數(shù)概念發(fā)展歷程[9]．教學中教師可以圍繞這一閱讀材料，讓學生利用圖書館或網(wǎng)絡(luò)查閱更多與函數(shù)概念有關(guān)的資料，使學生能更加深入地了解函數(shù)概念發(fā)展過程，特別是對于函數(shù)概念的七次擴張，有一個更為詳細的了解．最初的“函數(shù)”與“冪”同義，1692年萊布尼茨在論文中用函數(shù)表示隨曲線變化而改變的幾何量．約翰·伯努利對函數(shù)概念進行了第一次擴張，他提出：由一個變量x與常數(shù)構(gòu)成的任意表達式，稱為x的函數(shù)．后來，歐拉把按照這種定義的函數(shù)稱為“解析函數(shù)”，并進一步區(qū)分為“代數(shù)函數(shù)”和“超越函數(shù)”．在“解析函數(shù)”的基礎(chǔ)上，由于對連續(xù)函數(shù)積分的討論，使得函數(shù)的范疇擴大到幾何學，并依據(jù)曲線是否能用一個表達式表示來區(qū)分“真函數(shù)”和“偽函數(shù)”，傅里葉糾正了這種對函數(shù)的認識，使人們放棄“真函數(shù)”和“偽函數(shù)”的概念，此為函數(shù)概念的第二次擴張．第三次擴張由柯西提出，他認為：對于x的每個值，都有完全確定的y值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)．這時的函數(shù)不再受限于用一個表達式表達，這比“真函數(shù)”的概念更為廣泛．在此基礎(chǔ)上，黎曼、狄利克雷取消x和y的關(guān)系能否用解析式表示出來的限制，給出了更廣泛的函數(shù)定義：若對x的每個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，不管建立起這種對應(yīng)的方式如何，都稱y是x的函數(shù)，此為第四次擴張．第五次擴張取消了自變量變域的限制，使其與集合論相結(jié)合，擴大了近代函數(shù)的研究領(lǐng)域．接下來，維布倫和倫內(nèi)突破了函數(shù)自變量及函數(shù)的范圍僅限于數(shù)的局限，使函數(shù)概念進一步擴張．函數(shù)概念的第七次擴張是給出了一種更為廣泛的函數(shù)定義：集合函數(shù)．它不僅把維布倫的函數(shù)定義作為一種特殊情形包含在內(nèi)，還包括了現(xiàn)代數(shù)學以及其他學科中所使用的所有函數(shù)概念[10]．通過對教材中“閱讀與思考”的拓展學習，學生對函數(shù)概念一般化的過程有了更加直觀的認識，在加深對函數(shù)概念理解的同時，使學生對數(shù)學的精神、思想與方法有了更加深切的感悟．

數(shù)學教材中的閱讀材料包含豐富的數(shù)學文化，有對某個數(shù)學概念發(fā)展歷程的介紹，也有對著名數(shù)學家、數(shù)學名著以及數(shù)學名題的介紹等．教學中如果教師能加以重視，并精心設(shè)計，是融入數(shù)學文化非常好的時機．

3 數(shù)學教學中融入數(shù)學文化的方式

3.1 講數(shù)學故事

數(shù)學教學中融入數(shù)學文化，要根據(jù)數(shù)學文化和數(shù)學內(nèi)容的特點，采取恰當?shù)姆绞剑驗閿?shù)學具有抽象性與嚴密邏輯性的特點，以致與其他學科相比，數(shù)學教學總給人一種刻板和枯燥的印象．隨著數(shù)學文化融入數(shù)學教學，數(shù)學課堂的生態(tài)有了顯著的變化．有的數(shù)學文化內(nèi)容生動有趣，有很強的故事性，教師完全可以通過較為輕松的講故事的形式展現(xiàn)出來．

如等比數(shù)列前n項和的學習，其中包含大量的運算，如果直接提出問題，很難提起學生興趣．教師通過挖掘與其有關(guān)的數(shù)學文化，可以從一個有趣的故事講起．國際象棋起源于古代印度，相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么．發(fā)明者說：“請在棋盤的第1格子里放上1顆麥粒，第2格子里放上2顆麥粒，第3格子里放上4顆麥粒．以此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里的2倍，直到第64個格子．”國王覺得這個要求不難完成，便答應(yīng)了他．假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，據(jù)查，目前世界小麥年產(chǎn)量約6億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言？”[11]教師在講數(shù)學故事的同時提出了問題，學生列出了算式S64=1+2+22+…+263，但這個式子的值如何求呢？你覺得國王能否實現(xiàn)他的諾言？在好奇心的驅(qū)使下，學生積極投入到對等比數(shù)列求和的探究中．

數(shù)學教學中以講故事的方式融入數(shù)學文化，一方面要注意故事的趣味性，另一方面不能嘩眾取寵，為講故事而講故事．只有數(shù)學文化中包含的故事內(nèi)容與所學數(shù)學知識有密切聯(lián)系，這樣的數(shù)學故事才能激發(fā)學生的好奇心，讓學生產(chǎn)生認知沖突或得到啟發(fā)，幫助學生更好地學習數(shù)學知識．

3.2 插入微視頻

微視頻是媒體的一種，它具有短小精悍、直觀生動、可重復(fù)播放、交互性強等特點．隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)上有很多數(shù)學愛好者開發(fā)的數(shù)學文化類微視頻，教師在教學中要善于挖掘和收集網(wǎng)上的教學內(nèi)容，將它用在自己的教學中．如果條件允許，教師自己也可以查閱有關(guān)資料，錄制一些與課程內(nèi)容有關(guān)的微視頻，在教學中以微課的形式插入其中，提高數(shù)學教學效率．

