構(gòu)造向量求數(shù)列的和

215600 江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)

江蘇省張家港市羅建宇名教師工作室 趙穎穎

向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)

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在中學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，向量常作為工具來(lái)解決幾何問(wèn)題，也能解決一些代數(shù)問(wèn)題，向量的運(yùn)用多見(jiàn)于等式、不等式、函數(shù)等問(wèn)題(參見(jiàn)文[2]-文[9])

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筆者構(gòu)造向量求幾類典型數(shù)列的和，作為向量在解決代數(shù)問(wèn)題中的補(bǔ)充，用以倡導(dǎo)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)間進(jìn)行相互論證，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)力

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一、 構(gòu)造向量推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

問(wèn)題1

設(shè)數(shù)列{

a

}是公差為

d

的等差數(shù)列,求數(shù)列{

a

}的前

n

項(xiàng)和

.

解析：

當(dāng)

d

=0時(shí)，易得

.

下面推導(dǎo)當(dāng)

d

≠0時(shí)的求和公式

.

記則所以所以所以所以所以即

評(píng)注：

從向量的視角看，等差數(shù)列對(duì)應(yīng)向量的加減法運(yùn)算，問(wèn)題1的解決是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量的模的計(jì)算得以推導(dǎo)等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和公式

.

類似地，利用上述對(duì)向量的模的計(jì)算方法，可以求數(shù)列{

n

}(

m

∈

N

)的前

n

項(xiàng)和，簡(jiǎn)析如下

.

記則所以所以所以所以即

同理，所以所以由得即

類似地，依次構(gòu)造并利用二項(xiàng)式定理，可分別求數(shù)列{

n

}，{

n

}…的前

n

項(xiàng)和

.

二、 構(gòu)造向量推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

問(wèn)題2

設(shè)數(shù)列{

a

}是公比為

q

的等差數(shù)列,求數(shù)列{

a

}的前

n

項(xiàng)和

.

解析：

當(dāng)

q

=1時(shí)，易得

.

下面推導(dǎo)當(dāng)

q

≠1時(shí)的求和公式

.

記則所以則有所以故有所以即

評(píng)注：

從向量的視角看，等比數(shù)列對(duì)應(yīng)向量的數(shù)乘運(yùn)算，問(wèn)題2的解決是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量相等(坐標(biāo)相等)的概念得以推導(dǎo)等比數(shù)列前

n

項(xiàng)和公式

.

類似地，利用上述對(duì)向量相等概念的理解，可求一類原先用“裂項(xiàng)”求和法求解的數(shù)列的前

n

項(xiàng)和，以最簡(jiǎn)單的數(shù)列為例簡(jiǎn)析如下

.

記則所以故有則所以即

三、 構(gòu)造向量求“等差×等比”數(shù)列前n項(xiàng)和

問(wèn)題3

設(shè)數(shù)列{

a

}是公差為

d

的等差數(shù)列，數(shù)列{

b

}是公比為

q

的等比數(shù)列，求數(shù)列{

a

·

b

}的前

n

項(xiàng)和

.

解析：

同上，這里只需解析當(dāng)

q

≠1時(shí)的求和

.

記且則則有故所以即

評(píng)注：

問(wèn)題3的解決常用經(jīng)典的“錯(cuò)位相減法”求和，這里是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用有關(guān)向量的線性表示，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得“等差×等比”數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式

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