如在初中與高中數(shù)學教材的幾何內(nèi)容中，一般都會加入對數(shù)學史上的名著《幾何原本》和公理化方法的介紹．教學中有的教師會讓學生自己閱讀學習，有的教師會自己講授，由于受課堂時間的限制，致使學生對這本名著的了解非常有限，對公理化方法理解也不是很深入．如果教師能在網(wǎng)上找到與《幾何原本》有關(guān)的微視頻，并選擇內(nèi)容貼切、時間長度合適的微視頻在課堂上播放，精美的畫面、豐富的內(nèi)容會立刻吸引學生，這種直觀立體式的融入，要比學生自學或教師講解更加深入有效．

教師在以插入微視頻的方式融入數(shù)學文化時，要注意視頻內(nèi)容一定要緊扣學習主題，而且適合學生的年齡特點.視頻的時長要適當，畫面和音質(zhì)要清晰，確?？茖W性和教育意義的達成．

3.3 信息技術(shù)模擬

隨著時代的發(fā)展，信息技術(shù)正在對數(shù)學教育產(chǎn)生深刻影響，在數(shù)學教學中，信息技術(shù)已成為學生學習和教師教學的重要輔助手段．教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運用，優(yōu)化課堂教學，轉(zhuǎn)變教學方式和學習方式[1]．在數(shù)學教學融入數(shù)學文化的過程中，對于一些有較強操作性、但學生較難理解的內(nèi)容，教師可以通過信息技術(shù)模擬的方法，讓學生在觀察和體驗中學習數(shù)學文化，從中感悟數(shù)學的應(yīng)用價值和文化價值．

如在高中橢圓標準方程的學習中，旦德林雙球模型是一個經(jīng)典案例，它不僅巧妙而且有趣，是一個很好的數(shù)學文化素材．如圖7，圓錐里有兩個大小不同的球，它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，與截面相切于點E,F．在截口曲線上任取一點A，過點A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點C,B．可以知道AE=AC,AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．

圖7

由于切點之間的距離BC是定值，所以截口曲線上任意一點A到兩個定點E，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)．由橢圓的定義可知，截口曲線是橢圓[12]．對于空間想象能力弱的學生而言，這個模型理解起來有些困難，因此也有教師在教學中不向?qū)W生介紹這一內(nèi)容．為了有效化解學生認識上的困難，教師可以通過GeoGebra或其他軟件對這一模型進行模擬，讓學生在動態(tài)中去觀察、理解旦德林雙球模型．

數(shù)學教學中融入數(shù)學文化，有的內(nèi)容只需要學生簡單了解，而有的內(nèi)容則需要學生達到理解，才能發(fā)揮其作用，也才能使數(shù)學文化與數(shù)學知識真正融為一體．因此，當教學中讓學生自己閱讀但無法達到教學目的時，教師要發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，通過制作一些動態(tài)課件，模擬生成過程，幫助學生更好地理解數(shù)學文化中包含的數(shù)學知識．

3.4 編寫試題

在對學生數(shù)學學習進行評價中，考試是最為常見、也是運用較多的一種評價方式．由于評價對教師的教和學生的學有很大的導(dǎo)向作用，因此考試題的類型、難度等因素對教學就有著很大的影響．為了使教師和學生重視數(shù)學文化，并在教學中融入數(shù)學文化，可以通過編寫包含數(shù)學文化背景的試題，以這種方式融入數(shù)學文化．

近年來，在數(shù)學高考題中已經(jīng)有了很多以數(shù)學文化為背景的題目，有研究者對我國2020年部分高考卷中有關(guān)數(shù)學文化的試題從不同視角做了梳理(表1)[13]．

表1 2020年高考數(shù)學文化試題統(tǒng)計

從表1可以看出，以數(shù)學文化為背景的試題從題型來看主要以選擇題和填空題居多，知識點涵蓋立體幾何、數(shù)列以及解三角形等，其中很多素材出自我國古代數(shù)學文化，內(nèi)容涉及建筑、音樂、計時器等諸多領(lǐng)域．在日常教學中，教師也可以利用編制各類試題的機會，設(shè)計類似有數(shù)學文化背景的考試題，將數(shù)學知識與數(shù)學文化相結(jié)合，在考查學生數(shù)學知識與能力的同時，讓學生對世界各國的數(shù)學文化也能有所了解．

4 結(jié)語

數(shù)學文化作為人類文化的重要組成部分，它有著豐富而且深刻的文化底蘊與內(nèi)涵，傳播數(shù)學文化是提高公民數(shù)學素養(yǎng)的有效途徑[14]．數(shù)學教學除了要重視數(shù)學知識與技能的教學，教師還要尋找恰當?shù)臅r機，并運用適當?shù)姆绞饺谌霐?shù)學文化，使學生在數(shù)學學習中獲得理性精神的同時，人文素養(yǎng)也得到培養(yǎng)，數(shù)學學科核心素養(yǎng)得到發(fā)展．教師可以根據(jù)數(shù)學教學內(nèi)容的特點選擇合適的時機和方式融入數(shù)學文化．對教師而言，要在數(shù)學教學中很好地融入數(shù)學文化，必須加強自身數(shù)學文化修養(yǎng)，學習更多數(shù)學史、數(shù)學哲學以及數(shù)學文化等多方面的知識，積極開發(fā)各類數(shù)學文化課程資源，這樣才能在時機出現(xiàn)時，以恰當?shù)姆绞綄⑵淙谌?，提高?shù)學教學的效率．